Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chezaro formulasi 
 
Ko‘chish vektorining komponentelari deformatsiya tenzorining 
ij
  komponentalari bilan 
;
2
1
;
2
1
;
;
;
2
3
3
2
23
1
2
2
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11



















дx
дu
дx
дu
дx
дu
дx
дu
дx
дu
дx
дu
дx
дu





 










3
1
1
3
31
2
1
дx
дu
дx
дu

   
 
 
 
 
 
(3.68) 
koshi  munosabatlari  bilan  bog‘langan.  Bu  munosabatlar 
ij
   larni 
i
u   ko‘rinishlardan  hosil  olish 
bilan  to‘g‘ridan-to‘g‘ri  hisoblashga  imkon  beradilar.  Bunda 
k
u   lar                tutashlik  gipotezasiga 
asosan 
i
x   koordinatalarning  uzliksiz  va  bir  qiymatli  funksiyalari  bo‘ladilar.  Albatta  bunday  holda 
ij
  lar ham 
k
x  koordinatalarning uzluksiz va bir qiymatli funksiyalari bo‘lishlari kerak. 
Lekin berilgan 
ij
  lar bo‘yicha (3.68) dan 
i
u  ko‘chishlarni aniqlash uchun oltita tenglamaga 
egamiz.  Bu  masala,  ma‘lumki  bir  qiymatli  yechimga  ega  emas, 

  yechim  bir  qiymatli  bo‘lishi 
uchun 
ij
   lar  qandaydir  qo‘shimcha  shartlarni  qanoatlantirishlari  kerak  bo‘ladi.  Ana  shu 
qo‘shimcha  shartlarni  navbatdagi  paragrafda  aniqlaymiz.  Quyida  ularni  keltirib  chiqarish  uchun 
 
                      x
2                

u
 
                                         gradf 
 
                     M         r  
 
j
K

 
                            N(z
j
)    
 
       x
3 
 
 
                  3.6-rasm.          
                                 

 
65
zarur  bo‘lgan  Chezaro  formulasini  keltirib  chiqaramiz.  Bu  formulalar 
ij
   deformatsiyalar 
berilganda 
i
u  ko‘chishlarni aniqlash uchun xizmat qiladilar. 
Faraz qilaylik jism egallagan 
V  sohada 
ij
  funksiyalar berilgan bo‘lsin. Ko‘chish vektorining 
i
u  komponentalarini berilgan 
ij
  lar bo‘yicha hisoblash talab etiladi. 
Izlanayotgan 
i
u   ko‘chishlarning  xususiy  hosilalari  (3.18)  formulalar  asosida  deformatsiya 
tenzorining 
ij
  komponentalari va kichik burilish tenzorining 
ij
  komponentalari orqali 
 
ij
ij
j
i
u




,
  
 
 
       
 
         (3.69) 
 
formulalar bilan topiladi. 
Endi (3.17) tenglikni 
x
x  bo‘yicha differensiallaymiz 







)
(
2
1
)
(
2
1
2
/
)
(
,
,
,
,
,
,
,
ij
k
ij
k
ki
j
kj
i
ik
j
jk
i
k
ij
u
u
u
u
u
u

 
i
jk
j
ik
ik
j
ki
j
ij
k
jk
i
u
u
u
u
,
,
,
,
,
,
)
(
2
1
)
(
2
1








 
ya‘ni 
 
 
i
jk
j
ik
k
ij
,
,
,





 
 
 
 
 
 
(3.70) 
Endi (3.69) ni 
V  sohadan chiqmaydigan ixtiyoriy 
M
M
0
 egri chiziq integrallaymiz: 
 





M
M
M
M
j
ij
j
ij
i
i
dx
dx
u
u
0
0
*
*
0


  
 
 
 
 
(3.71) 
bu  yerda 
0
i
u
  -  integrallash  egri  chizig‘ining  boshi  bilan  ustma-ust  tushuvchi 
 
0
0
j
x
M
  jism 
nuqtasining ko‘chishlari; 
M
M
x
j
0
*

 egri chiziq biror 
 
*
*
j
x
M
 nuqtasining koordinatalari. Ikkinchi 
tomondan  


*
*
j
j
j
x
x
d
dx



, 
buyerda 
j
x
- biror 
)
(
j
x
M
 fiksirlangan nuqtaning koordinatalari. 
(3.71) ifodadagi oxirgi integralni (3.70) hisobga olgan holda bo‘laklab integrallaymiz 























M
M
j
j
ij
k
k
ij
j
j
M
M
j
j
ij
M
M
M
M
j
j
ij
j
ij
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
d
dx
0
0
0
0
0
0
*
,
*
*
*
*





 








M
M
k
i
jk
j
ik
j
j
dx
x
x
0
*
,
,
*


  
 
 
 
 
(3.72)     
Nihoyat (3.71) ga (3.72) ni qo‘yib Chezaro formulasini olamiz: 








*
,
,
*
0
0
0
k
i
jk
j
ik
j
j
ik
j
j
ij
i
i
dx
x
x
x
x
u
u











  
 
 
 
 (3.73) 
Bu yerdagi 
0
i
u
 va 
0
ij
  o‘zgarmaslar jismning ixtiyoriy cheksiz kichik bikr ko‘chishini ifodalaydilar. 
Shunday  qilib  deformatsiya  tenzorining 
ij
   komponentalari  berilganda, 
i
u   ko‘chishlar 
ixtiyoriy cheksiz kichik bikr ko‘chish aniqligida topiladi. 
 
 Deformatsiyalarning uzviylik 
tenglamalari. 
Yuqorida  ko‘chishlarni  topish  uchun  integralni  hisoblashda  integrallash  egri  chizig‘ini 
ixtiyoriy  tanladik.  Umuman  olganda  jism  ixtiyoriy 
)
(
j
x
M
  nuqtasining  ko‘chishlari  uning 

 
66
koordinatalarining funksiyalari bo‘lishi, ammo integrallash chizig‘i 
M
M
0
 dan bog‘liq bo‘lmasligi 
kerak. Shuning uchun Chezaro formulasidagi integral ostidagi ifoda to‘liq differensial bo‘lishi zarur 
jismning 
V  sohaga tegishli hamma 
 
*
*
j
x
M
 nuqtalarda 












k
i
j
j
i
j
j
i
i
i
jk
j
ik
j
j
ik
x
x
x
x
,
,
,
*
,
,
,
*

















  
 
 
 
 
(3.74) 
sharning bajarilishi zarur va yetarlidir. 
(3.74) tenglikning  chap  tomonini 
i
x   bo‘yicha  va  o‘ng  tomonini 
k
x   bo‘yicha  differensiallab 
quyidagiga ega bo‘lamiz: 




)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
*
,
,
,
,
,
*
,
,
,
ik
j
jk
i
j
j
i
k
ik
k
i
ii
jk
ji
ik
j
j
i
k
ik
i
ik
x
x
x
x





























 
bundan 
 
0
,
,
,
,








i
jk
jk
i
ik
j
j
ik




 
 
 
 
 
(3.75) 
Ushbu  tenglik  yuqorida  ta‘kidlangan  deformatsiya  tenzori  komponentalari  orasidagi 
qo‘shimcha  munosabatlarni  tashkil  etadilar.  Ushbu  differensial  bog‘lanishlar  (3.18)  tenglamalar 
integrallanishining zarur va yetarli shartlarini tashkil etadilar. 
Ko‘rinib  turibdiki  (3.75)  tengliklar  birinchidan 
i
  va 
j
  intdekslarning,  ikkinchidan 
k   va    
larning o‘rinlari almashtirilganda o‘z ishorasini almashtiradilar. Shuning uchun ham 
j
i 
 va 


k
 
bo‘lgan hollarda (3.75) aynan nolga aylanadi. Bundan tashqari bu ifoda 1)
i
 va 
j
k,
 va 
 , 
2) 
i
 va 
,

  
j
 va 
,
k
    3) 
i
 va 
j
,  
k  va    larning joylari bir vaqtda almashtirilsa o‘zgarishlarsiz 
qoladi. 
U holda (3.75) tengliklardan aynan  nolga teng  bo‘lmaydigan  va takrorlanmaydiganlari  faqat 
oltitagina  bo‘lib 
)
(

ijk
  indekslarning  (1212),  (2323),  (3131),  (1213),  (2321),  (3132)  qiymatlarida 
ushbu  tengliklarga  ega  bo‘lamiz.  Bu  oltita  munosabatlar  ikki  guruhni  tashkil  etadilar.  Ulardan 
birinchi  guruhning  birinchi  tenglamasini 
2
,
1





j
k
i
  bo‘lganda,  qolgan  ikki  tenglamasini 
indekslarni doiraviy almashtikish yo‘li bilan olamiz: 
;
0
2
2
1
12
2
2
1
22
2
2
2
11
2



дx
дx
д
дx
д
дx
д



     
;
0
2
3
2
23
2
2
2
33
2
2
3
22
2



дx
дx
д
дx
д
дx
д



 
.
0
2
1
3
31
2
2
3
11
2
2
1
33
2



дx
дx
д
дx
д
дx
д



 
 
 
 
 
(3.76) 
Ikkinchi  guruh  munosabatlaridan  birinchisini  indekslarning 
3
;
2
;
1





j
k
i
 
qiymatlarida va qolgan ikkitasini indekslarni doiraviy almashtirish yo‘li bilan olamiz: 
.
0
;
0
;
0
2
31
1
23
3
12
3
2
1
33
2
1
23
3
12
2
31
2
3
1
22
2
3
12
2
31
1
23
1
3
2
11
2






























дx
д
дx
д
дx
д
дx
д
дx
дx
д
дx
д
дx
д
дx
д
дx
д
дx
дx
д
дx
д
дx
д
дx
д
дx
д
дx
дx
д












 
 
 
 
 
(3.77) 
olingan  (3.76)  va  (3.77)  differensial  bog‘lanishlar 
i
u   funksiyalarniuzluksiz  deb  qarab  keltirib 
chiqariladi.  Shuning  uchun  ham  bu  munosabatlar  (3.18)  tenglamalar  integrallanishining  zarur  va 
yetarli shartlari bo‘libgina qolmasdan jismning tutashlik sharti ham bo‘ladilar. 
Olingan  (3.76)  va  (3.77)  munosabatlar  uzviylik  shartlari    yoki  deformatsiyaning  uzviylik 
shartlari deb yuritiladi. Bu munosabatlar birinchi marta Ser-Venan (1864 yilda) tomonidan olingani 
uchun Ser-Venanning differensial bog‘lanishlari deb ham yuritiladi 

 
67
 
Ko‘chishlarni nisbiy ko‘chish tenzori 
komponentalari orqali aniqlash. 
 
Chezaro  formulasida  integral  ostidagi  ifoda  juda  katta  bo‘lganligi  sababli  ko‘chishlarni 
aniqlash  uchun  odatda  ishlatilmaydi.  Ko‘chish 
i
u   larni  deformatsiya  tenzori 
)
(
ij

  ning  berilgan 
komponentalari  bo‘yicha  nisbiy  ko‘chish  tenzori 
)
(
, j
i
u
  ning  komponentalari  orqali  topish  ancha 
qulay.  Koshining  (3.36)  differensial  bog‘lanishlaridan 
)
(
, j
i
u
  tenzorning  uchta  komponentasi 
to‘g‘ridan-to‘g‘ri topiladi: 
.
33
3
,
3
22
2
,
2
11
1
,
1
,
,






u
u
u
 
 
 
 
(3.78) 
qolgan 
)
(
,
j
i
u
j
i

  komponentalarini  topish  uchun  (3.69)  tenglikni 
k
x   bo‘yicha  differensiallaymiz 
va (3.70) ni hisobga olib  
i
jk
j
ik
k
ij
k
ij
ij
jk
i
k
u
,
,
,
,
,
,










       
 
  (3.79) 
ga ega bo‘lamiz. Bu yerdan 
 





M
M
k
i
jk
j
ik
k
ij
j
i
j
i
dx
i
i
i
u
u
0
)
(
,
,
,
0
,
,



  
 
 
 
   (3.80) 
ifodani  olamiz.  Bu  yerda 
ij
   lar  (3.76)  va  (3.77)  Sen-Venanning  uzviylik  shartlarini 
qanoatlantiradilar. Shuning uchun (3.80) egri chiziqli  integral 
M
M
0
  integrallash  yo‘lidan  bog‘liq 
bo‘lmaydi. U holda bu integralni bo‘laklari koordinat o‘qlariga parallel bo‘lgan va jismegallagan 
V  
sohadan chiqmaydigan siniq chiziq bo‘ylab hisoblagan ma‘qul. 
Integrallash 
M
M
0
  yo‘lining  boshi 
0
M   nuqtani  koordinatalar  boshi  bilan  ustma-ust  qo‘yib 
quyidagi 








1
3
2
0
1
0
,
1
,
1
1
,
0
,
,
)
(
x
x
x
i
j
j
i
ij
j
i
j
i
dx
u
u



 












3
2
1
2
3
1
0
3
0
,
3
,
3
3
,
0
2
0
,
2
,
2
2
,
)
(
)
(
x
x
x
i
j
j
i
ij
x
x
x
i
j
j
i
ij
dx
dx






 
 
 (3.81) 
formulaga  ega  bo‘lamiz.Ushbu  formuladan  hamma 
)
(
,
j
i
u
j
i

  larni  hisoblab,  (3.78)  ni  hisobga 
olgan holda, jism ixtiyoriy 
M
 nuqtasining 
i
u  ko‘chishlarini ularning to‘liq differensiallari 
j
j
i
dx
u
,
 
lar boyicha hisoblash mumkin ya‘ni 
3
0
3
,
2
0
0
2
,
1
0
0
1
,
0
3
2
3
1
3
2
)
(
)
(
)
(
dx
u
dx
u
dx
u
u
u
x
i
x
x
i
x
x
x
i
i
i










 
 
 
 
(82)  
Agar 
0
M  nuqtaning atrofi bikr ko‘chishga ega bo‘lmasa, 
0
, j
i
u
 va 
0
i
u
 o‘zgarmaslar [(3.81) va (3.82) 
formulalarga kiruvchi] nolga teng bo‘ladilar. 
  
 
Nazorat savollari  
 
5-ilova 
1.  Bir jinsli deformatsiya deganda nimani tushunasiz? 
2. Bosh deformatsiyalarqanday hosil bo’ladi? 
3. Deformatsiya tenzori invariantlari qanday hisoblanadi? 
3.Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori ma’nosini ayting? 
4. Deformatsiya ellipsoidi nima? 

 
68
      5. Chezaro formulasi nimani hosoblaydi?  
6. Deformatsiyalarning uzviylik tenglamalari qanday keltirilgan? 
7.Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori komponentalari orqali aniqlash qanday bajariladi? 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
 
 

 
69
5-MAVZU 
Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog’lanishlar. 
Deformasiyalanish termodinamikasi. Elastik potensial. 
Deformatsiuaning qoshimcha ishi.Umumlashgan Guk qonuni.  
 
5.1. «Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog’lanishlar. Deformasiyalanish 
termodinamikasi. Elastik potensial. Deformatsiuaning qoshimcha ishi.Umumlashgan Guk qonuni. » 
mavzusining texnologik modeli