Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 Deformatsiyalanish termodinamikasi. 
 
Jismning  deformatsiyalanishi,  umuman  olganda,  termodinamik  jarayondan  iborat.  Shuning 
uchun hatto kichik elastik deformatsiyalanish holatida ham jismning kuchlangan deformasiyalangan 
holatini termodinamik jihatdan o‘rgangan ma’qul. Agar jism unga  qo‘yilgan kuchlar ta‘siri ostida 
harakatda bo‘lsa u 
K
 kinetik energiyaga ega bo‘ladi. Kinetik energiyadan tashqari, jismning ichki 
U   energiyasi  ham  mavjudki,  u  jismning  deformatsiyalangan  va  quzugan  yoki  sovigan  holatlariga 
bog‘liq bo‘ladi. Ma’lumki, jismning to‘liq energiyasi uning kinetik va ichki (potensial) energiyalari 
yig‘indisiga  teng  bo‘ladi.  Agar  jism  muvozanatda    bo‘lsa,  uning  to‘liq  energiyasi  faqat  ichki 
energiyadan iborat bo‘ladi. 
Faraz qilaylik, 
i
F  sirt va 
i
f  massaviy kuchlar ta‘siri ostidagi  jismning kinetik energiyasi 
K
 
va  ichki  energiya 
U   bo‘lsin.  Jism  vaqtning 
t

elementi  davomida  boshqa  holatga  o‘tsa,  uning 
to‘liq  energiyasi 
)
(
U
K



  ga  o‘zgaradi,  tashqi  kuchlar  esa  shu  vaqt  davomida 
A
   ga  teng  ish 
bajaradi. U holda termodinamikaning birinchi qonuniga asosan: 
 
,
Q







A
U
K
   
 
 
 
 
 
(4.12) 

 
76
bu  yerda 
Q

 -  jismga  berilgan  issiqlik  miqdori. Jism bir  holatdan  boshqa  holatga o‘tganda uning 
dV  hajmli elementining ko‘chishlari 
i
U  bo‘lsa, tezliklari 
i
i
u
дt
дu


 
ga teng  bo‘ladi. U holda uning kinetik energiyasi  



V
i
i
dV
дt
дu
дt
дu
K

2
1
 
ga teng bo‘ladi. Bu yerda 
V  hajm, jismning deformatsiyalanmagan holatidagi hajmi. 
Kinetik energiyaning  st  vaqt davomidagi o‘zgarishi 










V
i
i
dV
t
дt
дu
дt
u
д
t
дt
дK
K




2
2
 
lekin  
t
дt
дu
u
i
i




 bo‘lganligidan 



V
i
i
dV
u
дt
u
д
K



2
2
 
 
 
 
 
 
(4.13) 
tenglikka ega bo‘lamiz. 
Endi 
t
   vaqt  davomida  bajarilgan  A
   ishni  hisoblaymiz(tashqi  sirt  va  massaviy  kuchlar 
bajargan ish)  
 




V
S
i
i
i
i
dS
u
F
dV
u
f
A
.




 
 
 
 
 
(4.14) 
Lekin Ostrogradskiy formulasiga asosan: 





S
S
V
i
ij
j
i
ij
i
i
dV
j
u
dS
n
u
dS
u
F
),
(





 
u holda 





V
V
j
i
ij
i
i
j
ij
dV
u
V
u
f
A
,
,
)
(






   
 
 
(4.15) 
Nihoyat, (4.13) va (4.15) dan 















V
V
j
i
ij
i
i
i
j
ij
dV
u
dV
u
дt
u
д
f
K
A
,
2
2
,








 
ga ega bo‘lamiz. Bu yerda (4.11) ni hamda 
ij
ij
j
i
U




,
- ekanligini hisobga olsak, 




V
ij
ij
ij
dV
K
A
)
(






 
tenglikni olamiz. Bu yerda 
)
(
ij

 - simmetrik va 
)
(
ij

 - antisimmetrik tenzorlar bo‘lgani uchun 
0

ij
ij


 va demak, 
 



V
ij
ij
dV
K
A




 
 
 
 
 
 
(4.15) 
Ushbu  tenglikdagi  integral  ishning  deformasiyaga  sarflangan  orttirmasini  yoki  boshqacha 
aytganda, deformatsiya ishi orttirmasini tashkil etadi. 
Agar tashqi kuchlar ta’siridagi jism muvozanatda bo‘lsa, 
0

K

 va bu holda tashqi kuchlar 
ishining orttirmasi 
)
( A

, deformatsiya ishi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni 




V
V
ij
ij
WdV
dV
A
1





 
 
 
 
 
(4.16) 
Demak, 
ij
ij
w





1
  
 
 
 
 
 
(4.17) 

 
77
deformatsiya solishtirma  ishining orttirmasi,  ya’ni  jism  ixtiyoriy  nuqtasi atrofidafi  birlik  hajmdagi 
deformatsiya ishining orttirmasidir. 
Endi (4.15) ga qo‘ysak, 
 



V
ij
ij
dV
V
Q





 
 
 
 
 
 
(4.18) 
Bu  yerdan  jism  ichki  energiyasining  orttirmasi  deformatsiya  ishi  orttirmasi  bilan  jismga 
berilgan issiqlik miqdori yig‘ndisiga teng. Jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidagi birlik hajm uchun (4.18) 
tenglik 
Q
1






ij
ij
dU
   
 
 
 
 
 
(4.19) 
ko‘rinishda ega bo‘ladi. Bu yerda 
dU  - solishtirma ichki energiya orttirmasi; 
ij
ij



- deformasiya 
solishtirma  ishining  orttirmasi; 
Q
1

  -  issiqlik  energiyasining,  jism  boshlang‘ich  birlik  hajmiga 
bo‘lingan orttirmasi. 
Termodinamikaning  ikkinchi  qonuniga  asosan  qaytar  jarayonlar  uchun 
T
/
Q
1

  -  nisbat,  bu 
yerda 
T
  -  absolut  temperatura,  sistema  holat  funksiyasining  to‘liq  differensiali  bo‘ladi  va  holat 
funksiyasi ma’lumki, entropiya deb ataladi va 
S  orqali belgilanadi 
 
.
1
T
Q
dS


 
 
 
 
 
 
 
 
(4.20) 
U holda (4.19) ni quyidagicha yozish mumkin: 
 
Tds
dU
ij
ij





.   
 
 
 
 
 
(4.21) 
Ana  shu  (4.21)  tenglik  deformatsiyalanuvchi  jism  uchun  asosiy  termodinamik  munosabat 
hisoblanadi.  Bu  yerdan  ko‘rinadiki,  ichki  energiya 
   deformatsiya  tenzorining 
ij
  
komponentalarining va 
s  - entropiyaning funksiyasidir, ya’ni 
)
,
(
s
U
U
ij


 
u holda 
 
.
ds
дs
дU
d
д
дU
dV
ij
ij



















 
 
 
 
 
(4.22) 
(4.21) va (4.22) ni taqqoslab 
 



дs
дU
T
д
дU
s
ij
ij


,
 
 
 
 
 
 
(4.23) 
Ichki  energiya  funksiyasi 
U   o‘rniga  Gelmgols  erkin  energiyasi  deb  ataluvchi  funksiyani 
kiritamiz: 
sT
U
F


 
bundan 
Tds
sdT
DU
dF



 
bo‘lganligidan (4.21) dan 
 
sdT
d
dF
ij
ij




 
 
 
 
 
 
(4.24)  
ga ega bo‘lamiz. 
Xuddi 
)
,
(
s
U
ij

-  ichki  energiyaga  o‘xshash 
)
,
(
T
F
ij

  -  erkin  energiya  ham  termodinamik 
potensialdir. U holda 
.
dT
дT
дF
d
д
дF
dF
ij
T
ij



















 
va (4.24) dan 












дT
дF
S
д
дF
T
ij
ij
;
   
 
 
 
 
(4.25) 

 
78
Shunday  qilib, 
ij
   kuchlanish  tenzori  komponentalarining 
ij
   deformatsiya  tenzori 
komponentalariga  bog‘liq  holda topish uchun 
)
,
(
s
U
ij

-  ichki energiyani  entropiyaning o‘zgarmas 
qiymatida deformasiya tenzori komponentalari bo‘yicha, differensiallash yoki 
const
T 
 bo‘lganda 
(4.25)  formula  bo‘yicha 
)
( T
F
ij

  -  erkin  energiyani  differensiallash  zarur.  Demak, 
F
  -  erkin 
energiya va 
U - ichki energiyalar 
)
(
ij

 kuchlanish tenzori uchun potensial bo‘ladi. 
 
 Elastik potensial. 
 
Qattiq  jismning deformatsiyalanish  jarayoni  izotermik  yoki adiabatik bo‘lishi  mumkin.  Agar 
jism  yuklanishni  asta-sekin  oshirib  borish  yo‘li  bilan  nisbatan  sekin  deformatsiyalansa  (statik 
yuklanish)  va  bu  jarayon  davomida  jism  va  uni  o‘rab  turuvchi  muhitda  temperatura  muvozanati 
saqlanib qolsa (ya’ni temperatura o‘zgarmay qolsa), deformatsiyalanish jarayoni izotermik deyiladi. 
Agar deformatsiyalanish jarayoni issiqlikni yutish yoki yo‘qotishlarsiz (deformatsiyalanishda 
jism  isiydi)  sodir  bo‘lsa,  masalan  jismning  juda  tez  kichik  tebranishlaridagi  kabi, 
deformatsiyalanish jarayoni adiabatik deyiladi. 
Agar jismning ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanganlik holati vaqtning istalgan payti uchun faqat 
shu nuqtadagi deformatsiyagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday jism ideal elastik jism deyiladi. 
Jism  ideal  elastik  bo‘lib,  adiabatik  deformatsiyalansa,  ya’ni 
0

 Tds
Q

  yoki 
const
s 
  bo‘lsa, 
kuchlanish tenzorining potensiali 
U  ichki energiyadan iborat bo‘ladi: 
const
s
ij
ij
д
дU




. 
 
 
 
 
 
       (4.26) 
Bunda (4.21) tenglik 
 
ij
ij
d
dU



   
 
 
 
 
 
    (4.27) 
ko‘rinishni oladi. Boshqacha aytganda, bu holda deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi to‘liq 
differensial bo‘ladi 
 
.
ij
ij
d
dW



  
 
 
 
     
 
 
(4.28) 
Bu yerdan 
 
ij
ij
д
дW

 
                    
 
 
 
 
 
         (4.29) 
kelib chiqadi. 
Ushbu 
)
(
ij
w

  funksiyasi  elastik  potensial  deyiladi  va  deformatsiyaning  solishtirma  ishidan 
yoki deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasidan iboratdir. 
Olingan (4.29) tengliklar kuchlanish tenzorining o‘zaro bo‘g‘lanmagan oltita komponentasini 
deformatsiya tenzorining 
ij
  komponentalari orqali bir qiymatli aniqlaydi va elastiklik qonunining 
umumiy ifodasidan iboratdir. Ushbu (4.29) tenglik Grin formulasi deb ham yuritiladi. 
Agar  jismning  deformatsiyalanishi  izotermik  ravishda  sodir  bo‘lsa,  ya’ni  deformatsiyalanish 
jarayonida 
T
 temperatura o‘zgarmasdan qolsa va jismning tabiiy holatidagi 
0
T  temperaturaga teng 
bo‘lsa, bu holda kuchlanish tenzorining potensiali 
F
 - erkin energiyadan iborat bo‘ladi. 
 
.
const
T
ij
ij
d
dF












   
 
 
 
    
 
(4.30) 
va (4.24) tenglik 
0
T
T 
 bo‘lganda 
 
ij
ij
d
dF



   
 
 
 
 
 
 
(4.31) 
ko‘rinishni  oladi,  ya’ni  izotermik  deformatsiyalanish  jarayonida  (
dF -  to‘liq  differensial 
bo‘lganligidan)  deformatsiya  solishtirma  ishining  orttirmasi  ham  to‘liq  differensial  bo‘ladi,  va 
demak yana (4.29) Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. 

 
79
Shu  narsani  alohida  ta‘kidlash  lozimki  izotermik  deformatsiyalanish  jarayonida 
)
(
ij
W

- 
elastik 
potensial 
s
T
U
F
0


 
erkin 
energiya 
bilan 
aniqlanadi, 
jismning 
adiabatik 
deformatsiyalanish  jarayonida  esa  elastik  potensial 
U   ichki  energiya  bilan  aniqlanadi.  Shuning 
uchun  izotermik  va adiabatik  jarayonlar uchun 
ij
  kuchlanishlar  va 
ij
  deformatsiyalar asosidagi 
Grin  formulasi  bilan  aniqlanuvchi  bog‘lanishlar  aynan  bir  xil  bo‘lmaydi,  ya’ni  jismning  ushbu 
munosabatlarga  kiruvchi  elastiklik  o‘zgarmaslari  har  xil  bo‘ladi.  Lekin  bu  farqni  hisobga  olmasa 
ham bo‘ladi, chunki jism qattiq jism bo‘lgan (gazsimon jismlardan farqli ravishda) 
s
T
0
 kattalik 
U  
kattalikdan ancha kichik bo‘ladi. 
Shunday  qilib, 
ij
   va 
ij
   lar  asosidagi  (4.29)  munosabatlar,  uchta  (4.6)  muvozanat 
differensial tenglamalar hamda Koshining oltita differensial bog‘lanishlari (jami 15 ta tenglama 6 ta 
ta
u
ta
ta
i
ij
ij
15
3
6





  noma‘lumga  nisbatan)  elastiklik  nazariyasi  tenglamalarining  yopiq 
sistemasini tashkil etadi. 
 
Deformatsiyaning qo‘shimcha ishi. 
 
Endi  (4.29)  ni 
ij
   larga  nisbatan  yechish  masalasini  qo‘yish  mumkin.  Bu  ish  quyidagi  funksiyani 
kiritish bilan  
W
A
ij
ij




 
 
 
 
 
 
 
(4.32) 
nisbatan  oson  yechiladi.  Ushbu  funksiya  solishtirma  qo‘shimcha  ish  deb  ataladi.  Solishtirma 
qo‘shimcha ishning (4.32) ni differensiallab, 
dW
d
d
dA
ij
ij
ij
ij







 
bu yerda (4.28) ni hisobga olib, 
 
ij
ij
d
dA



   
 
 
 
 
 
(4.33) 
tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan ifoda to‘liq differensialni tashkil etadi, chunki 
1
)
(
dA
d
d
d
dA
dW
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij












 
bu  yerda 
ij
ij
A



1
-  kuchlanishning 
ij
   komponentalari  o‘zlarining  qaralayotgan  muvozanat 
holatidagi  pirovard  (oxirgi)  o‘zgarmas  qiymatlarini  deformatsiyalanishning  butun  jarayoni 
davomida saqlab qoladi deb faraz qilib hisoblangan solishtirma ish. 
U holda (4.33) tenglikka asosan 
 
ij
ij
д
дA

 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.34) 
munosabat  o‘rinli  bo‘ladi.  Haqiqatan  ham  (4.32)  tenglikni 
ki
   lar  bo‘yicha 
)
(
ij
A

  murakkab 
funksiya kabi differensiallaymiz, 
.




k
ij
ij
k
ij
ij
k
k
д
д
д
дW
д
д
д
дA












 
Lekin (4.29) ga asosan 
 
,

k
ij
д
дW



 bo‘lganligi uchun oxirgi ikkita qo‘shuluvchilar o‘zaro yeyishadilar va 
 


k
k
д
дA



, 
ya’ni  (4.34)  tenglikka  ega  bo‘lamiz.  Shunday  qilib, 

)
(
ij
A

qo‘shimcha  ish  deformatsiya  tenzori 
)
(
ij

 - uchun potensial bo‘ladi. 
 
 
 Umumlashgan Guk qonuni. 

 
80
 
Tajribalar  shuni  ko‘rsatadika,  yuklanishning  ma’lum  chegaralarida,  qattiq  jismlarning 
ko‘pchiligi  uchun  deformatsiyalar  yuklarga  to‘g‘ri  proporsionaldir,  ya’ni  yuk  qancha  oshsa, 
deformatsiya ham shuncha oshadi. Ushbu qonuniyat Guk qonuni sifatida ma’lum. 
Guk  qonuniga  ko‘ra  kuchlanish  tenzorining 
ij
   komponentalari  jismning  har  bir  nuqtasida 
ij
  deformatsiya tenzori komponentalarining bir jismli va chiziqli funksiyalaridan iboratdir. 
Ikkinchi  tomondan  Grin  formulasiga  ko‘ra  ((4.29)  -  formula) 
ij
   kuchlanishlar 
)
(
ij
W

- 
elastik  potensialdan  deformatsiya  tenzorining  mos 
ij
   -  komponentalari  bo‘yicha  olingan  xususiy 
hosilalardan iborat. 
Shu  ikkala  holatdan  ko‘rinadiki, 
)
(
ij
W

  deformatsiya  tenzori  komponentalarining  ikkinchi 
tartibli  funksiyasidan  iboratdir.  Demak,  bu  funksiyaning  umumiy  ko‘rinishini  quyidagicha 
tasvirlash mumkin: 
,
2
1
)
(


k
ij
ijk
ij
ij
ij
t
c
c
W






 
 
 
 
 
(4.35) 
bu yerda 
ij
c
 va 

ijk
c
 lar - ikkinchi va to‘rtinchi rang tenzorlar. 
Elastiklik  chiziqli  nazariyasining  qabul  qilingan  chegaralanishlari  doirasida 
)
(
ij

 
deformatsiya tenzorining simmetrik tenzor ekanligi bizga ma’lum. U holda 
i
 va 
j
 hamda 
k  va    
indekslarning o‘rinlari almashtirilganda, 
ij
  hamda  

k
ij


 lar o‘zgarmasliklari kerak. Bundan, 
ij
c
 
va 

ijk
c
 tenzorlari quyidagi simmetriklik shartlarini qanoatlantirishlari zarurligi kelib chiqadi: 
;
;
;
;
;
;
k
ji
jik
k
ik
jik
k
ji
ijk
k
ij
ijk
jik
ijk
ji
ij
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
















 
Endi (4.35) ni (4.29) Grin formulasiga qo‘yib hosila olsak, 
.

 k
ijk
ij
ij
c
c




 
 
 
 
 
 
(4.36)   
Jismning boshlang‘ch holatida (tashqi kuchlar qo‘yilmagan holatda) hamma 
i
 va 
j
 lar uchun  
0

ij

 va 
0

ij

 
U holda (4.35) dan 
0
)
0
(

w
 va (4.36) dan 
0

ij
c
 tengliklarga ega bo‘lamiz. Bularni hisobga olsak, 
(4.35) quyidagicha ko‘rinishni oladi: 
 
,
2
1
)
(


k
ij
ijk
ij
c
w




   
 
 
 
 
(4.37) 
(4.36) munosabatlar esa 
 

 k
ijk
ij
c



   
 
 
 
 
 
(4.38) 
Elastik  potensial 
)
(
ij
w

  ning  (4.37)  ifodasi  va  (4.38)  tenglik  chiziqli  elastik  anizotrop  jism 
uchun umumiy bo‘lgan munosabatlarni tashkil etadi. 
Yuqarida  kiritilgan 
)
(

ijk
c
  to‘rtinchi  rang  tenzor  elastik  o‘zgarmaslar  tenzori  deyiladi.  Agar 
jism  bir  jinsli  bo‘lsa,  bu  tenzorning  komponentalari  jism  nuqtasining  koordinatalariga  bog‘liq 
bo‘lmaydi  va  to‘rtinchi  rang  tenzor  sifatida,  umumiy  holda,  3
4
=81  ta  komponentaga  ega.  Lekin 
o‘zaro  bog‘lanmagan,  mustaqil  koordinatalar  soni  yuqoridagi  simmetriya  shartlarini  hisobga 
olganda kamayadi va 36 taga teng bo‘ladi. Bundan tashqari, 
ij
k
k
ij
д
д
w
д
д
д
w
д






2
2

 
bo‘lganligidan yana 15 ta 
ij
k
ijk
c
c



 
munosabatlar kelib chiqadi va ular elastik o‘zgarmaslar sonini 21 taga tushirishga imkon beradi. 

 
81
Shunday  qilib, 
)
(

ijk
c
  -  elastik  o‘zgarmaslar  tenzori  chiziqli  elastik  jismning  eng  umumiy 
anizotrop  holida  21  ta  mustaqil  komponentaga  (elastik  o‘zgarmaslarga)  ega  bo‘ladi.  Ushbu 
komponentalarni quyidagi sxema ko‘rinishida tasvirlash qulay: 
1-S  X  E  M  A   
.
1212
3112
3131
2312
2331
2323
3312
3331
3323
3333
2212
2231
2223
2233
2222
1112
1131
1123
1133
1122
1111
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
 
 
 
 
(4.39) 
Anizotrop  jismning  umumiy  holida 

ijk
c
  elastik  o‘zgarmaslar  koordinat  o‘zlarining 
oriyentatsiyasiga (joylashtirilganligiga) bog‘liq bo‘ladi. Ammo, jismning har bir nuqtasida jismning 
elastik  xususiyatlariga  nisbatan  simmetrik  bo‘lgan  yo‘nalishlar  mavjudligi  aniqlanishi  mumkin. 
Boshqacha  aytganda,  anizotrop  jism  strukturasi  biror  elastik  simmetriyaga  ega  bo‘lishi  mumkin. 
Shunday hollarda koordinat o‘qlarining shunday oriyentatsiyasini topish mumkinki, yoki koordinat 
o‘qlarini shunday yo‘naltirish mumkinki, bunda ba’zi elastik o‘zgarmaslar nolga teng bo‘ladi yoki 
boshqa  o‘zgarmaslarga  chiziqli  bog‘liq  bo‘ladi.  Natijada  elastik  o‘zgarmaslar  sonini  yanada 
kamaytitish  imkoniyati  paydo  bo‘ladi.  Ta’kidlash  lozimki,  umumlashgan  Guk  qonunining 
matematik ifodasi (4.38) dan iborat va u har qanday anizotrop elastik jism uchun o‘rinlidir.