Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Nazorat savollari 
 
1.Deformatsiya deganda nimani tushunasiz?. 
2. Ko’chish vektori nima?  
3. Jismning deformatsiyalangan holati qanday aniqlanadi?.  
5.  Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori qanday ifodalanadi? 
6.  Kichik burilish tenzori nima?. 
5. Deformatsiya tenori komponentalarining geometrik ma’nosi ayting?. 
6. Kichik deformatsiya tenzori deganda nimani tushunasiz?. 
 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
58
4-MAVZU 
« Bir jinsli deformatsiya. Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya tenzori 
invariantlari. Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori. 
Deformatsiya ellipsoidi. Chezaro formulasi. Deformatsiyalarning 
uzviylik tenglamalari. Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori 
komponentalari orqali aniqlash. » 
 
4.1.  «Bir  jinsli  deformatsiya.  Bosh  deformatsiyalar.  Deformatsiya  tenzori  invariantlari. 
Deformatsiyaning  sharsimon  tenzori  va  deviatori.  Deformatsiya  ellipsoidi.  Chezaro  formulasi. 
Deformatsiyalarning  uzviylik  tenglamalari.  Ko’chishlarni  nisbiy  ko’chish  tenzori  komponentalari 
orqali aniqlash» mavzusining texnologik modeli 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni:  50 ta 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Ma’ruza rejasi   
1.Bir jinsli deformatsiya. 
2. Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya tenzori invariantlari.  
3.Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori. 
4. Deformatsiya ellipsoidi. 
5. Chezaro formulasi.  
6. Deformatsiyalarning uzviylik tenglamalari.  
7.Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori komponentalari orqali aniqlash 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Bir  jinsli  deformatsiya.  Bosh  deformatsiyalar.  Deformatsiya 
tenzori  invariantlari.  Deformatsiyaning  sharsimon  tenzori  va  deviatori.  Deformatsiya  ellipsoidi. 
Chezaro  formulasi.  Deformatsiyalarning  uzviylik  tenglamalari.  Ko’chishlarni  nisbiy  ko’chish 
tenzori komponentalari orqali aniqlash haqida tushunchalar berish. 
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Deformasiyalar nazariyasi haqida to’liq 
ma’lumotlar berish 
Kuchlanishlar tenzori va deformasiyalar 
tenzori orasidagi o’xshahliklarni taqqoslash 
bilan bilimlarni mustahkamlash 
Mavzuning ahamiyati va mohiyatini tushunadi 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash    usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 

 
59
4.2.  «Bir  jinsli  deformatsiya.  Bosh  deformatsiyalar.  Deformatsiya  tenzori  invariantlari. 
Deformatsiyaning  sharsimon  tenzori  va  deviatori.  Deformatsiya  ellipsoidi.  Chezaro  formulasi. 
Deformatsiyalarning  uzviylik  tenglamalari.  Ko’chishlarni  nisbiy  ko’chish  tenzori  komponentalari 
orqali aniqlash» mavzusining texnologik xaritasi  
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.12.  O’quv 
mashg’uloti 
mavzusi, 
 
rejasi, 
pedagogning  vazifasi  va  talabaning  o’quv  faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.13.  Baxolash mezonlari  (1 – ilova). 
1.14.  Mavzuni  jonlashtirish  uchun  «Blis-so’rov» 
savollarini    beradi.    Blis-so’rov  usulida  natijasiga 
ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato 
qilishlari 
mumkinligining 
tashxizini 
amalga 
oshiradi (2-ilova). 
1.15.  Texnika-insert  usulida 
mavzu 
bo’yicha 
ma’lum  bo’lgan  tushunchalarni    faollashtiradi.    (3-
ilova ). 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, savollar 
beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha   
tushuncha beradi. (4 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Javob beradilar 
 
Yozadilar. 
 
UMKga qaraydilar 
 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovchi 
(10 min) 
3.1 Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar 
qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qayerda 
ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish 
uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish 
uchun savollar beradi. 
 
 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib oladilar 
 
 

 
60
«Bir jinsli deformatsiya. Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya tenzori invariantlari. 
Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori. Deformatsiya ellipsoidi. Chezaro formulasi. 
Deformatsiyalarning uzviylik tenglamalari. Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori komponentalari 
orqali aniqlash» 
Reja: 
1.Bir jinsli deformatsiya. 
2. Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya tenzori invariantlari.  
3.Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori. 
4. Deformatsiya ellipsoidi. 
5. Chezaro formulasi.  
6. Deformatsiyalarning uzviylik tenglamalari.  
7.Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori komponentalari orqali aniqlash 
 
Adabiyotlar:1,2 3, 4. 
 
Tayanch iboralar: 
 
Bir jinslilik, bosh deformatsiyalar, deformatsiya tenzori invariantlari, deformatsiyaning 
sharsimon tenzori va deviatori, deformatsiya ellipsoidi, Chezaro formulasi, deformatsiyalarning 
uzviylik tenglamalari 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
 
 
Bir jinsli deformatsiya 
 
Agar 
u

 ko‘chish vektorining 
i
u  konponentalari ixtiyoriy nyqtada uning koordinatalarining chiziqli 
funksiyalaridan iborat bo‘lsalar, ya‘ni 
j
ij
i
i
x
c
u
u


0
             
 
 
                (3.39) 
bo‘lsa, deformatsiya bir jinsli deyiladi. Buyerda 
0
i
u
 va 
ij
c
 lar o‘zgarmas kattaliklar. 
Bir  jinsli  deformatsiyada  deformatsiya  tenzorining  (3.16)  komponentalari  va  kichik  burilish 
tenzorining  (3.17)  komponentalari  o‘zgarmas  miqdorlar  bo‘ladilar.  Haqiqatdan  (3.39)  ni  (3.16)  va 
(3.17) larga navbati      bilan qo‘yib 




ji
ij
ij
ji
ij
ij
c
c
c
c




2
1
;
2
1


      
 
 
      (3.40) 
Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari 
 
 
 
1. Deformatsiya deganda nimani tushunasiz?. 
2. Ko’chish vektori nima?  
3. Jismning deformatsiyalangan holati qanday aniqlanadi?.  
4.  Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori qanday ifodalanadi? 
5.  Kichik burilish tenzori nima?. 
5. Deformatsiya tenori komponentalarining geometrik ma’nosi ayting?. 
6. Kichik deformatsiya tenzori deganda nimani tushunasiz?.
 
 

 
61
tengliklarga  ega  bo‘lamiz.  Bu  tengliklar  deformatsiya  va  kichik  burilish  tenzorlarining 
ozgarmasliklarini  ko‘rsatadi.  Boshqacha  aytganda  bir  jinsli  deformatsiyasa  jismning  hamma 
nuqtalari bir xil deformatsiyalanadi. 
Shuningdek (3.39) dan foydalanib bir jinsli deformatsiyada jism deformatsiyasigacha tekislik 
nuqtalari deformatsiyadan keyin ham tekislik nuqtalari bo‘lib qoladilar. 
Endi bir jinsli deformatsiyaning quyidasi ikki holini alohida-alohida qaraymiz. 
1
0
.  Jismning  bikr  ko‘chishi.  Faraz  qilaylik  hamma 
ij
   lar  nolga  teng  bo‘lsinlar,  ya‘ni  jism 
deformatsiya-lanmasin. U holda (3.40) ning birinchi formulasidan 
ji
ij
c
c


 va 
0
€

i
i
c
ekanligi kelib 
chiqadi.  (3.40)  ning  ikkinchi  tengligidan 
ji
ij
ij
c
c




  tenglikka  ega  bo‘lamiz,  u  holda  (3.39)  ni 
quyidagicha yozib mumkin 
.
0
j
ij
i
i
x
u
u



             
 
 
            (3.41) 
Bu ifodani (3.21) formulalar yordamida 
.
;
;
1
2
2
1
0
3
3
3
1
1
3
0
2
2
2
3
3
2
0
1
1
x
x
u
u
x
x
u
u
x
x
u
u















      
 
 
            (3.42) 
Ushbu tengliklarda 
0
3
0
2
0
1
,
,
u
u
u
 - ilgarilanma ko‘chish komponentalari, 
3
3
1
,
,



 - jism nuqtasi 
atrofining koordinat o‘qlari  atrofida (koordinat o‘qlariga  nisbatan) burilish  burchaklaridir. Bundan 
ko‘rinadiki (3.42) tengliklar jismning bikr ko‘chishini ifodalaydilar. 
2
0
.  Sof  deformatsiya.  Faraz  qilaylik  kichik  burilish  tenzorining  hamma 
ij
   komponentalari 
nolga teng bo‘lsinlar. U holda (3.17) dan 
i
j
j
i
u
u
,
,

    
 
 
 
                          (3.43) 
ni  olamiz.  Matematika  kursidan  ma‘lumki,  agar  (3.43|)  tenglik  o‘rinli  bo‘lsa 
i
i
dx
u
  yig‘indi  biror 
skalyar                  funksiyaning  to‘liq  differensialidan  iborat  bo‘ladi.  Bu  funksiyani 
 
i
х

  bilan 
belgilaymiz. U holda 
 
.
i
i
i
dx
u
х 

 
bundan 
i
i
х
u




 
ekanligi kelib chiqadi. U holda 
.


grad
э
х
u
i
i







     
 
 
            (3.44) 
Shunday  qilib  qaralayotgan  holda  ko‘chishlar  maydoni 
 
i
х

  -  skalyar  maydonning 
gradiyentidan  iborat  ekan.  Ma‘lumki  skalyar  maydonning  gradiyenti  potensialli  maydondan 
iboratdir.  Demak,  qaralayotgan  holda  ko‘chishlar  maydoni  potensialli  maydondan  iboratdir. 
Ko‘chish  potensiali 
 
i
х

  funksiyadan  iborat.  Shuning  uchun  ham 
 
i
х

  ni  ko‘chish  potensiali 
deyiladi.                  Bunday  ko‘chishlarning  natijasi  bo‘lgan  deformatsiya  esa  sof  deformatsiya  deb 
ataladi. 
 Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya     tenzori invariantlari. 
Deformatsiyaning     sharsimon tenzori va deviatori 
 
Ikkinchi  rang  simmetrik  tenzori  sifatida 
 
ij

                tenzorining  bosh  qiymatlari,  xuddi  II-
bobdagi kabi, quyidagi kubik tenglamaning ildizlariga teng 
 
 
 
.
0
3
2
2
1
3



ij
ij
ij
I
I
I






        
 
 
      (3.45) 
Bu  yerda
     
ij
ij
ij
I
I
I



3
2
1
,
,
  -  deformatsiya  tenzorining  mos  ravishda  birinchi,  ikkinchi  va 
uchinchi invariantlaridir va 

 
62
 
  

 
 




 
.
2
/
2
/
;
2
/
;
2
3
2
1
ss
ij
ij
jj
ii
ss
jk
ik
ij
ij
ij
ij
jj
ii
ij
ij
ij
I
I
I
























  
 
 
  (3.46) 
Deformatsiya  tenzorining  bosh  qiymatlari  bosh  deformatsiyalar  deb  ataladi  va 
i
   lar  orqali 
belgilanadi. 
Deformatsiya  tenzorining  bosh  o‘qlarining 
n

  birlik  vektorining  komponentalarini 
(yo‘naltiruvchi kosinuslarini) 
j
n
 lar 


0


j
ij
ij
n


            
 
 
 
            (3.47) 
tenglama va 
1

j
j
n
n
   
 
 
 
                           (3.48) 
munosabatdan topiladi. 
Birorta bosh o‘qning yo‘nalishini topish uchun (3.45) ni yechib 
1
  ni aniqlaymiz va uni (3.47) 
qoyamiz.  Keyin  (3.47)  bilan  (3.48)  ni  birgalikda  yechib  (bunda,  albatta 
ij
   lar  ma‘lum  bo‘lishi 
kerak) birinchi bosh o‘qning 
j
n
1
 yo‘naltiruvchi kosinuslarini aniqlaymiz. Ikkinchi va uchinchi bosh 
o‘qlarning yo‘nalishlari ham shu tariqa topiladi. 
Agar koordinat o‘qlarini deformatsiyaning bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘naltirsak 


j
i
ij
i
i
i



0
,
€



       
 
 
 
              (3.49) 
ifodalarga ega bo‘lamiz. Bu holda (3.46) formulalar 
 
 


 
,
;
;
3
2
1
3
1
3
3
2
2
1
2
3
2
1
1






















ij
ij
ij
I
I
I
        
 
 
 
         (3.50) 
ko‘rinishga ega boladilar. 
Faraz  qilaylik  qirralari 
3
2
1
,
,
dx
dx
dx
  lardan  iborat  elementlar    parallelepipedning  hajmi 
V  
hamda qirralari 
 
ij

 tenzorining bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lsinlar. Parallelepipedning hajmi 
3
2
1
,
,
dx
dx
dx
V 
 
dan iborat bo‘ladi. Deformatsiyadan keyin ham bu parallelepiped to‘g‘ri burchakliligicha qoladi va 
uning hajmi 




3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
1
1
dx
dx
dx
x
d
x
d
x
d
V
d












 
ga  teng.  Bosh 
3
2
1
,
,



  deformatsiyalar  ichik  miqdorlar  bo‘lganliklari  uchun  ularning 
ko‘paytmalarini hisobga olmaslik mumkin. Ya‘ni birinchi tartibli kichiklik aniqligida 


 


dV
I
dx
dx
dx
V
d
ij




1
3
2
1
3
2
1
1
1







 
 
 
 
 
  (3.51) 
tenglikka  ega  bo‘lamiz.  Buyerdan  ko‘rinadiki  deformatsiya  tenzori  1-invariantining  geometrik 
ma‘nosi     oddiy va u hajmiy kengayishni ifodalaydi. Hajmiy     kengayish, jism berilgan nuqtasi 
atrofidagi hajmiy deformatsiya deyiladi va 
  bilan belgilanadi (3.51)          formulaga asosan 
 
.
3
2
1
33
22
11
1




















ii
ij
dV
dV
V
d
I
 
 
 
 
 (3.52) 
Bu tenglikni koshining differensial munosabatlari         asisada 
 
u
di
dx
du
dx
du
dx
du
I
ij

v
3
3
2
2
1
1
1







          
 
 
 
    (3.53) 
ko‘rinishda foydalanish mumkin. 
Endi 
 
ij

 deformatsiya tenzorini sharsimon va     deviator qismlariga ajratamiz: 
,
~
0
ij
ij
ij






         
 
 
                   (3.54) 

 
63
buyerda 
ij
ij



0

-deformatsiya  sharsimon  tenzori-ning  komponentalari; 
,
~
ij

-  deformatsiya 
deviatori komponentalari; 
0
 -o‘rtacha nisbiy uzayish 


 
ij
ii
I







1
3
2
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1






    
 
 
 (3.55) 
Deformatsiya sharsimon tenzorining invariantlari 






3
0
0
3
2
0
0
2
0
0
1
3
;
3
;
3












ij
ij
ij
I
I
I
  
 
 
(3.56) 
Deformatsiya tenzorining bosh qiymatlari 
 
ij
i
i
i
I





1
0
3
1
~




        
 
 
          (3.57) 
ga teng, buyerda 
i
  - bosh deformatsiyalar. Uning invariantlari 
 
 
 
   
   
 
.
27
2
3
1
~
~
;
3
1
~
;
0
~
3
1
2
1
1
1
2
1
2
1
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
I
I
I
I
I
I
I
I













   
 
 
   (3.58) 
formulalar bilan aniqlanadi. 
 
 Deformatsiya ellipsoidi 
 
Xuddi  kuchlanishlar  tenzori  singari  deformatsiya  tenzori 
 
ij

  ga  ham,  ikkinchi  rang 
simmetrik tenzor sifatida, jismning ixtiyoriy 
M
 nuqtasida markazi 
M
nuqtada bo‘lgan 
 
2
2
c
f
j
i
ij







               
 
 
 
    (3.59) 
xarakteristik sirt mos keladi. Buyerda 
i
 -markazi 
M
 nuqtada bo‘lgan local koordinat sistemasidagi 
r

radius-vektorning komponentalari. 
Ushbu 
r

vektorining yo‘naltiruvchi kosinuslari 
r
r
j
rj
i
ri








,
 
bo‘lganligidan ikkinchi tartibli markaziy sirtning (3.59) tenglamasini 
2
2
c
r
rj
ri
ij







     
 
 
 
             (3.60) 
ko‘rinishga keltirish mumkin. Buyerda, (3.37) ga asosan 
r
r
rj
ri
ij
€





   
 
 
 
 
 
               (3.61) 
bo‘lganligidan 
2
€
2
c
r
r
r




   
 
 
 
                      (3.62) 
tenglikni olamiz. Bunda 
r
r
r


€

vektor yo‘nalishidagi nisbiy uzayish. 
Deformatsiya tenzorining (3.59) xarakteristik sirti koshining deformatsiya sirti deyiladi. 
Deformatsiya  tenzori 
 
ij

  ning  bosh  o‘qlari  uning  xarakteristik  sirtining  bosh  o‘qlari  bilan 
ustma-ust  tushadi.  Shuning  uchun 
 
ij

  ning  bosh  o‘qlarini  koordinat  o‘qlari  sifatida  qabul  qilib 
(3.59) sirt tenglamasini kanonik ko‘rinishda yozamiz 
.
2
2
c
i
i




         
 
 
 
                      (3.63) 
Agar jismning biror 
M
 nuqtasida deformatsiya-ning 
i
  bosh qiymatlarining ishoralari bir xil 
bo‘lib qiymatlari har xil bo‘lsalar (3.63) deformatsiya sirti ellipsoiddan iborat bo‘ladi: 
.
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
c










          
 
 
        (3.64) 
Ushbu ellipsoid deformatsiya ellipsoidi deyiladi. 
Agar 
i
   bosh  deformatsiyalar  har  ishoralarga  ega  bo‘lsalar  deformatsiya  sirti  asimptotik 
konus bilan ajratilgan bir pallali va ikki pallali giperboloidlar majmuasidan iborat bo‘ladi. 

 
64
Endi (3.59) ni 
i
  bo‘yicha differensiallaymiz. 
j
ij
i
f






  demak,  
i
j
ij
э
f
grad




  
 
 
 
     (3.65) 
Jismning  biror 
M
  nuqtasi  atrofida 
r

  vektori  yo‘nalishida  yotuvchi, 
M
  nuqtaga  cheksiz 
yaqin  bo‘lgan  koordinatalari 
j
z
  lardan  iborat 
N   nuqtani  qaraymiz.  Faraz  qilaylik 
const
a
аz
j
i


,

 bo‘lsin. U holda (3.65) ni 
 
i
j
ij
э
z
а
f
grad



 
 
 
 
                    (3.66) 
ko‘rinishda yozish mumkin va § 3.2. ning natijalariga asoslanib 

u
а
f
grad


   
 
 
 
 
 
   (3.67) 
ga ega bo‘lamiz. 
Shunday qilib (3.67)dan ko‘rinadiki 
N  nuqta ning 
M
 nuqtaga nisbatan 

u

 nisbiy ko‘chish vektori 
sof deformatsiya natijasida deformatsiya sirtining 
r

-radius-vektori bilan aniqlanuvchi 
К
nuqtasidagi normaliga (
f
grad
 vektoriga) parallel yo‘nalgan bo‘ladi (3.6.-rasm)