Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
40
Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari. 
 
Bosh kuchlanishlar uchinchi darajali (2.23) tenglama  
0
3
2
2
1
3




I
I
I



                                                    (2.65) 
ning  ildizlari  sifatida  topilishi  kerakligi  aniqlangan  edi.  Bu  yerda  kuchlanish 
invariantlari (2.25) formulalarga ko‘ra: 
.
2
;
;
31
23
12
2
12
33
2
31
22
2
23
11
33
22
11
3
2
31
2
23
2
12
11
33
33
22
22
11
2
33
22
11
1






































I
I
I
                               (2.66) 
formulalar  bilan  aniqlanadi.  Kubik  (2.65)  tenglamani  yechish  uchun  quyidagi 
usulni qo‘llaymiz. Quyidagi yordamchi kattaliklarni hisoblaymiz: 
.
cos
;
2
6
27
;
3
1
3
1
3
2
1
3
1
2
1
2
a
a
b
I
I
I
I
b
I
I
а














 
Endi (2.65) tenglamaning ildizlarini 








































6
3
cos
2
;
6
3
cos
2
;
6
3
cos
2
1
1
1
I
а
I
а
I
а








                                                (2.67) 
formulalar  yordamida  hisoblash  mumkin.  Ushbu  kuchlanishlardan  eng  kattasi 
1

, eng kichigi
3

 bo‘ladi. 
Jism  nuqtasidagi  o‘tuvchi  maydonchaning   
n

  normalining  yo‘naltiruvchi 
kosinuslarini 
n
m,
,

  lar  bilan  belgilaymiz.  U  holda  (2.8)  va  (2.51)  formulalarda 
n
n
m
n
n



3
2
1
,
,

deb olib, (2.20) formulani quyidagicha ko‘chirib yozamiz 
 






.
0
;
0
;
0
33
32
31
23
22
21
31
12
11












n
m
n
m
n
m















                                               (2.68) 
Bosh  kuchlanishlarni  (2.67)  dan  aniqlab  va  topilgan  qiymatlarni  (2.68)  ga 
qo‘yib hamda 
1
2
2
2



n
m

 
ekanligini  hisobga  olib,  (2.68)  dan  uchta  bosh  maydonchalarning  har  birining 
vaziyatini aniqlash, ya‘ni  
)
3
,
2
,
1
(
,
,

i
n
m
i
i
i

 larni aniqlash mumkin. 
Matematika kursidan ma’lum Kramer qoidasi asosida  
i
i
i
n
m ,
,

larni 
hisoblash oson 
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
m









3
2
1
;
;

                                             (2.69) 
bu yerda 

 
41







2
3
2
2
2
1
2
12
22
11
3
31
12
23
11
2
23
12
31
22
1
;
;
;
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i





































                                           (2.70) 
Bosh  maydonchalarning  o‘zaro  perpendikular  ekanliklarini  isbotlash  ham 
qiyin  emas.  Buning  uchun  yo‘naltiruvchi  kosinuslarning  birinchi  va  ikkinchi 
bosh maydonchalarga mos keluvchi qiymatlarini (2.68) ga qo‘yamiz: 












.
0
;
0
;
0
;
0
;
0
;
0
2
2
33
2
32
2
31
2
23
2
2
22
2
21
2
31
2
12
2
2
11
1
1
33
1
32
1
31
1
23
1
1
22
1
21
1
31
1
12
1
1
11
























n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m






























 
Endi bu tenglamalarning birinchi uchtasini mos ravishda 
2
2
2
,
,
n
m

 larga, 
ikkinchi uchtasini 
1
1
1
,
,
n
m 

 
 larga ko‘paytirib, hamma oltita tenglamani 
qo‘shamiz. Natijada 



0
2
1
2
1
2
1
1
2




n
n
m
m




 
Umumiy holda 
,
2
1

 
shuning uchun 
0
2
1
2
1
2
1



n
n
m
m


 
Oxirgi tenglik, analitik geometriya  kursidan  ma’lumki, qaralayotgan  ikki 
maydoncha o‘zaro perpendikylar bo‘lganda o‘rinlidir. 
 
 Ikki o‘qli kuchlanganlik holati. 
 
Faraz  qilaylik, 
 
ij

  kuchlanish  tenzorining 
n
q

  kuchlanish  vektori  ta’sir  qiluvchi 
maydonchaning   
n
~  normali va   ~ urinmasi yo‘nalishlaridagi normal va urinma komponentalarini 
aniqlash  kerak  bo‘lsin.  Buning  uchun  (2.15)  formulalardan  foydalanish  yetarli  bo‘ladi.  Agar 
n
normalning  yo‘naltiruvchi  kosinuslari 
n
m,
,

lar  bilan, 

urinmaninig  esa 
1
1
1
,
,
n
m

lar  bilan 
belgilansa, (2.15) ning birinchi guruh tenglamalarida istalgan 
1
€
i
i

 normal kuchlanish o‘rniga 
nn
  ni 
qo‘yib, 



n
mn
m
n
m
nn
31
23
12
2
33
2
22
2
11
2
2
2













                     (2.71) 
va ikkinchi guruh tenglamalarida istalgan 
1
ij

 urinma kuchlanish o‘rniga 
n

  ni qo‘yib, 











1
1
31
1
1
23
1
1
12
1
33
1
22
1
11
n
n
n
m
mn
m
m
nn
mm
n


















                     (2.72) 
formulalarga ega bo‘lamiz. 
Ushbu  mavzu  doirasida  bir  va  ikki  o‘qli  kuchlanganlik  holatlarini  qarab  chiqamiz.  Bu 
holatlarning ta’riflari  keltirilgan edi. Faraz qilaylik bosh kuchlanishlardan biri, masalan, 
3
  nolga 
teng bo‘lsin. Koordinat sistemasining  
3
ох o‘qini uchinchi bosh yo‘nalish bilan ustma-ust qo‘yamiz 
va bosh maydonchada urinma kuchlanishlar nolga teng ekanligidan foydalanib, (4.13. a-rasm) 
.
0
,
0
31
23
3
33








                                            (2.73) 

 
42
Yuqoridagi  (2.71)  va  (2.72)  formulalardan  foydalanib,  normali 
1
ох o‘qi  bilan 

  burchak  tashkil 
etuvchi  qiya  tekislikdagi  normal  va  urinma  kuchlanishlarni  aniqlaymiz.  Qaralayotgan 
maydonchaning 
n  normali va

urinmasining yo’naltiruvchi kosinuslarini aniqlaymiz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




.
0
;
cos
;
sin
90
cos
;
0
;
sin
90
cos
;
cos
1
1
0
1
0











n
m
n
m








 
Bu  miqdorlarni  va  (2.73)  tengliklarni  (2.71)  va  (2.72)  ifodalarga  qoyamiz,  natijada 
izlanayotgan kuchlanishlar uchun 




.
2
cos
2
sin
2
1
sin
cos
2
sin
2
1
2
sin
2
1
;
2
sin
sin
cos
12
22
11
2
2
12
22
11
12
2
22
2
11

































n
nn
                           (2.74) 
Ushbu formulalarni 4.13. b)-rasmda tasvurlangan element uchun hamma kuchlarning 
n  va  

lar yo‘nalish-ga proeksiyalari yig‘indisi tenglamalarini tuzib chiqarish ham mumkin. 
Normali 

ning  yo‘nalishi  bilan,  urinmasi  esa 
n   ning  yo‘nalishi  bilan  ustma-ust  tushuvchi 
maydonchadagi  kuchlanishlarni  aniqlaymiz  (4.13,  c-rasm).  Bu  maydoncha  yuqorida  qaralgan 
maydonchaga  perpendikular.  Ko‘rinib  turibdiki  bu  holda  (2.72)  va  (2.73)  formulalarda 
   ni 
1
  
bilan, 
m  ni  
1
m bilan va teskari almashtirish zarur. Natijada 
.
;
2
sin
cos
sin
12
2
22
2
11
n
n
















                                    (2.75) 
Oxirgi tenglikurinma kuchlanishlarning juftligini ifodalaydi. Agar 
nn
  va 

  larning 
ifodalarini qo‘shsak 
22
11








nn
                                                           (2.76) 
Shunday qilib ikki o‘qli kuchlanganlik holatida ikkita o‘zaro perpendikulyar maydonchalarda 
ta’sir  qiluvchi  normal  kuchlanishlar  yig‘indisi  invariant  kattalikdir  va  koordinat  sistemasining 
tanlanishiga bog‘liq emas. 
Ikki  o‘qli  kuchlanganlik  holatida  mavjud  ikkita  bosh  kuchlanishlarni  aniqlash  uchun  (2.65) 
tenglamadan 
0
3

I
 ni hisobga olgan holda foydalanamiz. Bu tenglama 
0
2
1
2



I
I


                                                                    (2.77) 
                           x
2
                                                x
2 
    a)                                                       b)    

                     n 
 
                                        
21

                                                    
                                           
11

 x
1                    
                                x
1
                   
 
                                                                                         
12

 
            
12

                                                   
12

 
                           
22

                                                 
22

 
                                                                    
    

                   x
2
              n
  
       
c)
                                                                      
 
                                         
21

   
                                            x
1
           2.13-rasm. 
                                             
11

     
                                          
           
12

 
                                         
22

 
                 
     
 
 
 o 
 o 
 o 
nn

 

 
n


 
n


 
nn

 

 
43
kvadrat  tenglamaga  keltiriladi.  Bu  tenglamaga  kiruvchi  I
1   
va  I
2 
invariantlar  (2.66)  va  (2.73) 
formulalarga asosan  
2
12
11
2
22
11
1
;








I
I
 
ifodalarga teng bo‘ladi. Bu qiymatlarni (2.77) ga qo‘yib va uni yechib bosh kuchlanishlarning 











2
12
22
11
22
11
2
,
2
2






                                          (2.78) 
qiymatlarini topamiz. 
Ikki o‘qli kuchlanganlik holatida bosh maydonchalarning vaziyatini (2.68) formulalardan 
topish qulay. Qaralayotgan hol uchun bu sistema quyidagi ko‘rinish-ni oladi 




.
0
;
0
22
12
12
11







m
m








 
Ushbu tenglamalardan faqat bittasi mustaqildir. Masalan ikkinchi tenglamadan foydalanamiz. 


sin
,
cos


m

    ekanliklarini  e‘tiborga  olgan  holda  ikkinchi  tenglamadagi 

  ning  o‘rniga 
navbati  bilan 
1
   va 
2
 larning  qiymatlarini  qoyib  bosh  maydonchalarning 
1
ox   o‘qiga  oq‘ish 
burchaklari 
1
  va 
1
  larni topamiz: 
.
;
22
2
12
2
22
1
12
1












tg
tg
 (2.79) 
Bosh maydonchalardagi urinma kuchlanishlarning nolga tengligidan foydalanib (2.74) ning 
ikkinchi tenglamasida 
0

n


 deb hisoblab 
22
11
12
2
2






tg
                                                                  (2.80) 
formulaga ega bo‘lamiz. Bu (2.79) ning analogidan iborat formuladir. 
Quyida yana ikki xususiy holni qaraymiz. 
1) 
Sof  siljish.  Agar  ikki  o‘zaro  perpendikulyar  maydonchalarda  faqat  urinma  kuchlanishlar 
ta‘sir qiladigan kuchlangan holati sof siljish deyiladi (4.14. a-rasm). 
Olingan  (2.78)  formulada 







12
22
11
,
0
deb  hisoblasak 







2
1
,
larga  ega  bo‘lamiz. 
Ana  shu   
1
   va 
2
   larni  bilan  holda  (2.79)  dan  bosh  maydonchalarning  oq‘ish  burchaklarini 
topamiz: 
.
45
;
45
;
1
;
1
0
2
0
1
2
1










tg
tg
 
Shunday  qilib,  sof  siljish  qiymatlari  teng,  lekin  ishoralari  qarama-qarshi  bo‘lgan  ikkita 







2
1
,
  bosh  kuchlanishlarning  kombinasiyasiga  (majmunasiga)  ekvivalentdir  (2.14.  b-
rasm) 
Sof siljish maydonchalari bosh maydonchalarga nusbatan 
0
45



 burchak ostida og‘ganlar. 
2) 
Bir  o‘qli  kuchlanganlik  holati.  Bunday  kuchlanganlik  holati  bosh  kuchlanishlardan  faqat 
bittasiga noldan fatqli bo‘lgan o‘rinli bo‘ladi (4.15-rasm). 
Agar  bu  holda 
0
33
22




  va  bosh  maydonchada  urinma  kuchlanish  nolga  teng  ekanligini 
hisobga olsak qiya maydonchalardagi kuchlanishlar uchun formulalarni (2.74) tenglik 
                      oson 
)
(
1
11

 
: 
.
2
sin
2
;
cos
1
2
1










n
nn
 
Bu formulalardagi 

-qiya maydonchaning 
n normali bilan 
1
 -bosh kuchlanishning ta‘sir 
yo‘nalishi orasidagi burchak. 
 
 
 
 
 
 
                    

       x
2           
n 
                             
nn

                            
1

                            

        x
1 
                                
n


                
            
                2.15-rasm.               
     a)     x
2                       
b)
              
x
2 
     

                         2                  1 
          

                        

 
1
                                                                                                                             
          o           x
1
                o  45
0 
  x
1 
                                                
                                               




2
 
                     2.14-rasm. 

 
44
 
 
 
 
 
 
4-ilova