Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 Deformatsiyaning chiziqli tenzori va kichik burilish tenzori. 
 
Bundan oldingi paragrafda 
 
j
i
u
,
 nisbiy ko‘chish tenzorini simmetrik 


i
j
j
i
ij
u
u
,
,
2
1



       
 
 
 
                 (3.16) 
hamda antisimmetrik 


i
j
j
i
ij
u
u
,
,
2
1



         
 
 
 
 
            (3.17) 
tenzorlarga yoygan edik, ya‘ni 




ij
ij
i
j
j
i
i
j
j
i
j
i
u
u
u
u
u








,
,
,
,
,
2
1
2
1
 
yoki 
ij
ij
j
i
u




,
     
 
 
 
 
 
                  (3.18) 
U holda (3.18) ni (3.11) ga qo‘yib 




.
2
/
kj
kj
ki
ki
ij
ij
e









      
 
 
 
    (3.19) 
ifodaga  ega  bo‘lamiz.  Bu  yerda 
kj
ki
ij



,
,
  miqdorlar  (3.16)  formula  bilan  aniqlanadilar  va 
chiziqlidirlar.  Shuning  uchun 
ij
   lar  deformatsiya  chiziqli  tenzorining  komponentalari  deyiladi. 
Mos ravishda 
)
(
ij



 tenzori deformatsiya chiziqli tenzori deyiladi. 
 
Nisbiy ko‘chish vektori (3.2-rasm) 
i
j
j
i
i
j
j
i
i
i
э
dx
u
э
dxl
дx
дu
э
du
u
d




,




 
ga teng bo‘ladi va (3.18) ga asosan 




u
u
э
dx
dx
u
d
i
j
ij
j
ij








, 
bu  yerda 
j
dx
  - 
N   niqtaning  boshi 
M
  nuqtada  bo‘lgan  lokal  koordinat  sistemasidagi 
koordinatalari.  Bu  ifoda 
u
d

  nisbiy  ko‘chish  vektorini  ikki 

u

  va 

u

  vektorlari  yig‘indisidan 
iboratligini ko‘rsatadi. 
Yangi 
i
i
dx


 belgilashlar kiritamiz. U holda 
i
j
ij
i
j
ij
u
u














,
 
Endi 

u

 va 

u

 vektorlariga mos 


ij
 va 


ij
 deformatsiyalarni (3.16) formula asosada hispblaymiz: 

 
52




o
u
u
u
u
ji
ij
i
j
j
i
ij
ij
ji
ij
i
j
j
i
ij



















































2
1
2
1
2
1
2
1
 
Bu  yerdan 

u

  vektori  jism 
N   nuqtasining 
М
nuqtasiga  nisbatan  ko‘chishini  ifodalashi  va 
lekin  bu  ko‘chish 
М
nuqta  atrofining  deformatsiyasi  natijasi  emas,  balki  shu  atrofning  xuddi 
absolyut  qattiq  jism  kabi  kichik  burilishi  natijasi  ekanligini  ko‘rsatadi.  Shuning  uchun  ham 
komponentalari (3.17) bo‘yicha aniqlovchi 
 
ij



 tenzori kichik durilish tenzori deb ataladi. 
Antisimmetrik 
 
ij
  tenzorini burilish vektori 


 
u
rot


2
1


               
 
 
                     (3.20) 
bilan tavsiflash mumkin, bu yerda 






.
2
1
;
2
1
;
2
1
2
,
1
1
,
2
21
12
3
1
,
3
3
,
1
13
31
2
3
,
2
2
,
3
32
23
1
u
u
u
u
u
u
























       
 
 
        (3.21) 
Shunday  qilib  (3.19)  ga  ko‘ra  deformatsiya  chiziqlimas 
 
ij
e
  tenzorini  deformatsiya  chiziqli 
 
ij

 tenzori va kichik burilish 
 
ij
  tenzorlari orqali tasvirlash mumkin ekan. 
 
        Deformatsiya tenzori komponentalarining geometric ma‘nosi 
 
Chiziqli 
ds  elementning nisbiy uzayishini 
s
  bilan belgilaymiz, ya‘ni 
ds
ds
s
d
s




 
bundan 


.
1
ds
s
d
s




 
u holda  


2
2
2
2
ds
ds
s
d
s
s






         
 
 
        (3.22) 
(3.10) bilan (3.22) dan 


j
i
ij
s
s
dx
dx
e
ds
2
2
2
2




 
yoki 
ds -elementning yo‘naltiruvchi kosinuslari 
ds
dx
ds
dx
j
j
i
i




,
  bo‘lganliklari uchun 
j
i
ij
s
s
e




2
2
2


      
 
 
                        (3.23) 
tenglikka ega bo‘lamiz. 
Faraz  qilaylik  chiziqli 
ds   element  deformatsiyaga  qadar 
i
x   koordinat  o‘qiga  parallel  bo‘lgan 
bo‘lsin. U holda 
j
i 
 uchun  
i
s
j
j
i
i
o
ds
o
ds
dx
ds
ds
ds
dx











;
;
1
 
 
 
  
(3.23) 
formula asosida 
i
i
i
i
e
€
2
2
2




   
 
 
 
                            (3.24) 
Bu tenglama 
i
  ga nisbatan kvadrat tenglamadir. Uni yechib 

 
53
1
2
1
€



i
i
i
е

          
 
 
 
 
            (3.25) 
Oxirgi  formulada 
i
 -
i
x   koordinat  o‘qi  bo‘ylab  yo‘nalgan  nisbiy  uzayishdir.  Demak, 
 
ij
е
 
deformatsiya tenzorining normal 
33
22
11
,
,
е
е
е
 komponentalari 
2
1
, х
x
 va 
3
x  koordinat o‘qlari bo‘ylab 
nisbiy uzayishlar yoki qisqarishlarni ifodalaydilar. 
Normal  deformatsiyalarni  tasavvur  qilish  uchu  quyida  jismdan  ajratib  olingan  elementar 
parallelepiped  yoqlari  deformatsiyasi  keltirilgan  (3.3.a,b,c-rasmlar).  Uning  qirralari  o‘qlarga  mos 
ravishda 
3
2
1
,
,
dx
dx
dx
larga ten qilib olingan. 
 
                       
         
 
                                             
 
                                
                   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
Agar jismda har uchola koordinat o‘qlari bo‘ylab deformatsiyalansa  
ii
e
e
e
e
е




33
22
11
       
 
 
 
 
           (3.26) 
ifodaga hajmiy deformatsiya deyiladi. 
Endi jismning berilgan 
М
 nuqtasidan chiquvchi va deformatsiyagacha oralaridagi burchak 
  
bo‘lgan ikkita 
1
ds  va 
2
ds  chiziqli elementlarini qaraymiz. Bu elementlarning yo‘nalishlari 
2
2
1
1
,
ds
dx
ds
dx
i
i
i
i




 
yo‘naltiruvchi kosinuslar bilan aniqlanadi. 
Deformatsiyadan  keyin 
1
s
d    va 
2
s
d    elementlar  orasidagi  burchakni 
    bilan,  ularning 
yo‘naltiruvchi kosinuslarini 
2
2
1
1
,
s
d
x
d
s
d
x
d
i
i
i
i










 
orqali belgilaymiz. Deformatsiyalanishdan keyin 
j
j
i
i
i
i
i
dx
u
dx
du
dx
x
d
,





 
bo‘lganligidan 
1
1
1
,
1
1
1
s
d
ds
ds
dx
u
ds
dx
s
d
du
dx
j
j
i
i
i
i
i

















 
ifodaga ega bolamiz. Buyerda yuqorida keltirilgan 


ds
s
d
s




1
1
 formulani hisobga olsak 
,
1
1
1
,
1
1







j
j
i
i
i
u
s
d
 
xuddi shunday 
                    x
3                                                  
             x
3 
       a)               dx
2
                            b) 
 
                                      
                                      dx
3
               
                o                          x
2
      dx
3
     o                                   x
2 
                                   dx
1                                  
                 dx
1  
                              e
11
dx
1   
                        dx
2
 
       x
1                                                                    
x
1                              
e
22
dx
2      
 
 
c) 
x
3
 
                        e
33
dx
3
 
 
 
                       dx
3                                 
 
                                                         3.3-rasm. 
o                           x
2
 
    dx
2
        dx
1 
      x
1 
                           

 
54
2
2
,
2
2
1







j
j
i
i
i
u
s
d
 
u holda 



2
1
2
,
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
1
1
cos































j
j
i
i
j
i
i
j
j
i
j
i
j
i
i
i
i
i
u
u
u
u
 
Bu formulada gung indekslarning belgilarini almash-tirib 
j
i
j
k
ki
j
j
i
j
j
i
j
i
i
j
i
j
j
i
u
u
u
u
u
u
2
1
,
2
,
1
,
2
1
,
2
1
,
;










 
ifodalarni olamiz. Mana shu ifodalarni, 



cos
2
1

j
i
 tenglikni hamda (3.11) formulalarni hisobga 
olsak 



2
1
2
1
1
1
2
cos
cos











i
j
ij
e
        
 
 
              (3.27) 
Faraz  qilaylik  deformatsiyaga  qadar 
1
ds   va 
2
ds   elementlar 
i
х   va 
j
х
koordinat  o‘qlariga  parallel 
bo‘lgan bo‘lsinlar. U holda  
1
;
1
,
,
,
0
cos
€
1
2
1







jj
rj
i
i
i
j
i









 
(3.27) formula asosida 




j
i
ij
ij
e

















1
1
2
2
cos
cos
,         
 
  (3.28) 
buyerda 
ij
 -siljish  burchagi.  Bu  burchak  jismning 
М
  nuqtasidan  chquvchi, 
i
х   va 
j
х
o‘qlariga 
parallel 
1
ds  va 
2
ds  elementlar orasidagi  boshda (deformatsiya-gacha) to‘g‘ri  bo‘lgan  burchakning 
kamayishini xarakterlaydi. 
Endi (3.28) ga (3.25) ni qo‘ysak 
j
j
i
i
ij
ij
e
e
e
arc


2
1
2
1
2
sin




       
 
 
 
     (3.29) 
Shunday  qilib 
 
ij
e
  tenzorning 


j
i
e
ij

  komponentalari  siljish  burchaklarini  xarakterlaydilar.    
Demak, 
i
i
e
€
-deformatsiya  tenzorining  chiziqli  komponentalari,  yo‘ki  chiziqli  deformatsiyalar, 


j
i
e
ij

-deformatsiya tenzorining burchak komponentalari, yo‘ki burchak deformatsiyalardir. 
Chiziqli deformatsiyalar musbut bo‘ladilar, agar qiralarning o‘lchamlari kattalashsa (3.3.a,b,c-
rasm),  aks  holda,  ya‘ni  parallelepiped  qirralarining  o‘lchamlari  deformatsiya  natijasida  kichraysa 
chiziqli deformatsiyalar manfiy bo‘ladilar. 
Jismning  berilgan  nuqtasidagi  burchak  deformatsiyasi  parallelepiped  qirralari  orasidagi 
burchakning kichrayishi (musbat) va kattalashishi (manfiy) bilan xarakterlanadilar (3.4-a,b,c-rasm). 
 
       
                                     
 
                    
  
 
 
 
 
 
 
 a)   x
3
                          b)      x
3
      
21

            c)        x
3
 
                      
13

 
21
2



            
                        
13
2



                                  
32

 
      o                    x
2
              o                   x
2
               o             x
2
 
 
  x
1                                    
       x
1                                                     
x
1
    
32
2



 
                                            3.4-rasm. 

 
55
Agar parallelepipedning bosda 
1
ox  o‘qiga parallel bo‘lgan qirrasi, 
2
ox  o‘qiga parallel qirraga qarab 
burilsa  burchakning  sodir  bo‘lgan  qisqarishi 
12
   (3.5.a-rasm)  bilan,  agar  teskarisi  bo‘lsa  qisqarish 
21
   bilan  (3.5.b-rasm)  belgilanadi.  Nihoyat  3.5.c-rasmda  tasvirlangan  holatda  ham  burchak 
qisqarishi 
12
   bilan  belgilanadi.  Bu  holda 
3
ox   o‘qiga  parallel  bo‘lgan  uchinchi  qirra 
2
1
х
ox
 
tekisligiga qarab shu burchak buriladi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kichik deformatsiya tenzori 
 
Texnikada ishlatiladigan materiallarning ko‘pchi-ligi (ba‘zi rezina va polimerlardan tashqari) 
juda ki-chik nisbiy uzayishlar va siljishlardagina to‘liq elastik bo‘lib qoladilar. Boshqacha aytganda 
ular faqat kichik deformatsiyalardagina to‘liq elastik bo‘lib qoladilar. 
Deformatsiya  kichik  deyilai,  agar 
i
 -nisbiy  uzay-ishlar  va 
ij
 -  siljish  burchaklari  istalgan 
i
 
va 
j
 lar uchun 






ij
i
,
 
tengsizliklarni qanoatlantirsalar. Buyerda 
1


 va    ga nisbatan 
2
  ni hisobga olmaslik mumkin 
bo‘lgan darajada kichik. 
Kichik  deformatsiya  holida  deformatsiya  chiziqlimas  tenzori   
 
ij
е
  -  kichik  deformatsiya 
tenzori  deyiladi.  Bu  tenzorning  komponentalari  (3.19)  formulalar  bilan  aniqlanadi.  Ushbu 
formulalardan ko‘rinadiki kichik deformatsiya holida deformatsiya chiziqli tenzori -
 
ij

 va kichik 
burilish tenzori-
 
ij
  larning komponentalari ham kichik bo‘lishlari zarur-ligi kelib chiqadi. 
Bir  o‘lchami  boshqa  ikki  o‘lchamidan  ancha                kichik  bo‘lgan  jismlarda  ba‘zi  yuklanish 
sharoitlari  uchun  deformatsiya  kichik  bo‘lsa  ham  nuqtalarning  ko‘chishlari  katta  bo‘ladi.  Bunday 
hollarda 
ij
е
  lar 
ij
   larga  nisbatan  kichiklik  artibi  ancha  yuqori  bo‘ladi,  shunday  uchun  (3.19) 
formulalarda 
кj
  larning kvadratik yigindilarini hisobga olishga to‘g‘ri keladi va (3.19) 
kj
ki
ij
ij
е



2
1


          
 
 
 
 
             (3.30) 
ko‘rinishni oladi. Buni yoyib yozsak 






.
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
1
3
31
31
2
2
2
1
33
33
3
2
23
23
2
3
2
1
22
22
2
1
12
12
2
3
2
2
11
11

































е
е
е
е
е
е
     
 
 
 
(3.31) 
Buyerda 
3
2
1
,
,



 lar 
кj
  lar orqali (3.21) formulalar yo‘rdamida aniqlanadilar. 
Agar  jismning  o‘lchamlari  bir  birlaridan  katta  farq  qilmasalar, 
ij
е
  va 
ij
   komponentalar  bir 
xil tartibli kichik miqdorlar bo‘ladilar, ya‘ni ularning absolyut qiymatlari 
 x
2            
a)                     x
2
 
    
        b)
                 
         x
2               
c)
          
 
 
 
      
12

 
                
21

       
21
2



          
21
2
1

      
12
2



        
  o                       x
1
       o                       x
1
          o                        x
1
             
        
12

                                                                       
12
2
1

             
                                         3.5-rasm.                 

 
56
.
1
;
;








ij
ij
       
 
 
 
      (3.32) 
Bu  holat  amaliyotda  eng  ko‘p  uchraydi.  Bunda  kichik  deformatsiya  tenzori  - 
 
ij
е
 
deformatsiya chiziqli tenzori -
 
ij

bilan bir xil bo‘ladi, 


i
j
j
i
ij
u
u
,
,
2
1



           
 
 
 
                (3.33) 
Yuqoridagi (3.32) shrtlar ko‘chishlarning kichiklik sharti 
.
1
,
,




j
i
u
              
 
 
          (3.34) 
bilan  ekvivalentdir.  Ushbu  shart  jismning  ixtiyoriy 
 
к
х
М
  nuqtasi  uchun 
i
  va 
j
  larning  hamma 
qiymatlarida  bajariladi.  Ana  shu  (3.34)  shart 
 
j
i
u
,
  tenzori  komponentalari  kvadratlarini  va 
ko‘paytmalarini ularning birinchi darajalariga nisbatan hisobga olmaslik imkonini beradi. 
Shunday qilib ko‘chishlar kichik  bo‘lganida deformatsiyalar  ham kichik  bo‘ladilar  va kichik 
deformatsiya  tenzori  komponentalari  chiziqli.  Bundan  keyin  chiziqli  deformatsiya  tenzorini  oddiy 
qilib deformatsiya tenzori deb ataymiz. 
Kichik  deformatsiya  holida 
1

i

  va 
i
i



2
  bo‘lganligidan  (3.24)  va  (3.28) 
formulalaridan 
 
ij

-deformatsiyalari tenzorining geometric ma‘nosi kelib chiqadi: 
ij
ij
ij
ij
i
i
i
i
i
e







2
sin
2
cos
,
€
€












 
 
 
 
 
 
 
 yoki        
ij
ij


2
1

                 
 
 
      
 
     (3.35) 
Demak,  deformatsiya  tenzorining  chiziqli  komponentalari  koordinat  o‘qlari  bo‘ylab  nisbiy 
uzayishni,                    burchak  komponentalari  - 


j
i
е
ij

  lar  koordinat  o‘qlariga  parallel  elementlar 
prasidagi siljish            burchagining yarmiga teng ekan. 
Deformatsiya tenzorining olti o‘zaro bog‘lan-magan komponentalari (3.33) asosida 
.
2
1
;
2
1
;
2
1
;
;
;
3
1
1
3
31
2
3
3
2
23
1
2
2
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11

















































x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u






  
 (3.36) 
Ushbu munosabatlar koshining differensial bog‘lanishlari deb yuritiladi. 
Deformatsiya tenzorining ham rangi ikkiga teng bo‘lganligi sababli koordinat o‘qlari 
burilganda uning komponentalari 
ij
sj
ri
rs






          
 
 
 
               (3.37) 
qonuniyat bilan almashtiriladi. Yo‘naltiruvchi kosinus-lar - 
sj
ri


,
lar uchun ikkinchi bobda qabul 
qilingan belgilashlardan foydalanib (3.37) formulani yoyib yozish oson: 

 
57


















.
;
;
;
2
2
2
;
2
2
2
;
2
2
2
3
1
1
3
31
3
1
1
3
23
3
1
1
3
12
1
3
33
1
3
22
1
3
11
31
2
3
3
2
31
2
3
3
2
23
2
3
3
2
12
3
2
33
3
2
22
3
2
11
23
1
2
2
1
31
1
2
2
1
23
1
2
2
1
12
2
1
33
2
1
22
2
1
11
12
3
3
31
3
3
23
3
3
12
2
3
33
2
3
22
2
3
11
33
2
2
31
2
2
23
2
2
12
2
3
33
2
2
22
2
2
11
22
1
1
31
1
1
23
1
1
12
2
1
33
2
1
22
2
1
11
11



























n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m
n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m
n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
m
n
n
m
m
n
m
n
n
m
m
n
m
































































































  
 
(3.38) 
Ushbu (3.38) formulalar jismning berilgan nuqtasidan  chiquvchi ixtiyoriy o‘zaro 
perpendikulyar 
r
va 
s  yonalishlari bo‘ylab istalgan chiziqli 
r
r €
  va burchak 
rs
   deformatsiyalarni 
hisoblashga imkon beradi, agar eski o‘qlarga nisbatlangan 
ij
  deformatsiyalar ma‘lum bo‘lsa.