Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Beltrami - Mitchell tenglamalari 
 
Bundan oldingi paragraflarda elastik jismning muvozanat tenglamalarini Lame tenglamalariga 
keltirdik  va  ularning  yechimini  Papkovich-Neyber  ko‘rinishida  tasvirladik,  boshqacha  aytganda 
ularning  umumiy  yechimlarini  keltirdik.  Bu  tenglamalar  uchun  elastiklik  nazariyasi  asosiy 
masalalaridan  ikkinchi  turini  yechish  osonligini  ta’kidladik.  Chunki  bu  holda  asosiy  tenglamalar 
ham,  chegaraviy  shartlar  ham  faqat  ko‘chishlarga  nisbatan  yoziladi,  ya’ni  ikkinchi  tur  asosiy 
masalani  yechishda  asosiy  izlanuvchi  noma’lum  funksiyalar  sifatida  ko‘chishlarni  qabul  qilish  va 
ularga nisbatan Lame tenglamalarini yechish qulay. 
Elastiklik  nazariyasining  birinchi  tur  asosiy  masalasini  yechishda  izlanuvchi  noma’lum 
funksiyalar sifatida kuchlanish tenzorining komponentalarini olish,  ya’ni  masalani kuchlanishlarda 
yechish qulay. 
Elastik  muvozanatning  uchta  differensial  tenglamalari  (5.3)  lar  tarkibida  oltita 
)
(
k
ij
x

 
noma’lumlar  qatnashadi  va  shuning  uchun  ularning  yechimi  bir  qiymatli  bo‘lmaydi.  Haqiqiy 
kuchlanganlik  holatini  aniqlovchi   
)
(
k
ij
x

  funksiyalar  (5.5)  Guk  qonuni  orqali 
ij
   lar  bilan 
bog‘langan  bo‘lganliklari  uchun,  xuddi 
)
(
k
ij
x

  lar  kabi  ularning  uzviylik  shartini  ifodalovchi 
tenglamalarga  bo‘ysunishlari  kerak.  Bunday  tenglamalar,  yoki  munosabatlarni  (5.5)  Guk  qonuni 
yordamida (5.2) Sen-Venan differensial  munosabatlaridan keltirib chiqarish  mumkin. Lekin ushbu 
munosabatlarni (5.16) Lame tenglamalaridan keltirib chiqarish bir muncha osonroq. Quyida biz shu 
ishni bajaramiz. 
Lamening (5.16) tenglamalarini 
j
x
 koordinata bo‘yicha differensiallab,  
j
i
ij
j
i
f
v
u
,
,
,
2
2
1
1








   
 
 
 
 
(5.47) 
tenglamaga ega bo‘lamiz va uni 
i
 va 
j
 indekslar bo‘yicha svertkalab,  
i
i
ii
i
i
f
v
u
,
,
,
2
2
1
1








, 
hamda 
r
r
s
s
i
i
ii
i
i
f
f
f
u
,
,
,
2
,
,
,
;








 
ekanliklarini hisobga olib, 
 
s
s
f
v
v
,
2
2
1
)
1
(
2








 
 
 
 
 
 
(5.48) 
tenglamani olamiz. Bu yerdan ma’lum bo‘lgan 









)
1
(
2
;
)
2
1
(
3
,
3
1
v
E
v
E
k
k
 
tengliklarni hisobga olsak 










s
s
f
v
v
v
v
,
2
1
)
1
(
2
2
1
2
1
)
1
(
2



 
yoki 
 






s
s
f
v
v
,
2
1
1

   
 
 
            (5.49) 
ifodani olamiz. 
Lamening (5.16) tenglamalarida 
i
 indeks erkin indeks bo‘lgani uchun uni ixtiyoriy, masalan, 
j
 harfi bilan belgilash mumkin, ya’ni 

 
105 
 
j
j
j
f
v
u








,
2
2
1
1
   
 
 
 
 
(5.50) 
Bu tenglamani 
i
x  koordinata bo‘yicha differensiallab, 
 
i
j
ji
i
j
f
v
u
,
,
,
2
2
1
1








  
 
 
 
 
(5.51) 
ni olamiz va uni (5.47) bilan qo‘shamiz: 
).
(
2
1
2
)
(
,
,
,
,
,
2
i
j
j
i
ij
i
j
j
i
f
f
v
u
u










  
 
 
 
  (5.52) 
Lekin 








ij
ij
ij
i
j
j
i
v
v
E
u
u



)
1
(
2
2
,
,
 
bo‘lganligi hamda 








)
1
(
2
2
1
3
1
v
v
k
 ekanligidan (5.52) ni 

















)
(
)
1
(
2
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
1
,
,
,
2
2
i
j
j
i
ij
ij
ij
f
f
v
v
v
v
v
v






 
yoki 
 









)
(
)
1
(
)
1
(
,
,
,
2
2
i
j
j
i
ij
ij
ij
f
f
v
v
v



     
 
 
(5.53) 
ko‘rinishga keltiramiz. Endi (5.53) ga (5.49) ni qo‘yamiz. U holda: 










).
(
1
1
1
,
,
,
,
2
i
j
j
i
ij
s
s
ij
ij
f
f
f
v
v
v




   
 
 (5.54) 
Olingan  (5.54)  munosabatlar  kuchlanish  tenzorining 
)
(
k
ij
x

  komponentalari  orasidagi 
differensial bog‘lanishlarning har biri uchta tenglamadan iborat bo‘lgan ikkita quruhini ifodalaydi. 
Birinchi guruh tenglamalaridan birinchisini 
1

 j
i
 bo‘lgan holda olamiz: 
1
1
3
3
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
дx
дf
дx
дf
дx
дf
дx
дf
v
v
дx
д
v
ij





















  
 
 
 
  (5.55) 
Ikkinchi guruh tenglamalaridan birinchisini 
2
,
1


j
i
 bo‘lgan holda olamiz: 













1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
дx
дf
дx
дf
дx
дx
д
v
ij


        
 
  (5.56) 
Guruhlarning qolgan  munosabatlari (5.55) va (5.56)  lardan  indekslarni doiraviy almashtirish 
yo‘li bilan olinadi. Amalda uchraydigan masalalarning ko‘pchiligida 
i
f - massaviy kuchlar yo nolga 
teng, yoki o‘zgarmas bo‘ladi. U holda (5.54) tenglamani quyidagicha yozish mumkin: 
 





0
1
1
,
2
ij
ij
v

  
 
 
 
 
 
(5.57) 
Bu  tengliklar  1892-yilda  Beltrani  tomonidan  o‘rnatilgan  quyidagi  oltita  differensial 
bog‘lanishlarni ifodalaydi: 
;
0
1
1
;
0
1
1
2
1
2
12
2
2
1
2
11
2










дx
дx
д
v
дx
д
v


 
;
0
1
1
;
0
1
1
3
2
2
23
2
2
2
2
22
2










дx
дx
д
v
дx
д
v


 
.
0
1
1
;
0
1
1
1
3
2
31
2
2
3
2
33
2










дx
дx
д
v
дx
д
v


     
 
 
 
  (5.58) 
Yuqoridagi  (5.55)  ko‘rinishidagi  uch  tenglama  va  (5.56)  ko‘rinishdagi  yana  uch  tenglama 
birinchi marta 1900-yilda L.Mitchell tomonidan aniqlangan. Shuning uchun ham (5.54) differensial 

 
106 
bog‘lanishlar  Beltrani-Mitchell  tenglamalari  deb  yuritiladi.  Xuddi  ana  shu  munosabatlar 
kuchlanishlarga nisbatan ifodalangan uzviylik tenglamalaridan iboratdir. 
Endi (5.57) ni 
i
 va 
j
 indekslar bo‘yicha svertkalaymiz 
,
0
1
1
,
2





ii
ii
v

 
lekin, 
 


ii

 va 




2
,ii
 bo‘lganligi uchun 
     





0
1
2
2
v
v
bundan,  



.
0
2
      
 
     
(5.59) 
ya’ni  massaviy  kuchlar  bo‘lmaganida  kuchlanish  tenzorining  birinchi,  yoki  chiziqli,  invariant 


ii

 - garmonik funksiyadan iboratdir. 
Endi (5.57) Laplas operatorini qo‘llab 



0
2
 ligini hisobga olsak, 
 
 
,
0
4
2
2





ij
ij


 
 
 
 
 
 
 
(5.60) 
ya’ni  massaviy  kuchlar  bo‘lmagani  yoki  o‘zgarmas  bo‘lganlarida  kuchlanish  tenzorining 
ij
  
komponentalari bigarmonik funksiyalardan iboratdir. 
 
Nazorat savollari 
1.Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari qaysilar? 
2. Statik tenglamalarga qaysi tenglamalar kiradi?  
3. Fizik tenglamalarga qaysi tenglamalar kiradi?  
4 .Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari qaysilar?. 
5. Lame tenglamalari nechanchi tartibli vanechta noma’lumli?. 
6.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-Neyber  shaklida 
qanday tasvirlanadi?.  
7. Elastiklik nazariyasi masalalari kuchlanishlarga nisbatan yechisda qaysi tenglamalardan 
foydalaniladi? 
 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
107 
   
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI 
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 
 
 
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI 
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI 
 
MEXANIKA-MATEMATIKA FAKULTETI 
 
MEXANIKA KAFEDRASI 
 
 
 
 
 
 
 
«ELASTIK NAZARIYASI» FANIDAN 
O’QITISH TEXNOLOGIYALARI 
AMALIY MASHG’ULOTLAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Samarqand - 2010 

 
108 
1- AMALIYOT 
DARSI 
Kuchlanishlar nazariyasi oid masalalar 
 
Kuchlanishlar nazariyasi oid masalalar mavzusining texnologik modeli 
 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1. Kuchlanish tenzori va kuchlanish vektori 
2. 
Jismning 
berilgan 
nuqtasidagi 
kuchlanishlarni topishga doir masala. 
3. 
Sharavoy 
va 
Deviator 
tenzor 
kuchlanishlariga doir masala. 
 
O’quv mashg’ulot maqsadi: Kuchlanish tenzori va kuchlanish vektori. Jismning 
berilgan nuqtasidagi kuchlanishlarni topishga doir masala.Sharavoy va Deviator 
tenzor kuchlanishlariga doir masalalalar bilan tanishish  
Pedagogik vazifalar: 
 -  kuchlanish  vektori  va  tenzori 
to’g’-risida 
ma’lumotlarni 
tizimlashtirish; 
 -  kuchlanganlik  holati  haqidagi 
masalalarni 
yechishni, 
tahlil 
qilishni o’rgatish; 
O’quv faoliyat natijalari: 
 -  kuchlanish  vektori  va  tenzori  haqidagi 
ma’lumotlarni tizimga soladi; 
 -  kuchlanganlik  holati  haqidagi  masalalarni 
yechadilar, tahlil qiladilar, xulosa chiqaradilar; 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Kuchlanishlar nazariyasi oid masalalar ga oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 

 
109 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
Kuchlanishlar nazariyasi oid masalalar  
 
REJA: 
 1. Kuchlanish tenzori va kuchlanish vektori 
2. Jismning berilgan nuqtasidagi kuchlanishlarni topishga doir masala. 
3. Sharavoy va Deviator tenzor kuchlanishlariga doir masala. 
 
          Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Yuza,  kuch,  kuchlanish,  proeksiya,  kuchlanish  tenzori,  kuchlanish  tenzori 
sharsimon va deviator qismlari 
 
Belgilar: 
Ms 
- Muammoli savol 
Mv 
- Muammoli 
vaziyat 

 
110 
Mt 
- Muammoli 
topshiriq 
Mm 
- Muammoli 
masala 
1-ilova 
 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Ichki kuchlar 
 
2. 
Kuchlanish vektori  
 
3. 
Kuchlanish tenzori 
 
4. 
Kuchlanish komponentalari 
 
5. 
Tenzorning sharsimon qismi  
 
6. 
Tenzorning deviator qismi 
 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
 
 
 
 
 
 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1.  Ichki kuchlar deganda nimani tushunasiz? 
2.  Kuchlanish deganda nimani tushunasiz? 
3.  Kuchalnish vektori nima? 
4.  Kuchlanish tenzori nima? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
111 
 
 
Matn 
 
Ushbu  kurs  bo’yicha  ma’ruzalardan  ma’lumki  1-rasmda  tasvirlangan   
n
P

 
vektor  kuchlanish  vektori  bo’ladi.  Uni 

d
  elementar  yuzachaning  normali 


1
n
 
n



 
va urinmasi 


1





 bo’yicha tuzuvchilarga ajratish mumkin (2- rasm). 
 





n
nn
P
n
P


n
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
(1) 
yerda   
n
P

  - 
bu 
M
 
nuqtaga 
qo’yilgan 
normali 
n

 
bo’lgan 
yuzachadagi 
kuchlanish 
vektori,   
nn
P
 
va 

n
P
 
lar 
mos 
ravishda 
normal va urinma kuchlanishlar deyiladi. 
Kuchlanish vektori uchun quyidagi Koshi formulasi o’rinli 
 
3
3
2
2
1
1
n
P
n
P
n
P
n
P







  
 
 
                     (2)   
bunda 
i
n
  -  berilgan  yuza  normali  yo’naltiruvchi  kosinuslari; 
i
P

  - 
M
  nuqtaga 
qo’yilgan  va  koordinata  o’qlariga  parallel  yo’nalgan  kuchlanish  vektorlari. 
i
P

 
vektorlarni  
j
e

 bazislar bo’yicha yoyib chiqamiz. 
j
ij
i
e
P
P



 
Bundan  
3
33
2
32
1
31
3
3
23
2
22
1
21
2
3
13
2
12
1
11
1
n
P
n
P
n
P
P
n
P
n
P
n
P
P
n
P
n
P
n
P
P
n
n
n









   
 
 
              (3) 
 
Koshi 
formulasidan 
foydalanib, 
kuchlanishning 
normal 
va 
urinma 
tuzuvchilarini topamiz 
 
 


 
,
,
,
n
3
2
1
3
2
1













n
n
n
P
n
n
n
n
P
n
P
P
ij
i
j
ij
n
nn


   
 
 
      (4)  
 










2
1
2
2
3
2
2
2
1
nn
n
n
n
n
P
P
P
P
P





 
 
 
 
    (5) 
ij
P
 miqdorlar majmuasi ikkinchi rang tenzorni tashkil qiladi va kuchlanish  
tenzori deb ataladi    
 
 
n


 
n

 
V
2 
V
1 

d
P
n