Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari  
RYEJA: 
1.  Ikki tayanchli balkaning tekis  taqsimlangan yuk ta’sirida egilishi 
2. Uchburchak kesimli to‘g‘on. 
 
   Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Ikki tayanchli balka, uchburchak kesimli to’g’on, tekis deformasiya, tekis kuchlangan 
holat, kuchlanishlar funksiyasi  
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1. Tekis deformatsiya qachon sodir bo’ladi? 
2. Kuchlanishlar funksiasi qanday kiritiladi? 
3.   Tekis kuchlangan holat misollar keltiring? 
4. Tekis deformasiya holatida asosiy tenglamalar qanday 
ko’rinishga keladi? 
5. Tekis deformasiya holatida asosiy tenglamalar qanday 
ko’rinishga keladi?
 

 
165 
 
 
 
 
 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
 Kuchlanishlar funksiyasi 
 
2. 
To’rtinchi darajali ko’phad  
 
3. 
Tekis taqsimlangan yuk 
 
4. 
Ikki tayanchli balka 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
Matn 
 
 Ikki tayanchli balkaning tekis  taqsimlangan yuk ta’sirida egilishi 
 
Balkaning  yuklanish  sxemasi  chizmada  keltirilgan  koordinatalar  boshi  balkaning 
o‘rtasida  tanlangan.  O‘tgan  paragrafdagi  masalada 
)
,
(
y
x

  kuchlanishlar  funksiasi 
uchun  ikkinchi,  uchinchi  va  to‘rtinchi  darajali  ko‘phadlardan  olingan  uchta  had 
yig‘indisi  yetarli  bo‘ldi.  Qaralayotgan  masalada  balkaga  tekis  taqsimlangan  kuch 
qo‘yilgan.  Shuning  uchun  bu  holda     
)
,
(
y
x

  funksiya  ifodasida  yanada  yuqoriroq 
darajali ko‘phadlardan olingan hadlarni qo‘shishga to‘g‘ri keladi.  
U  holda   
)
,
(
y
x

  kuchlanishlar  uchun  bigarmonik  tenglamani  koeffisiyentlarning 
ixtiyoriy qiymatlarida qanoatlantiruvchi quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz: 

















5
3
2
5
5
4
5
5
1
6
5
1
12
)
,
(
y
y
x
d
y
y
x
b
y
x

 
.
2
2
6
2
3
1
4
)
(
12
2
2
2
2
3
3
2
3
4
2
2
4
4
4
4
y
c
x
a
y
d
y
x
b
y
y
x
c
y
x
a















 
Massaviy kuchlarni hisobga olmasdan  kuchlanishlar ifodalarini topamiz 
;
)
2
(
2
3
2
3
)
,
(
2
3
2
2
4
2
4
3
2
5
3
5
c
y
d
y
x
c
y
a
y
y
x
d
y
b
y
x
xx

















 
.
3
)
,
(
;
2
3
)
,
(
3
4
2
5
3
5
2
3
2
4
2
4
3
5
2
5
x
b
xy
c
xy
d
x
b
y
x
a
y
b
y
c
x
a
y
d
y
x
b
y
x
xy
yy













 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
166 
O‘zgarmaslarni  aniqlash  uchun  balkaning  yuqori  va  pastki  yoqlaridagi  chegaraviy 
shartlardan foydalanamiz (chizma). 
2
h
y


  bo‘lganda   
.
0
;



xy
yy
q


 
2
h
y 
  bo‘lganda  
.
0
;
0


xy
yy


 
                                  
    
 
 
 
                   
     P
yx
(y)                                   P
yx
(y) 
 
 
shartlarga ko’ra to‘rtta tenglamalarga ega bo‘lamiz 
.
0
2
4
3
;
0
2
8
24
2
;
0
2
4
3
;
2
8
24
2
3
4
2
5
3
5
2
3
2
4
2
4
3
5
2
5
3
4
2
5
3
5
2
3
2
4
2
4
3
5
2
5






















x
b
hx
c
x
h
d
x
b
a
h
b
h
c
x
a
h
d
hx
b
x
b
hx
c
x
h
d
x
b
q
a
h
b
h
c
x
a
h
d
hx
b
 
Ushbu  tenglamalar 
x
  ning  ixtiyoriy  qiymatlarida  bajarilishlari  kerak  bo‘lganliklari 
uchun 
x
  ning  har  xil  darajalari  oldidagi  koeffisiyentlarni  nolga  tenglashtirish  zarur. 
Ikkinchi  va  to‘rtinchi  tenglamalardan 
0
5

b
  ekanligi  chiqadi.  Ikkinchi  tenglamadan 
to‘rtinchisini  ayirib 
0
4

c
  ga  ega  bo‘lamiz  va  uchinchi  tenglamalarni  qo‘shib 
0
4

a
 
va 
2
/
2
q
a


 larni olamiz. 
Topilgan qiymatlarni hisobga olsak ikkinchi va uchunchi tenglamalar 
q
h
b
h
d
b
h
d




3
2
5
3
2
5
12
;
0
4
 
ko‘rinishni oladi. Bu yerda 
.
6
;
2
3
3
5
3
h
q
d
h
q
b



 
Balkaning chap va o‘ng uchlarida quyidagi chegaraviy shartlar bajarilishi kerak: 
,
;
0
;
yx
yx
xx
P
da
x








 
bu  yerda 
)
( y
P
yx
  -  teng  ta’sir  etuvchilari  tayanch  reaksiyalariga  teng  bo‘lishi  zarur 
bo‘lgan balka uchlaridagi urinma yuklar. 
Bu  yerda 
yx
P
  ning  o‘zgarish  qonuni  berilmaganligidan,  balka  uchlaridagi  urinma 
yuklanishlar  tayanch  reaksiyalariga  keltirilishi  lozim.  Buning  uchun  ikkinchi  shartni 
integral shaklda olish kerak bo‘ladi, ya’ni 
.
2
/
2
/



q
dy
da
x
h
h
xy






 
 
 
                                 h 
 
                            
                     

            

                      y      b=1 
             

q
R
A

     y             

q
R
B

     
                             chizma.            
 O  
 y 
 x 
 z 
 q 

 
167 
Integral  belgisi  ostida 
yx

  ning  o‘rniga  uning    ifodasini  qo‘yib,  hamda 
koeffisiyentlarning  topilgan  qiymatlarini  hisobga  olib  bu  tenglik  aynan 
qanoatlantirilishini ko‘rish qiyin emas. 
Endi  
xx

 ning ifodasida 



x
 ni qo‘ysak 
.
3
2
6
2
3
3
2
3
c
y
d
y
y
h
q
xx













 
Bu  yerda  ko‘rinadiki 
y
  o‘zgaruvchining  ixtiyoriy  qiymatlari  uchun  hamda 
3
d
  va 
2
c
 
o‘zgarmaslarning  fiksirlangan  qiymatlarida  chegaraviy  shartlarning  birinchisi 
bajarilishi  mumkin  emas.  Shuning  uchun  ham  yana  bir  marta  integral  chegaraviy 
shartlardan  foydalanamiz  va  balkaning  uchlarida  bo‘ylama  kuch  va  eguvchi 
momentning nolga tengligini talab qilamiz: 














































2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
3
4
2
3
2
/
2
/
2
/
2
/
2
3
3
2
3
,
0
3
2
6
;
0
3
2
6
h
h
h
h
xx
h
h
h
h
xx
dy
y
c
y
d
y
y
h
q
ydy
N
dy
c
y
d
y
y
h
q
dy
N




 
bu tenglamalardan 
.
10
6
;
0
2
2
3
3
2











h
h
q
d
c

 
Topilgan qiymatlardan quyidagilarni olamiz 
;
1
3
4
2
;
10
3
2
6
)
(
6
3
3
2
2
3
2
2
3
























h
y
h
y
q
h
y
h
qy
x
h
qy
yy
xx



 
.
4
6
2
2
3











y
h
h
qx
xy

      
 
 
             
Endi taqqoslash uchun shu kuchlanishlarni materiallar qarshiligi formulalari bo‘yicha 
ham hisoblaymiz: 
);
(
6
12
2
8
)
2
(
)
(
2
2
3
3
2
2
x
h
qy
h
y
qx
q
y
J
x
M
z
z
xx
















 
.
0
;
4
6
)
(
)
Q(
2
2
3













yy
z
kes
z
xy
y
h
h
qx
b
J
y
S
x


 
Chiqarilgan formulalarni solishtirib quyidagi xulosalarga kelamiz. Urinma kuchlanish 
- 
xy

 uchun chiqarilgan formulalar har ikkala holda ham bir xil. Normal kuchlanish -  
xx

 uchun  formulaning birinchi  hadi  materiallar qarshiligi  formulasi     bilan bir  xil. 
Ikkinchi  hadining balka o‘rta 
0

x
 kesimining  chetki tolalarida  yuzaga keluvchi eng 

 
168 
katta  kuchlanishlar 
xx

  ning  miqdoriga  ko‘rsatadigan  ta’sirini  tekshiramiz.  Shu 
maqsadda ning birinchi formulasida 
0

x
 va 
2
/
h
y 
 qiymatlardan foydalanib 
.
15
1
1
3
2
2
2
2













h
h
q
xx

 
Bu  yerda  qavs  ichidagi  ikkinchi  qo‘shiluvchining  miqdori  ko‘ndalang  kesim 
balandligi - 
h
 ning balka uzunligi 
)
2
(   ga nisbati kamayishi bilan juda tez kamayadi. 
Masalan 
1
,
0
;
25
,
0
;
5
,
0
2


h
  bo‘lganda  ikkinchi  qo‘shiluvchining  miqdori  birinchisi 
miqdorining mos ravishda 
%
3
,
0
%;
7
,
1
%;
7
,
6
 - tashkil etadi. 
Yana  bu  formulalarning  ikkinchisiga 
2
h
y


  qiymatni  qo‘yib  balka  bo‘ylama 
tolalarining  o‘zaro  bosimini  ifodalovchi   
yy

  kuchlanishlar  o‘zlarining  eng  katta 
absolyut qiymati 
q
yy


 ga balkaning yuqori yog‘ida erishishini ko‘ramiz. 
Bu  qiymatni  eng  katta 
хх

kuchlanishlar  qiymati  bilan  bu  formulalar  bo‘yicha 
solishtirib,  yetarli  darajadagi  uzunlikka  ega 


4
2

h

  balkalar  uchun 
yy

 
kuchlanishlar 
хх

 larga nisbatan juda kichik ekanligini ko‘rish mumkin.  
 
 
 
 
 
 
 
Shuning  uchun  ham  materiallar  qarshiligida  odatda 
0

yy

  deb  hisoblashadi. 
Quyida  keltirilgan  chizmada    eng    katta   
yy
хх


,
    va   
xy

  kuchlanishlarning 
4
2

h

 
bo‘lgan  hol  uchun  epyuralari  keltirilgan.  Bu  yerda 
xx

  epyurasidagi  shtrix  to‘g‘ri 
chiziqlar materiallar qarshiligi formulalari bo‘yicha topilgan yechimni ifodalaydi. 
O‘tkazilgan tahlil shuni ko‘rsatadiki, yetarli darajadagi uzunlikka ega balkalarda 
materiallar qarshiligi va elastiklik nazariyasi asosidagi yechimlar amalda bir xil 
bo‘ladi. 
 
 Uchburchak kesimli to‘g‘on. 
 
Tekis  masalaning  ko‘phadlar  orqali  yechimini  uchburchak  kesimli  to‘g‘on 
hisobiga qo‘llash mumkin. To‘g‘onning suv bosimini qabul qiluvchi vertikal yog‘iga 
(chizma) 
х
  chuqurlikda  suvning 
х

(

-suvning  hajmiy  og‘irligi)  gidrostatik 
bosimining  ta’siri  ostida  bo‘ladi.  Bundan  tashqari,  to‘g‘on  materialining  hajmiy 
og‘irligi 
1


x
F
ga teng bo‘lgan hajmiy kuchni ham hisobga olish kerak. 
                       


y
xx
,
0

         


y
x
yy
,

      
 
y
xy


  
                                               q 
 
   h                
 
 
          
              
               y 
         
                               7.10-chizma 
 z 
0.5q           3q 
b=1 
12.2q(12q) 

 
169 
        Koeffisiyentlarining ixtiyoriy qiymatlarida bigarmonik 
tenglamani qanoatlantiruvchi uchinchi darajali ko‘phadni 
kuchlanishlar funksiyasi sifatida qabul qilamiz va kuchla-
nishlarni hisoblaymiz: 
 
.
;
;
1
3
3
3
3
3
3
y
y
c
x
b
y
b
x
a
y
d
x
c
xy
yy
xx












 
Bu formulalarga kiruvchi o‘zgarmaslarni vertikal va og‘ma yoqlarda berilgan chegaraviy shartlardan aniqlaymiz. 
Vertikal yoqda 
0

y
 bo‘lganda 
0

xy

 va 
.
x
yy




 
Ushbu shartlarga unga qo‘yib 
0
3
3



b
a
;

 ekanligini topamiz. Bu qiymatlardan 


y
c
x
y
d
x
c
xy
yy
xx
1
3
3
3












;
;
. 
To‘g‘on  og‘ma  yog‘ining 
v
  normali  koordinat  o‘qlariga  parallel  emas.  Shuning 
uchun statik chegaraviy shartlarni umumiy ko‘rinishida foydalanish zarur: 
,
;
m
P
m
P
yy
yx
yv
xy
xx
xv










 
bu yerda 






.
cos
,
cos
;
sin
90
cos
,
cos
0










y
v
m
x
v

 
To‘g‘onning og‘ma sirtida sirt kuchlari (yuklamalari) yo‘q. Shuning uchun 
0

xv
P
 
va 
0

yv
P
. Ushbu tengliklarni  hisobga olsak, 
.
0
cos
sin
;
0
cos
sin














yy
xy
xy
xx
 
Oxirgi  tengliklarga  kuchlanishlarning  bu  ifodaga  qo‘yib,  og‘ma  yoqning  tenglamasi 

tg
x
y 
 ekanligini hisobga olsak, 






.
0
cos
sin
;
0
cos
sin
1
3
1
3
3
3



















x
tg
x
c
tg
x
c
x
tg
d
c
 
tenglamalarga ega bo‘lamiz. Bu tenglamalarni yechib olamiz: 







3
1
3
1
2
3
2
;
ctg
ctg
d
ctg
c





. 
Shunday qilib, kuchlanishlarning yakuniy ifodalarini quyidagicha yozish mumkin: 

 

.
;
;
x
yctg
x
y
ctg
ctg
x
ctg
yy
xy
xx




















2
3
1
1
2
2
   
 
 
   
O‘tgan  paragrafda  elastiklik  nazariyasi  va  materiallar  qarshiligi  formulalari  bilan 
olingan  yechimlar  uzunligi  yetarli  darajada  katta  bo‘lgan  balka  uchun  deyarli  bir 
xilligini  ko‘rsatgan  edik.  Uchburchak  kesimli  to‘g‘on  uchun  materiallar  qarshiligi 
formulalari yordamida olingan yechimlar umuman yaramasligini ko‘rsatamiz. Buning 
             O           
                              y 
  x          

      
0


x
P
 
 
                                       
0


y
P
 
                                   
x

                              90
0
+

 
             
 
 
       
     7.11-chizma. 

xtg
y 
 

 

 
 x 

 
170 
uchun,  avvalo,  materiallar  qarshiligi  formulalari  yordamida  masalani  yechamiz.  Shu 
maqsadda  to‘g‘ondan  eni 
1

b
bo‘lgan  (chizma)  kichik  bo‘lakcha  ajratamiz  va  uni 
kesimi  o‘zgaruvchan  konsol  balka  sifatida  qaraymiz.  Balkaning  erkin  uchidan 
х
masofada yotuvchi ko‘ndalang kesimda uchta ichki kuchlar yuzaga keladi: gidrostatik 
bosim uchburchak epurasining yuzasiga teng ko‘ndalang kuch 


;
2
/
Q
2
x


 
uchburchakli prizmaning og‘irligiga teng bo‘ylama kuch 
;


tg
x
N
2
1
2
1


 
 ikki kuch momentlari yig‘indisiga teng bo‘lgan          eguvchi 
moment: 
bu 
kuchlardan 
birinchisi 
gidrostatik 
bosim 
uchburchakli  epurasining  og‘irlik  markazida  qoyilgan