Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

F
kes 
b=1
 
 

 
158 
Yuqoridagi  tengliklarning  uchinchisiga 
5
'
1
c
f 
  qo‘yamiz  va 
y
  ning  bir  xil 
darajalari oldidagi koeffi- sientlarni tenglashtirib, 
3
5
2
4
;
2
c
c
с
с




 
larni olamiz. Olingan  ifodalardan  
8
7
6
3
2
1
)
(
)
(
c
x
c
y
c
xy
c
x
f
y
x
f






. 
Ushbu  ifodadagi  oxirgi  uchta  qo‘shiluvchini  kuchlanishlar 
)
,
(
y
x

  funksianing 
ikkinchi  tartibli  hosilalari  orqali  ifodalanganliklari  uchun  tashlab  yuborish  mumkin. 
U  holda 
)
,
(
y
x

-  kuchlanishlar  funksiyasi  uchun  quyidagi  natijaviy  formulaga  ega 
bo‘lamiz: 
.
6
6
)
,
(
3
3
2
3
1
xy
c
xy
c
y
c
y
x




 
Bu funksiya bigarmonik tenglamani aynan qanoatlantiradi va kuchlanishlar uchun mos formulalar quyidagi ko‘rinishda 
bo‘ladi: 
.
2
;
0
;
3
2
2
2
1
c
y
c
xy
c
y
c
xy
yy
xx









 
Kuchlanishlar  ifodalaridagi 
3
2
1
,
,
c
c
c
  koeffisientlarni  balka  ko‘ndalang  kesimi 
konturidagi quyidagi chegaraviy shartlardan topamiz: 
2
/
h
y


 bo‘lganda 
.
0
;
0


xy
yy


 
bundan ko‘rinadiki,  
8
2
2
3
h
с
с 
 
ni olamiz. 
Konsolning o‘ng uchida, ya’ni 


x
 bo‘lganda  
 
yx
yx
xx
P




;
0
 
 
 
 
 
bu  yerda 
yx
P
  -  urinma  yuk  va  uning  teng  ta’sir  etuv-chisi  qo‘yilgan 
P

  kuchga  teng. 
Bu ifodanig birinchisidan 

2
1
c
c


, 
ikkinchisidan esa 
)
(
2
3
2
2
y
P
c
y
c
yx
yx





. 
)
( y
P
yx
  funksiasining  biror  o‘zgarish  qonuni  berilganda 
y
  ning  ixtiyoriy  qiymatlari 
uchun  bajarilishi  mumkin  emas.  Shuning  uchun  ikkinchisini  integral  shaklda 
bajarilishini talab qilamiz: 
.
2
/
2
/
2
/
2
/
P
dy
P
dy
h
h
yx
h
h
yx







 
Faraz  qilaylik, 
yx
P
  yukning 
y
  o‘zgaruvchiga  bog‘liq  ravishda  o‘zgarish  qonuni 
xuddi 
yx

 ning ko‘ndalang kesimdagi o‘zgarish qonunidan iborat bo‘lsin. U holda 
























2
/
2
/
3
2
2
2
2
/
2
/
3
2
2
8
2
2
h
h
h
h
P
dy
h
c
y
c
dy
c
y
c
 
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerda integrallash amalini bajarib, 

 
159 
z
z
z
J
Ph
c
J
P
c
J
P
h
P
c
8
;
;
12
3
3
1
3
2






 
larga ega bo‘lamiz.  
Shunday  qilib  materiallar  qarshiligi  kursida  chiqarilgan  kuchlanishlarning 
(7.57)  ifodalari  elastiklik  nazariyasining  hamma  asosiy  tenglamalarini  va  balkaning 
uch  yog‘idagi  hamma  statik  chegaraviy  shartlarni  qanoatlantiradi.  Agar  urinma 
yx
P
 
kuchlar balkaning  uchida biror  boshqa qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, u  holda 
Sen-Venan  prinsipiga  asosan,  kuchlanishlar  qiymatlarida  sezilarli  farq  faqat  balka 
uchiga yaqin sohalardagina bo‘ladi. 
Masalada  ko‘chishlarni  aniqlash  uchun  Guk  qonunining  ifodasidan 
foydalanamiz. 
Ushbu 
formulalarda 
xy
yy
xx



,
,
 
deformatsialarni 
)
,
(
),
,
(
y
x
u
y
x
u
u
y
x



  ko‘chishlar  bilan  almashtiramiz  va  kuchlanishlar  o‘rniga 
ularning ifodalarini qo‘yamiz: 
.
4
)
1
(
;
)
(
;
)
(
2
2

















y
h
EJ
P
v
дx
д
дy
дu
y
x
EJ
vP
дy
дu
y
x
EJ
P
дx
дu
z
z
z



 
Ushbu  tenglamalardan  birinchisini 
x
  bo‘yicha,    ikkinchisini 
y
  bo‘yicha 
integrallaymiz  va 
u
  hamda 

  ko‘chishlarning  topilgan  qiymatlarini  uchinchi 
tenglamaga qo‘yamiz va 
);
(
)
(
2
);
(
2
1
4
2
2
3
2
x
f
xy
y
EJ
vP
y
f
y
x
xy
EJ
P
u
z
x
















    
 

,
4
)
1
(
2
)
2
(
)
(
2
ln
)
(
2
2
'
3
2
'
4
z
z
z
EJ
Ph
v
y
EJ
v
y
f
x
J
E
P
x
f


























 
 ifodalarga  ega  bo‘lamiz.  Bu  yerda 
)
(
3
y
f
  va 
)
(
4
x
f
  -  ixtiyoriy  funksiyalar.  Oxirgi 
ifodada birinchi o‘rta qavs ichidagi ifoda 
x
 dan, ikkinchi o‘rta qavslar ichidagi ifoda 
esa faqat 
y
 dan bog‘liq bo‘lib, o‘ng  tomoni o‘zgarmas miqdordir. Ammo, 
x
 va 
y
 lar 
mustaqil  bog‘lanmagan  o‘zgaruvchilar  bo‘lganligi  uchun  bu  tenglik  o‘rta  qavslar 
ichidagi ifodalar o‘zgarmaslardan iborat bo‘lgan holdagina bajarilishi mumkin, ya’ni: 
;
2
)
(
9
2
'
4
c
x
x
EJ
P
x
f
z












 
.
2
)
2
(
)
(
10
2
'
3
c
y
EJ
P
v
y
f
z



 
Bu tengliklarni integrallab, 
12
10
3
3
11
9
3
2
4
6
)
2
(
)
(
,
6
2
)
(
c
y
c
y
EJ
P
v
y
f
c
x
c
x
x
EJ
P
x
f
z
z


















 

 
160 
ekanligini topamiz va bularni yuqoridagi ifodaga qo‘yib, ko‘chishlar uchun quyidagi 
formulalarga ega bo‘lamiz: 
,
6
2
2
12
10
3
2
c
y
c
y
v
y
x
xy
EJ
P
u
z
















 
.
3
2
11
9
3
2
2
2
c
x
c
x
x
vxy
y
v
EJ
P
z

















 
Ushbu  formulalardan  ko‘rinadiki, 
u
  ko‘chish 
y
  dan  chiziqlimas  bog‘liq,  va 
demak,  balka  ko‘ndalang  kesimlari,  shu  jumladan,  qistirib  mahkamlangan  joyda 
(qistirilgan joyda) ham (chizma) tekis bo‘lib qolmaydi, ya’ni deformatsiya natijasida 
ular qiyshayadi. 
Yuqoridagi  ifodalar  tarkibiga  kiruvchi 
11
10
9
,
,
c
c
c
  va 
12
c
  o‘zgarmaslarni  aniqlashda 
0

u
 va 
0


 shartlarni 
y
 o‘zgaruvchining ixtiyoriy qiymatlarida bajarib bo‘lmaydi. 
Demak, 
0

x
 kesimni, biz olgan  yechimda,  ma’lum bir  yaqinlashish  ma’nosidagina, 
yoki taqriban qistirilgan deb hisoblash mumkin. Shuning  
 
   
          
0
0






y
u
x
v
 
                                                                      
 
uchun 
ox
  o‘qida  yotuvchi 
0
  nuqta  qo‘zg‘almas  bo‘lsin  degan  shart  bilangina 
chegaralanamiz, ya’ni ( a-chizma) 
0
,
0


y
x
 da 
.
0



u
  
     
 
 
bo‘lsin, u holda 
.
0
12
11

 c
c
 
Qolgan  ikkita 
9
c
  va 
10
c
  o‘zgarmaslarni  topish  uchun,  xuddi  balkalarning  egilish 
nazariyasidagi  kabi,  qistirilgan  joyda  egilish  o‘qi  urinmasi  burilish  burchagining 
nolga tengligini talab qilamiz, ya’ni: 
0
,
0


y
x
 da 
.
0

dx
d

 
 
 
 
 
0
9

c
 ekanligini topamiz. Buni hisobga olib, 
10
c
 ni topamiz: 
.
4
1
2
10
Ph
EJ
v
c
z


 
Ko‘chishlarning ifodalari quyidagi ko‘rinishni oladi: 
;
4
)
1
(
6
2
2
2
3
2















y
h
v
y
v
y
x
xy
EJ
P
u
z

 
.
3
2
3
2
2
2












x
x
vxy
y
v
EJ
p
z



 
Ikkinchi ifodada 
0

y
 deb hisoblab, balka egilgan o‘qi tenglamasini olamiz va unda 


x
 deb hisoblab, balka uchining egilishini aniqlaymiz: 
          a)                                                            b) 
                    dy 
                     dx                                                 x 
                                                                                 
0
0






y
u
x
v
                                                                                   
                              7.8-chizma. 
 y 
 y 
 O 
 O 
 x 

 
161 
.
3
)
(
;
3
2
)
(
3
3
2
2
2
z
z
EJ
P
x
x
vxy
y
v
EJ
P
x



















 
Olingan  ifodalar  konsol  balkaning  egilishi  uchun,  tekis  kesimlar  gipotezasiga 
asoslangan elementar egilish nazariyasida chiqarilgan ifodalarning xuddi o‘zidir. 
 
5. Kuchlanganlik funksiyasini topishga doir masala. 
 
Uzunligi  l  ga  balandligi 
0
h
  va  qalinligi  birga  teng  bo’lgan  to’јri  burchakli  yupqa 
plastinkada  quyidagi  ko’rinishda  kuchlanish  funksiyasi  berilgan 
2
ах


  іamda 
plastinka  qalinligi  bo’ylab  bir  xil  taqsimlangan  tashqi  kuch  ta’sirida  umumlashgan 
tekis kuchlanganlik іolatida bo’lsin. іajmi kuchlar mavjud emas . Bu іolda 
1)  Kuchlanganlik funksiyasini shunday olish mumkinmi?   
2)  Kuchlanganlik  funksiyasi  yordamida  kuchlanish  komponentalarini  aniqlang  ? 
 
3)  Topilgan  kuchlanish  funksiyasi  plastinka  chegarasida  tashqi  kuchlanishni 
aniklang ? 
Yechish: 

 funksiyasining kuchlanish funksiyasi bo’lishini tekshiramiz. 
Bu 

  funksiyasi quyidagi shartni qanoatlantirishi kerak 
2
4
4
2
2
4
4
4
0
2
ах
у
у
x
x















 
funksiya bu shartni qanoatlantiradi  
0
0
0
2
4
2
2
4
4
4










у
у
x
x



 
іajmli kuchlar mavjud bo’lmaganligi uchun kuchlanishlar quyidagi formulalar yordamida topiladi  
y
x
x
y
xy
y
x

















2
2
2
2
2
,
,
 
u іolda  
0
2
0



xy
y
x
a



 
egilgan yuzidagi  to’la kuchlanishlar  
n
m
l
P
xz
xy
x
x







 
n
m
l
P
yz
y
yx
y







 
n
m
l
P
z
zy
xz
z







 
u іolda to’la kuchlanishi        

 
162 
0
2
0






z
y
x
P
m
P
P
 
Demak plastinkaning y yoki bu kuchlanish sodir bo’ladi. 
 
Mustaqil yechish uchun berilgan masala. 
Uzunligi  l   ga  balandligi  h    va  qalinligi  birga  teng  bo’lgan  to’јri  burchakli 
yupqa plastinkada quyidagi ko’rinishlarda kuchlanish funksiyasi berilgan. 
 
3
3
2
2
3
2
3
2
3
2
)
9
)
8
)
7
)
6
)
5
)
4
)
3
,
)
2
,
)
1
y
ax
y
ax
axy
ay
axy
y
x
a
ax
axy
ay




















 
                       
4
4
)
11
)
10
ay
ax




 
2
4
4
2
6
6
4
4
4
4
4
)
20
)
19
)
18
)
17
)
16
1
)
15
)
14
1
)
13
)
12
y
x
y
ax
ay
ax
x
x
x
x
y
ay
axy






















 
 
іamda plastinkaning qalinligi bo’ylab bir xil taqsimlangan tashqi kuch ta’sirida umumlashgan tekis kuchlanganlik 
іolatida bo’lsin іajmi kuchlar mavjud emas . Bu іolda 
1)  Kuchlanganlik funksiyasini shunday olish mumkinmi ? 
2)  Kuchlanganlik funksiyasi yordamida kuchlanish komponentalarini aniqlang? 
3)  Topilgan kuchlanish funksiyasida plastinka  chegarasidagi tashqi kuchlanishini 
aniqlang? 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
2.  Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
3.  Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
4.  V.I. Samul  «Osnovы teorii  uprugosti  i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 
st. 
5.  S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
6- AMALIYOT 
DARSI 
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari. 
 
 

 
163 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1.Ikki tayanchli balkaning tekis  taqsimlangan 
yuk ta’sirida egilishi 
2. Uchburchak kesimli to‘g‘on. 
 
O’quv mashg’ulot maqsadi: Elastiklik nazariyasi tekis masalalarini b’zilasrini 
yechish bilan tanishtirish va mavzuga  doir masalalalar yechish  
Pedagogik vazifalar: 
Ikki  tayanchli  balkaning  tekis  
taqsimlangan 
yuk 
ta’sirida 
egilishi  va  uchburchak  kesimli 
to‘g‘ondagi 
hosil 
bo’ladigan 
kuchlanganlik 
deformasiyalanganlik 
holatini 
o’rganish 
 
O’quv faoliyat natijalari: 
Ikki  tayanchli  balkaning  tekis    taqsimlangan 
yuk  ta’sirida  egilishi  va  uchburchak  kesimli 
to‘g‘ondagi  hosil  bo’ladigan  kuchlanganlik 
deformasiyalanganlik holatini o’rganishga doir 
masalalar  yechish  haqida  ma’lumotga  ega 
bo’ladi yechimlardan xulosalar chiqaradi 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 

 
164 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar