Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari. 
 
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1.Tekis deformatsiya. 
2. Kuchlanishlar funksiasi. 
3.   Tekis kuchlangan holat. 
4.  Konsol  balkaning  uchiga  qo‘yilgan  kuch 
ta’sirida egilishi. 
5. Kuchlanganlik funksiyasini topishga doir 
masala 
O’quv mashg’ulot maqsadi: Elastiklik nazariyasi tekis masalalari bilan tanishtirish 
va mavzuga  doir masalalalar yechish  
Pedagogik vazifalar: 
-  Elastiklik  naszariyasi  tekis 
masalalari  tekis  deformasiya 
va  tekis  kuchlanganlik  holati 
haqida tushunchalar berish 
-  Tekis  masalalarni  ko’phadlar 
yordamida 
yechish 
va 
kuchlanishlar 
funksiyasini 
topishga 
doir 
masalalar 
yechish 
O’quv faoliyat natijalari: 
-  Elastiklik naszariyasi tekis masalalari tekis 
deformasiya  va  tekis  kuchlanganlik  holati 
haqida tushunchalar shakllanadi 
      Tekis  masalalarni  ko’phadlar  yordamida 
yechish va kuchlanishlar funksiyasini topishga 
doir masalalar yechish haqida ma’lumotga ega 
bo’ladi yechimlardan xulosalar chiqaradi 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
Faoliyat mazmuni 
 

 
152 
bosqichlar
i va vaqti 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
 
Elastiklik nazariyasining tekis masalalari  
RYEJA: 
1.Tekis deformatsiya. 
2. Kuchlanishlar funksiasi. 
3.   Tekis kuchlangan holat. 
4. Konsol balkaning uchiga qo‘yilgan kuch ta’sirida egilishi. 
5. Kuchlanganlik funksiyasini topishga doir masala 
          Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Tekis deformasiya, tekis kuchlangan holat, kuchlanishlar funksiyasi, konsol balka   
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 

 
153 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 
 
 
 
 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
 Muvozanat tenglamalari 
 
2. 
Chegaraviy shartlar  
 
3. 
Deformasiyalarning uzviylik tenglamalari 
 
4. 
Kuchlanishlarga nisbatan uzviylik tenglamalari 
 
5. 
Eri funksiyalari 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
Matn 
1. Tekis deformatsiya. 
Chetki kesimlari 
3
x
 o‘qiga perpendikuylar bo‘lgan prizmatik yoki silindrik jismni 
qaraymiz.  Jismning  uchlari  shunday  mahkamlanganki,  bunda  ularning  nuqtalari  o‘z 
tekisliklarida  erkin  harakat  qiladi,   
3
x
  o‘qi  yo‘nalishida  ko‘chishlarga  ega  emas  deb 
faraz qilamiz. 
 
 
 
 
 
 
 
Jismning  yon  sirtlariga  qo‘yilgan  tashqi  kuchlar 
3
x
  o‘qining  normal  bo‘ylab 
yo‘nalgan  va  jism  uzunligi  bo‘ylab  tekis    taqsimlangan.  Jism  ko‘ndalang  kesimlari 
tekisliklarida ular o‘zaro muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil etadi. 
           x
2 
 
            
                                                                 
 
 
  x
1
  
                           . 
 
 O 
 x
3 
1.  Muvozanat tenglamalarida noma’lumlar qaysi 
funksiyalar? 
2.  Deformasilanganlik holati qanday turarini bilasiz? 
3.  Kuchlanganlik holati deganda nimani tushunasiz? 
4.  Elastiklik nazariyasi masalalarinin vazifasi nimadan 
iborat? 
5.  Elastiklik nazariyasi masalalarinig yechishning qaysi 
usullarini bilasiz? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
154 
Jismning  bunday  deformatsiyalangan  holati  umumlashgan  tekis  deformatsiya 
deyiladi. 
U holda Koshining olti differensial bog‘lanishlaridan faqat uchtasi qoladi: 
,
2
,
,
1
2
2
1
12
2
2
22
1
1
11
дx
дu
дx
дu
дx
дu
дx
дu







 
qolgan uchtasi nolga aylanadi 
.
0
31
23
33






 
Guk qonunining deformatsialarga nisbatan yechi gan ko‘rinishi 
,
1
,
1
1
12
12
22
11
2
11

















v
v
E
v
 
.
1
1
11
22
2
22













v
v
E
v
 
kabi bo‘ladi. Deformatsialarning olti uzviylik tenglamalaridan faqatgina bittasi qoladi 
,
2
2
1
12
2
2
1
22
2
2
2
11
2
дx
дx
д
дx
д
дx
д





 
qolganlari esa aynan qanoatlantiriladilar. 
Tekis deformatsianing munosabatlaridan hamda Guk qonunidan 
),
(
,
,
1
i
j
j
i
ij
ij
u
u







 
bu erda 
2
,
2
1
,
1
,
1
u
u
u
i
i




, 
kelib  chiqib  kuchlanish  tenzori  komponentalari  uchun  quyidagi  ifodalarga  ega 
bo‘lamiz: 
0
,
,
0
,
2
),
(
,
2
31
1
33
23
2
,
2
1
22
1
,
2
2
,
1
12
1
,
1
1
11





















u
u
u
u
 
Bu  yerda  kuchlanish  tenzorining  komponentalari  ham,  xuddi  ko‘chishlar  kabi, 
3
x
 
koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Yuqoridagi  ifodalarning birinchi ikkitasidan 
v
u
u
1
1
2
,
2
1
,
1
1
22
11
)
(
2
)
(
2
2















 
u holda 
).
(
22
11
1
33







v
 
Muvozanat  differensial  tenglamalari  tekis  deformatsiya  holatida  quyidagi 
ko‘rinishni oladi 
.
0
,
0
2
2
,
22
1
,
21
1
2
,
12
1
,
11






f
f






 
Qaralayotgan  jismning  yon  sirtlaridagi  chegaraviy  shartlar  uning  ko‘ndalang 
kesimining L konturidagi shartlarga keltiriladi: 
.
,
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
F
n
n
F
n
n








 
 
2. Kuchlanishlar funksiasi. 

 
155 
Tekis 
deformatsia 
haqidagi 
kuchlanishlardagi 
masalani 
yechish 
)
,
(
),
,
(
2
1
22
22
2
1
11
11
x
x
x
x






  va 
)
,
(
2
1
12
12
x
x



  funksialarni  aniqlashga  keltiriladi. 
Ushbu  funksialar    muvozanat  tenglamalari,  chegaraviy  shartlar  va  uzviylik 
tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. 
Bir jinsli muvozanat tenglamalarini qaraymiz: 
,
0
,
0
2
,
22
1
,
21
2
,
12
1
,
11








 
ya’ni  massaviy  kuchlarni  nolga  teng 
0
2
1

 f
f
  deb  hisoblaymiz.  To‘g‘ridan-to‘g‘ri 
o‘rniga qo‘yish yo‘li bilan, agar 
12
,
12
11
22
22
,
11
;
,
;










, 
deb  qabul  qilinsa,  muvozanat  tenglamalarining  qanoatlantirilishini  topish  mumkin. 
Kiritilgan 
)
,
(
2
1
x
x



  funksia  kuchlanishlar  funksiyasi  yoki  Eri  funksiasi  deb 
ataladi. 
Kiritilgan funksiyalaridan: 





















2
2
2
2
2
1
2
11
,
22
,
22
11
33
)
(
)
(
v
дx
д
дx
д
v
v
v



 
u holda 
 











2
22
11
33
22
11
)
1
(
)
(
)
1
(
v
v





 
                
  
Olingan  tenglikni  Beltrami  tenglamalariga  qo‘yib  quyidagi  uchta  munosabatga  ega 
bo‘lamiz 
 
 
.
0
,
0
,
0
2
2
2
22
,
2
11
,
2
11
,
2
22
,
2
















v
 
Beltrami tenglamalaridan oxirgi uchtasi aynan qanoatlantiriladi. Bu yerda 




11
,
2
11
,
2
22
,
2
22
,
2










va
 
bo‘lganligi uchun  har uchala tenglamasi bitta 
0
2
2




 
tenglamaga keltiriladi. Demak, 
.
0
2
4
2
4
2
2
2
1
4
4
1
4
2
2










дx
д
дx
дx
д
дx
д
 
 
 
 
Ushbu  tenglama  bigarmonik  tenglama  deb,  uni  qanoatlantiruvchi 
)
,
(
2
1
x
x

  funksiya 
esa – bigarmonik funksiya deb ataladi. 
3.   Tekis kuchlangan holat. 
 
Jism  tekis  kuchlangan  holatda  deyiladi,  agar  uning  hamma  ko‘ndalang 
kesimlarida 
 
0
31
32
33






   
 
 
 
 
bo‘lsa. Tekis kuchlangan holat ba’zan ikki o‘qli kuchlangan holat deb ham yuritiladi. 
Kuchlanish tenzorining qolgan noldan farqli uchta konponentasi bir jinsli muvozanat 
tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. 
Tekis  kuchlangan  holatda  tekis  deformatsiadan  farqli  o‘laroq,
3
2
1
,
,
u
u
u
ko‘chishlar 
va 
21
12
22
11
,
,





  kuchlanishlar 
3
x
  koordinataga  bog‘liq  bo‘ladi.  Ya’ni  tekis 
kuchlangan holat haqidagi masala uch o‘lchovli masala bo‘ladi. 

 
156 
Tekis kuchlangan holat uchun:  
).
(
1
);
(
1
;
1
;
11
22
22
22
11
11
12
12
22
11










v
E
v
E
E
v









 
Tekis deformatsia holati uchun: 
),
'
(
'
1
);
'
(
'
1
;
'
'
1
);
)(
1
(
11
22
22
22
11
11
12
12
22
11
33
22
11













v
E
v
E
E
v
v













 
bu yerda 
.
1
;
2
1
1
'
,
1
'
*
*
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
E
E








 
 Guk  qonuni  formulalarining  tekis  kuchlangan  holat  uchun  va  tekis  deformatsia 
uchun ifodalarni mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga keltirish mumkin: 








.
1
2
1
,
2
1
,
1
2
1
11
*
22
*
22
12
12
22
*
11
*
11











v
v
v
v







 
va 








.
,
,
11
22
22
12
12
22
11
11
1
2
1
2
1
1
2
1











v
v
v
v







 
tekis deformatsia uchun: 


;
2
,
1
,
0
2
1
1
,
1
2





i
u
i
i


 
tekis kuchlangan holat uchun:  
,
0
2
1
1
0
,
1
*
0
2




i
i
u


 (i= 1,2). 
4. Konsol balkaning uchiga qo‘yilgan kuch ta’sirida egilishi. 
 
Uchiga 
P

  kuchi  qo‘yilgan  ko‘ndalang  kesimi  eni 
1

b
  bo‘lgan  to‘rtburchakdan 
iborat  konsol  balkani  qaraymiz.  Bu  masala  umumlashgan  kuchlangan  holatga  misol 
bo‘la  oladi  Kuchlanishlar  uchun  materiallar  qarshiligi  kursidan  ma’lum  bo‘lgan 
formulalardan foydalanamiz: 
.
Q
;
0
;
b
J
S
y
J
M
z
kes
z
xy
yy
z
z
xx






 
Bu formulalarga kirgan miqdorlarni aniqlaymiz: 
 
Eguvchi moment 
)
(
x
P
M
z




; 
qirquvchi kuch 

 
157 
P



Q
, 
ko‘ndalang kesimning inertsiya momenti 
.
12
12
3
3
h
bh
J
z


 
 
 
                     o                                                                   
               x                                P
yx     
         
                            ℓ                 P 
             y 
 
 
Kesilgan yuzaning 
1

b
 bo‘lgan holdagi statik  momenti 








y
h
S
kes
z
4
2
1
2
. 
Topilgan ifodalarni kuchlanishlar uchun formulalarga qo‘yib, 
.
2
8
4
2
;
0
;
)
(
2
2
2
2
y
J
P
J
Ph
y
h
J
P
xy
J
P
y
J
P
y
J
x
P
z
z
z
yx
xy
yy
z
z
z
xx


























 
Kuchlanishlar funksiasini  ifodalardan foydalanib hisoblaymiz: 
,
;
0
;
2
4
3
2
2
2
2
1
2
2
y
c
c
дxдy
д
дx
д
xy
c
y
c
дy
д
xy
yy
xx















 
bu  yerda 
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
  lar  orqali  kuchlanishlarning  o‘zgarmas  ko‘paytuvchilari 
belgilangan.  
Oxirgi  tengliklardan  birinchisini 
y
  bo‘yicha  ikki  marta  integrallab  va 

  funksia 
uchun olingan ifodani qolgan tengliklarga ketma-ket qo‘yib, 
.
)
(
2
);
(
)
(
);
(
)
(
6
6
)
,
(
2
4
3
'
1
2
2
2
''
2
''
1
2
2
2
1
3
2
3
1
y
c
c
x
f
y
c
дxдy
д
x
f
y
x
f
дx
д
x
f
y
x
f
xy
c
y
c
y
x















 
ifodalarga ega bo‘lamiz. 
Ushbu  tenglamalarning  ikkinchi  va  uchinchilarini  qaraymiz.  Bu  yerda 
y
  - 
mustaqil o‘zgaruvchi bo‘lganligi uchun ikkinchi tenglik faqat 
0
)
(
''
1

x
f
 va  
0
)
(
''
2

x
f
 
bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi. Bularni integrallab, 
8
7
2
6
5
1
)
(
;
)
(
c
x
c
x
f
c
x
c
x
f




 
ifodalarni olamiz. 
 
                              h 
       o                                                                 z 
 
 
 
                            
 
 
          
 
7.7 - rasm 
 O                            y          x 
 y