Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Q



1
P
 
kuchi  va  qaralayotgan  kesim  (chizma  shtrixlangan)  og‘irlik 
markazida nisbatan ekssentrisiteti  
                             

tg
x
e
6
1

 
 
 
 
  bo‘lgan  uchburchakli  prizma  og‘irlik  markaziga  qo‘yilgan 
N
P 
2
  
  
 
 
   kuch.  Ushbu  eguvchi  moment  ifodasi  quyidagicha 
bo‘ladi: 



2
3
1
3
2
1
12
1
6
1
3
tg
x
x
e
P
x
P
M
z






. 
Materiallar qarshiligi formulalariga asosan 
 
,
Q
;
0
;
b
J
y
S
y
J
M
F
N
z
kes
z
xy
yy
z
z
xx












 
bu yerda 

y
-ko‘ndalang kesimning  markaziy o‘z o‘qidan hisoblanuvchi o‘zgaruvchi; 
z
J
F ,
 va 
 

y
S
kes
z
 - ko‘ndalang kesimning  mos ravishda yuzasi,  inertsiya  moment  va 
kesilgan yuzaning statik momenti: 
 
 
 
.
4
1
2
1
4
2
;
12
1
12
;
2
2
2
2
2
3
3
3

























y
tg
x
y
h
b
y
S
tg
x
bh
J
xtg
bh
F
kes
z
z



 
Ko‘ndalang  kesim  ixtiyoriy  nuqtasining 
y
va 

y
  koordinatalari  o‘zaro  quyidagicha 
bog‘langan: 

xtg
y
y
2
1



 
Endi oddiy almashtirishlardan keyin quyidagi natijani olamiz: 

 

.
0
;
3
;
2
2
3
3
1
1
2
















yy
xy
xx
x
y
ytg
ctg
y
ctg
ctg
x
ctg













     
 
    
Quyida,  chizmalarda  biror  berilgan 
const
x 
sathda  joylashgan  gorizontal  kesim 
uchun  kuchlanishlarning  elastiklik  nazariyasi  va  materiallar  qarshiligi  formulalari 
                     O 
                                y 
 x 
 
 
 
 
    
 
 
                       
 
          7.12-chizma. 
 
 
2

xtg
 

 
P
1
 
3
x
 
P
2
 
e 
 x 
b=1 
y
1/2 
 z 
 y 

 
171 
bo‘yicha  hisoblangan  epurali  tasvirlangan.  Hisoblashlar  uchun  quyidagi  berilgan    
qabul qilingan: 
.
/
;
/
,
3
1
3
0
20
10
30
м
кН
м
кН






 
               
Yuqorida  olingan  formulalarni  va  ularga  mos 
epuralarni solishtirib, quyidagi xulosalarni chiqaramiz: 
Normal 
xx

  kuchlanishlar  uchun  formulalar  har  ikkala 
holda  ham  bir  xil.  Materiallar  qarshiligi  kursida 
hisobga  olinmaydigan  normal 
yy

  kuchlanishlar 
xx

 
kuchlanishlar  bilan  bir  xil  tartibga  ega.  Urinma 
xy

 
kuchlanishlarning  elastiklik  nazariyasi  va  materiallar 
qarshiligi  formulalari  asosida  qurilgan  epuralari  bir-
biridan faqat qiymatlari bilangina farq qilmasdan, balki 
sifat  jihatidan  ham  farq  qiladi.  Demak,  qaralayotgan 
masalada  materiallar  qarshiligi  formulalari  asosidagi 
hisoblarni qabul qilib bo‘lmaydi. 
     Burchakning  berilgan 
0
30


  qiymatida 
xx

  kuchlanishlarning  epurasi  vertikal 
yoq  tomonida  cho‘zilish  zonasiga  ega.  Bunday  zonaning  borligi  mo‘rt  jismlar 
(ayniqsa,  to‘g‘onlar  materiali  odatda  cho‘zilishga  ishlamaydigan  mo‘rt  jismlardan 
iborat  bo‘ladi)  uchun  juda  xavfli.  Burchakning  qiymatini  tanlash  yo‘li  bilan 
cho‘zuvchi  kuchlanishlardan  xalos  bo‘lish  mumkin.  Elastiklik  nazariyasining 
formulalaridan birinchisida y = 0 bo‘lganda, 
0

xx

 bo‘lishini talab qilamiz. U holda  


0
1
2


x
ctg



 
tenglamaga  ega  bo‘lamiz.  Bu  ndan 

  va 
1

  larning  ilgaridan  berilgan  qiymatlarida 
0

x
 uchun quyidagi natijani olamiz  
.
35
;
5
,
0
0
1
2







tg
 
Shunday qilib, 
0
35


 bo‘lsa, to‘g‘onda cho‘zuvchi kuchlanishlar bo‘lmaydi.  
 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
6.  Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
7.  Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
8.  V.I. Samul  «Osnovы teorii  uprugosti  i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 
st. 
9.  S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
      O                                 O 
 
 
 x                                 x  
 
 
     
         
xx

                        
xx

  30x                                  
10x  
yy

               10x     
                 10x 
                 17.3x                     13x  
                          
                        
   7.13-chizma.          7.14-chizma.                      
yx

 
yx

 
 y                               y 
x                            x 
yy

 

 
172 
7- AMALIYOT 
DARSI 
 
Elastiklik nazariyasining qutib koordinatalaridagi tekis 
masalasi. 
 
 
Elastiklik nazariyasining qutib koordinatalaridagi tekis masalasi mavzusining 
texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1.  Qutb koordinatalaridagi tekis masalaning 
asosiy tenglamalari 
2.  Uchiga  to‘plangan  kuch  yuklangan  pona 
masalasi. 
3. To‘plangan kuchning yarim tekislikka ta’siri 
(Flaman masalasi) 
4.    Ichki  va  tashqi  tekis  bosimlar    ta’siri   
ostidagi qalin devorli quvur  (Lame masalasi) 
5. Doiraviy teshikli plastinaning       cho‘zilishi (Kirch masalasi) 
6. 
Elastiklik 
jism 
masalalarni 
qutb 
koordinatalar yordamida yechish. 
7. Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar 
 
O’quv mashg’ulot maqsadi: Elastiklik nazariyasining qutb koordinatalaridagi tekis 
masalalarini yechish bilan tanishtirish va mavzuga  doir masalalalar yechish  
Pedagogik vazifalar: 
Asosiy 
tenglamalarning 
tekis 
masallalar 
uchun 
qutb 
koordinatalardagi 
ifodasi 
bilantanishish  va  bu  tenglamalar 
yordamida  bir  nechta  masalalar 
yechish 
O’quv faoliyat natijalari: 
Asosiy tenglamalarning tekis masallalar uchun 
qutb  koordinatalardagi  ifodasi  bilantanishish 
va  bu  tenglamalar  yordamida  masalalar 
yechish  haqida  ma’lumotga  ega  bo’ladi 
yechimlardan xulosalar chiqaradi 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 

 
173 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Elastiklik nazariyasining qutib koordinatalaridagi tekis masalasi  mavzusining 
texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
Elastiklik nazariyasining qutib koordinatalaridagi tekis masalasi 
REJA: 
1.  Qutb koordinatalaridagi tekis masalaning asosiy tenglamalari 
2. Uchiga to‘plangan kuch yuklangan pona masalasi. 
3. To‘plangan kuchning yarim tekislikka ta’siri (Flaman masalasi) 
4.    Ichki  va  tashqi  tekis  bosimlar    ta’siri      ostidagi  qalin  devorli  quvur    (Lame 
masalasi) 
5. Doiraviy teshikli plastinaning       cho‘zilishi (Kirch masalasi) 
6. Elastiklik jism masalalarni qutb koordinatalar yordamida yechish. 
7. Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar 

 
174 
 
 
   Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Muvozanat  tenglamalari,  Koshining  differensial  munosabatlari,  Guk  qonuni, 
deformasiyalarning  uzviylik  tenglamalari,  Flamen  masalasi,  Lame  masalasi,  Kirsh 
masalasi.  
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 
 
 
 
 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Tabiiy koordinatalar sistemasi 
 
2. 
Radial deformasiya 
 
3. 
Aylana deformasiya 
 
4. 
Simmetrik pona 
 
5.  
Elastik yarim tekislik 
 
6. 
Eyler tipidagi tenglama 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
Matn 
 Qutb koordinatalaridagi tekis masalaning asosiy tenglamalari 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1. Qutb va dekart koordinatalari orasida qanday bog’lanish 
mavjud? 
2. Elastiklik nazariyasi asosiy tenlamalariga qaysilar kiradi? 
3. Koordinatalarni almashtirish haqida nimalar bilasiz? 
4. Tekis deformasiya holatida asosiy tenglamalar qanday 
ko’rinishga keladi? 
5. Tekis deformasiya holatida asosiy tenglamalar qanday 
ko’rinishga keladi?
 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
175 
1
0
. Muvozanat tenglamalari. 
.
0
2
1
;
0
1


































r
r
r
R
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
 
2
0
. Koshining differensial munosobatlari.  
.
1
;
1
;









д
дu
r
r
дr
д
д
дu
r
r
u
дr
дu
r
rr







 
3
0
. Guk qonuni.  




;
;
1
;
1
2
2














r
r
rr
rr
rr
v
v
E
v
E







 




.
1
;
1
;
1














r
r
rr
rr
rr
v
E
v
E





 
4
0
. Dekart va qutb koordinatalaridagi kuchlanishlar orasidagi bog‘lanishlar.  
.
2
cos
2
sin
)
(
2
1
;
2
sin
cos
sin
;
2
sin
sin
cos
2
2
2
2






















xy
yy
xx
r
xy
yy
xx
xy
yy
xx
rr










 
yoki 
.
2
cos
2
sin
)
(
2
1
2
sin
cos
sin
2
sin
sin
cos
2
2
2
2


























r
rr
xy
r
rr
yy
r
rr
xx









 
5
0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari.  Tekis kuchlangan holatda massaviy 
kuchlar  o‘zgarmas  yoki  nolga  teng  bo‘lganlarida  defor-matsialarning  uzviylik 
tenglamasining kuchlanishlardagi ifodasi chiqarilgan va uning ko‘rinishi  
 
0
)
(
2



yy
xx


 
 
 
 
 
 
 
 
    (8.14) 
Bu yerdan qutb koordinatalari sistemasida Laplas operatori quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 
2
2
2
2
2
2
1
1

д
д
r
дr
д
r
дr
д




 

 
176 
Shunday  qilib  qutb  koordinatalari  sistemasida  deformatsiyalarning  uzviylik 
tenglamasi  


.
0
1
1
2
2
2
2
2
















rr
д
д
r
дr
д
r
дr
д
 
Xuddi  Dekart  koordinatalari  sistemasida  tekis  masalani  yechishdagi  kabi,  uch 
noma’lumli  uch  tenglama  sistemasini,  kuchlanishlar  funksiyasiga  nisbatan,  bitta 
bigarmonik tenglamaga keltirish mumkin 
0
2
2




 
yoki yoyilgan ko‘rinishda  
.
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






























д
д
r
дr
д
r
дr
д
д
д
r
дr
д
r
дr
д
 
Bunda 
)
,
(


r
 
kuchlanishlar 
funksiyasi 
orqali 
kuchlanishlar 
quyidagicha 
ifodalanadilar: 
.
1
1
1
;
;
1
1
2
2
2
2
2
2
2















дr
д
r
дr
д
д
д
r
дrд
д
r
дr
д
д
д
r
дr
д
r
r
rr














 
Quyida ana shu formulalar va tenglamalar yordamida konkret masalalarni yechishga 
misollar keltiramiz. 
 
2. Uchiga to‘plangan kuch yuklangan pona 
 
1
0
.  Simmetrik  ponaning  uchiga  qo‘yilgan  kuch  bilan  siqilishi.  Qalinligi 
1

b
  va 
yoyilish  burchagi 

2
  bo‘lgan  va  uchiga 
x
0
  simmetria  o‘qi  bo‘ylab  yo‘nalgan         
P

 
kuch  bilan  yuklangan  tekis  ponani  qaraymiz.  Ponaning  o‘ng  chetida  mahkamlanish 
sohasidagi  kuchlangan  deformatsialangan  holatni  qaramaslik  uchun,  ponani 
x
0
  o‘qi 
bo‘ylab chegaralanmagan holda davom etgan deb hisoblaymiz.  
Ponaning  yon  yoqlari  yuklanmaganliklari  sababli  bu  yoqlardagi  chegaraviy 
shartlar quyidagicha yoziladi. 
.
0










r
da
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




sin
)
,
(

 Br
r
 
Kuchlanishlarni hisoblaymiz 
                                         
 
         x
2                                                                           
         
1,71P/c
 
                                                        
           a         r                   r 
  P          

 

                              
1,95P/r
       
1,95P/c 
                       
                x
1 
 
               x
1
=c                                          
                                                       
            a)                                       b) 
                                  
0,456P/c 

 
rr

 
1,87P/c 
11

 
12

 
x
1
=c 
 O 
1.88P/r 

 
177 
;
cos
2
)
sin
cos
(cos
sin
1
)
cos
sin
(
1
sin
1
2














r
B
r
B
B
r
Br
Br
д
д
r
B
r
rr
















 


;
0
sin




















B
r
r
r
 


.
0
)
cos
(sin
)
cos
sin
(
1
1
































B
дr
д
Br
Br
r
дr
д
д
д
r
дr
д
r
 
Ushbu  formulalardan  ko‘rinadiki,  ponaning  hamma  nuqtalarida 
0






r
  tenglik 
o‘rinli  bo‘lganliklari sababli  chegaraviy shartlar avtomatik tarzda bajariladi. 
Kuchlanishlar  funksiyasi  tarkibidagi 
B
  o‘zgarmas    ponadan  kesilgan 
r
  radiusli 
silindrik sirtning muvozanat shartlaridan topiladi: 




















.
2
sin
2
1
2
cos
B
d
r
P
rr
 
Bu yerdan 
,
2
sin
2





P
B
 
u holda  yechim quyidagi ko‘rinishni oladi 
.
0
;
0
;
)
2
sin
2
(
cos
2













r
rr
r
P
 
Agar 
P

  kuchi  pona  uchida  kichik 
a
  radiusli  silindrik  sirtda  taqsimlangan 
kuchlarning teng ta’sir etuvchisi bo‘lsa, olingan yechim masalaning aniq yechimidan 
iborat bo‘ladi. 
Kuchlanish  tenzorining  Dekart  koordinatalari  sistemasidagi  komponentalarini 
topish uchun  
2
2
sin
2
0




k
 
belgilashni kiritamiz.  
,
;
;
4
2
4
2
4
3
r
k
y
Px
r
k
Pxy
r
k
Px
o
xy
o
yy
o
xx









 
bu yerda 
.
)
(
2
2
2
4
y
x
r


 
Yuqoridagi  (chizmada)  yoyilish  burchagi 
0
15


  bo‘lgan  pona  uchun 
r
  radiusli 
silindrik  kesimdagi 
rr

  kuchlanishlarning  va 
c
x 
1
  kesimdagi 
xx

  va 
yy

 
kuchlanishlarning  epyuralari  keltirilgan.  Bu  epyuralardan  ko‘rinadiki, 
xx

  normal 
kuchlanish ko‘ndalang kesim bo‘ylab tekis taqsimlanmaydi. Eng katta 
xx

 kuchlanish 
kesimning  markazida  yuzaga  keladi  va 
0
15


  bo‘lgandagi 
F
P
xx

r
 
o
)
(

  o‘rtacha 
kuchlanishdan 4,3% katta bo‘ladi. Qaralgan masala Michell masalasi deb yuritiladi. 
2
0
.  Ponaning  uchiga  qo‘yilgan  kuch  ta’siridagi  egilishi.  Ponani  eguvchi  (chizma) 
ponaning 
x
0
  simmetriya  o‘qiga  nisbatan  qiyshiqsimmetrik  yuklamadan  iborat. 
Shuning uchun kuchlanishlar funksiyasini 

 ga nisbatan toq qilib 

 
178 




cos
)
,
(
1
r
B
r

 
 
 
 
ko‘rinishda qabul qilamiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bu funksiyaga quyidagi kuchlanishlar mos keladi. 
.
0
,
sin
2
1










r
rr
r
B
 
Kuchlanishlar bunday bo‘lganda pona yoqlaridagi chegaraviy shartlar bajariladi. 
Noma’lum  o‘zgarmas  - 
1
B
  pona  kesilgan  qismining  muvozanat  shartlaridan 
topiladi (b - chizma): 









,
0
sin d
r
P
rr
 
bundan                           


sin
2 

P
B
 
va demak 
.
0
,
)
2
sin
2
(
2
sin
2












r
rr
P
    
 
 
 
 
Quyidagi belgilashni kiritamiz: 
2
2
sin
2




k
 
u holda kuchlanishlar tenzorining Dekart koordina-talaridagi komponentalari uchun 
4
2
4
3
4
2
;
;
kr
Pxy
kr
Py
kr
y
Px
xy
yy
xx






 
ifodalarga ega bo‘lamiz, bu yerda   
2
2
2
4
)
(
y
x
r


. 
Yuqoridagi  chizmalarda  yoyilish  burchagi 
0
15


  bo‘lgan  pona  uchun 
r
  radiusli 
silindrik  kesimdagi 
rr

  kuchlanishlar  va 
c
x 
1
  kesimdagi 
xx

  va 
xy

 
kuchlanishlarning  epyuralari  keltirilgan.  Eng  katta  urinma  kuchlanish  - 
xy

 
kesimning  chetki  nuqtalarida  yuzaga  keladi  va  elementar  nazariya  bo‘yicha  balka 
ko‘ndalang  kesimi  og‘irlik  markazidagi  kuchlanishlardan  deyarli  ikki  barobar  katta 
bo‘ladi. Va aksincha, elementar nazariya bo‘yicha hisoblangan eng katta normal 
xx

  
kuchlanish,  formula bo‘yicha hisoblangan kuchlanishga  nisbatan biroz katta bo‘ladi. 
       x
2                                                                          
19,9P/c 
   
5,28P/c 
                           21,8P/r
 
                       
                  
                                      r         
   P    
                     
 
 
             a)                        b)                     c) 
                                                         
       
 
  

d
 
rr

 

 

 

 
11

 
12

 
x
1
=c 
rr

 
 x
1
 

 
179 
Bu  masalaning  yechimi  ham  1902  yilda  Michell  tomonidan  olingan.  Bu  yechim 
masalaning aniq yechimidan iborat bo‘ladi, agar pona o‘zining mahkamlangan uchida  
qonun  bo‘yicha    taqsimlangan  yuklama  ta’siri  ostida  bo‘lsa.  Bu  shart  bajarilmagan 
holda  yechim  faqat  ponaning  mahkamlangan  uchidan  yetarli  darajadagi  uzoqlikda 
joylashgan kesimlari uchun aniq yechimdan iborat bo‘ladi. 
Olingan  yechimlar  asosida  pona  tekisligida  uning  uchiga  ixtiyoriy  yo‘nalishda 
qo‘yilgan   
P

 kuchi uchun masalaning yechimini olish mumkin. 
3
0
.  Ponaning  uchiga  qo‘yilgan  moment  ta’siridagi  egilishi  (Inglis  masalasi).  Bu 
safar ham Eri funksiyasini toq qilib qabul qilamiz: 
.
2
sin
)
,
(




C
A
r


 
Bu funksiyaga quyidagi kuchlanishlar mos keladi 
0
,
2
sin
4
2







r
C
rr
, 
.
2
cos
2
2
2



r
C
r
A
r


 
ushbu  
0







r
 
chegaraviy  shartdan         

2
cos
2
A
C


 
topiladi.  Ikkinchi  o‘zgarmas 
A
  ponaning  kesilgan  qismi 
muvozanat shartidan topiladi 
                            
,
2
cos
2
cos
1
M
d
A
rd
r
r























 
 
bundan 


2
2
tg
M
A


     va     
.
2
cos
)
2
2
2
(
2



tg
M
C



 
O‘zgarmaslarning topilgan qiymatlariniga qo‘yamiz 
.
2
cos
2
cos
1
)
2
2
(
,
0
,
2
cos
)
2
2
(
2
sin
2
2
2

























tg
r
M
tg
r
M
r
rr
 
Inglis  tomonidan  olingan  bu  yechim  aniq  bo‘ladi,  agar  ponaning  mahkamlangan 
uchiga  va  uning  uchidagi  kichik 
a
  radiusli  silindrik  sirtga    taqsimlangan  kuchlar 
qo‘yilgan bo‘lsa. Bu kuchlar qarama-qarshi yo‘nalgan 
M
 momentlarga keltiriladi.