Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
 
Asosiy tenglamalarning silindrik va sferik koordinatalardagi koorinishlari va 
ularga doir masalalar 
REJA: 
1.  Asosiy tenglamalarning silindrik   koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 
2. Asosiy tenglamalarning sferik koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 
3. Masalalar. 
 
   Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
 Muvozanat  tenglamalari,  Koshining  differensial  munosabatlari,  Guk  qonuni, 
deformasiyalarning uzviylik tenglamalari, 
 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
 Bigarmonik tenglama 
 
2. 
Laplas operatori  
 
3. 
Kuchlanganlik holati 
 
4. 
Izotrop jism uchun guk qonuni 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1. Dekart va slindrik koordinatalar orasida bog’lanishni ayting?  
2.Dekart va sferik koordinatalar orasida bog’lanishni ayting? 
3.  Elastiklik nazariyasi asosiy tenglamalarini sanab o’ting? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
193 
 
 
4-ilova 
Matn 
 
Asosiy tenglamalarning silindrik   koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 
 
To‘g‘ri  burchakli 
3
2
1
x
x
x
  Dekart  koordinatalari  sistemasining 
3
2
1
x
x
x
,
,
 
koordinatalari  bilan 
z
r

  silindrik  koordinatalar  sistemasining 
z
r
,
,

  koordinatalari 
o‘rtasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud  
(chizma). 
1
0
.
,
cos

r
x 
1
 
  
z
x
r
x


3
2
,
sin

    
 
 
 
 
    Bunda koordinat chiziqlari    bo‘lib,  
2
2
2
2
1
r
x
x


 
    va 

tg
x
x
1
2

 
to‘g‘ri chiziqlari xizmat qiladi. 
                                    2
0
. Kochish vektori 
u

ning komponentalari orasida 
z
z
r
u
u
ru
u
u
u



,
,
2
1

 
munosabatlar o‘rinli. 
3
0
. Deformatsia tenzori komponentalari: 
.
;
;
;
;
;
31
23
12
33
2
22
11
zr
z
r
zz
rr
r
r
r





















 
4
0
. Koshining differensial bog‘lanishlari: 
.
2
1
;
1
2
1
;
1
2
1
;
;
2
1
;

















































z
u
r
u
u
r
z
u
r
u
r
u
u
r
z
u
r
u
u
r
u
r
z
zr
z
z
r
r
z
zz
r
r
rr
















 
Bu yerdan hajmiy deformatsia: 
r
u
z
u
u
r
r
u
r
z
r
zz
rr




















1
 


z
r
M
,
,

 
                x
3 
 
 
 
 
                            z 
 
                                            
 


z
r
M
,
,

 
● 
● 
● 
x
2
 
x
1 

 
o 

 
194 
5
0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari: 
.
1
2
1
;
2
1
;
1
2
1





























r
u
д
дu
r
дr
дu
дr
дu
дz
дu
дz
дu
д
дu
r
r
z
r
z
r
rz
z
r
z














 
 
 
 
 
6
0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari: 
,
0
2
1
1
,
0
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

























дz
д
дz
д
д
r
дr
д
r
дz
д
д
д
r
д
д
r
дr
д
дr
д
r
дrд
д
r
д
д
r
дr
д
zr
z
zz
zz
r
rr
r
rr






















 
,
0
2
2
2
2
2
2



дzдr
д
дz
д
дr
д
zr
rr
zz



 
,
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2














дr
дz
д
r
дr
д
r
дzд
д
r
дzдr
д
дr
д
дz
д
д
r
z
r
z
zr
r
z
rr














 
,
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
















дz
д
д
д
r
дz
д
r
дrд
д
r
дz
д
д
r
д
д
r
дzдr
д
rr
z
z
r
zr
















 




дz
д
д
r
дzдr
д
дz
д
дrд
д
r
zr
z
r
zz








2
2
2
2
2
1
1
 
.
0
1
1













д
д
r
дz
д
r
zz
z
 
7
0
. Kuchlanish tenzori komponentalari: 
.
,
1
,
1
,
,
1
,
31
23
12
33
2
22
11
zr
z
r
zz
rr
r
r
r





















 
8
0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni: 
.
2
;
2
;
2
;
2
;
2
;
2
zr
zr
zz
zz
z
z
r
r
rr
rr

































 
zz
rr








 
9
0
.  Ko‘chishlarga  nisbatan  muvozanat  va  harakat  tenglamalari  (Lame 
tenglamalari): 

 
195 















2
2
2
2
2
0
2
1
1
2
дt
u
д
f
дr
д
v
r
u
д
дu
r
u
r
r
r
r






















2
2
2
2
2
0
2
1
1
2
дt
u
д
f
r
rд
д
v
r
u
д
дu
r
u
r











 
.
0
2
1
1
2
2
2













дt
u
д
f
дz
д
v
u
z
z
z





     
 
  
10
0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari: 
,
0
1
2
2














дt
u
д
f
r
дz
д
д
д
r
дr
д
r
r
rr
zr
r
rr










,
0
2
1
2
2













дt
u
д
f
r
дz
д
д
д
r
дr
д
r
z
r













 
.
0
1
2
2













дt
u
д
f
r
дz
д
д
д
r
дr
д
z
z
zr
zz
z
zr








    
 
    
11
00
. Beltrami tenglamalari: 




,
0
1
1
1
1
2
4
,
0
1
1
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


















































r
r
v
v
r
r
r
v
r
r
rr
r
rr
r
rr
 
,
0
1
1
2
2
2







z
v
zz

  


,
0
1
1
1
4
2
2
2
2






























r
r
v
r
r
r
rr
r
       
 
 
      
.
0
1
1
2
,
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
























r
z
v
r
r
z
r
v
r
r
zr
z
z
z
zr
z
r












 
 Asosiy tenglamalarning sferik koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 
 
Dekart 


3
2
1
x
x
x
,
,
koordinatalari  va  sferik 



 ,
,
r
koordinatalar  orasidagi 
bo‘glanishlar (5.2-chizma) quyidagi formulalar bilan aniqlanadi: 
1
0
. 
;
,
;





3
2
1
x
x
r
x
 


;
sin
cos
3




i
re
i
r
i
x




 
;
cos
sin
cos
1




r
x


 
.
cos
;
sin
sin
sin
3
2





r
x
r
x



   
 
 
 
 
   
2
0
. Ko‘chish vektori   komponentlari: 
                   x
3 
                    
 
 
                            

   
             

   
                 r       
         
                                x
2
 
               

  
     x
       

 



,
,
r
K
 
 O 

 
196 



u
r
u
ru
u
u
u
sin
;
;
3
2
2
1



 
 
 
 
 
 
   
 
 
      3
0
.Deformatsiya tenzori  komponentalari: 
                                       
;
sin
;
sin
;
;
sin
;
;
1
31
2
23
12
2
2
33
2
22
11
r
r
rr
r
r
r
r
r



























  
      
 
4
0
. Ko‘chishlar va deformatsialar orasida Koshining differensial munosabatlari: 
;
1
2
1
;
sin
1
;
1
;



























r
u
u
r
r
u
tg
r
u
r
u
u
r
r
u
u
r
r
u
r
r
r
r
r
rr

















      
 
           
;
sin
1
1
2
1
























tg
r
u
u
r
u
r
 
.
sin
1
2
1













r
u
u
r
r
u
r
r






 
5
0
. Hajmiy deformatsia quyidagicha aniqlanadi: 
.
2
sin
1
1








tg
r
u
r
u
u
r
u
r
r
u
r
r











    
 
 
6
0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari: 
;
sin
1
1
2
1


























tg
r
u
u
r
u
r
r
 
.
1
2
1
;
sin
1
2
1






























r
u
u
r
r
u
r
u
r
u
u
r
r
r
r
r















 
 
 
  
7
0
. Kuchlanish tenzori komponentalari: 
.
sin
1
,
sin
1
,
1
,
sin
1
,
1
,
31
2
23
12
2
2
33
2
22
11
r
r
rr
r
r
r
r
r


























 
 
 
 
8
0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni: 
.
,
,
,
,
,
r
r
r
r
rr
rr

























2
2
2
2
2
2









     
 
          
9
0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari:  

 
197 





0
3
1
sin
1
1
,
0
2
1
sin
1
1


































































f
ctg
r
r
r
r
f
ctg
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
rr
 


















sin
1
1
r
r
r
r
        
 
 
                 


.
0
2
3
1











f
ctg
r
r
 
10
0
.  Deformatsialarning  uzviylik  tenglamalari  yoyib  yozilganda  juda  katta 
ko‘rinishga  ega.  Shuning  uchun  bu  tenglamalarning  egri  chiziqli  koordinatalar 
sistemasidagi ko‘rinishini keltiramiz va undan zarur tenglamalarni keltirib chiqarishni 
o‘quvchiga havola qilamiz: 
,
0
2
2
2
2
2











































jk
ii
Г
ii
jk
Г
j
jk
Г
ik
j
Г
ik
Г
i
Г
j
Г
ik
Г
jk
i
i
jk
j
ik
ik
j








     
 
 
bu yerda 


;
,
2
1
k
i
i
k
ik
k
i
i
k
ik
x






















     
 
 
      
k
x
- egri chiziqli koordinata. 
Sferik  koordinata  sistemasida  noldan  farqli  ikkinchi  jins  Kristoffel  simvollari 
quyidagi qiymatlarga ega: 
.
;
1
;
cos
sin
;
sin
;
3
23
3
13
2
12
2
33
2
1
33
1
22




ctg
Г
r
Г
Г
Г
r
Г
r
Г









   
 
 
11
0
. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari ham: 






















j
jк
к
ij
j
кi
j
i
к
к
х
u
Г
х
u
Г
х
u
Г
х
х
u
g
e






2
ij

 























ik
j
ij
k
jk
j
Г
Г
Г
Г
Г
х
u
 
,
0
1
2
1
1









к
к
kk
f
х
g
v



 
bu  yerda  Kristoffel  ikkinchi  jins  simvollari  (5.84)  formulalar  bilan,  sferik 
koordinatalar sistemasida metrik tenzorning 
ij
g
 kontravariant komponentalari: 

2
2
33
2
22
11
sin
1
,
1
,
1
r
g
r
g
g



 

 
198 
formulalar  bilan  hisoblanadi.  Bundan  tashqari,  bu  yerda,  ya’ni  sferik  koordinatalar 
sistemasida Laplas operatori, ixtiyoriy skalyar 

-funksiya uchun, ushbu  




































r
ctg
r
r
r
r
2
2
1
sin
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
ko‘rinishga ega ekanligini ham hisobga olish kerak.