Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Masala. 
 ko’chish  vektori  komponentalari 
i
U
  ,  silindrik  va  sferik  koordinatalar 
sistemasida berilgan. Deformasiya va kuchlanish  tenzori komponentalarini toping.  
Silindrik koordinatalarda  




cos
z
r
U
,
cos
r
z
U
,
sin
r
U
z
r
2
2



; 
Sferik koordinatalarda     







sin
r
U
,
sin
cos
r
U
,
cos
sin
r
U
r



. 
 
Yechish      
Silindrik koordinatalarda 
 




cos
z
r
U
,
cos
r
z
U
,
sin
r
U
z
r
2
2



 
 deformasiya tenzori komponentalarini topamiz 
















cos
z
r
,
sin
z
r
cos
r
z
,
cos
r
z
,
cos
z
r
,
sin
r
z
,
sin
zr
z
r
zz
rr






















2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
 
 kuchlanish tenzori komponentalarini topamiz 
.
cos
z
r
,
sin
z
r
cos
z
r
sin
r
z
sin
,
sin
z
r
cos
r
z
,
sin
r
z
cos
z
r
sin
r
z
sin
,
cos
r
z
,
sin
cos
z
r
sin
r
z
sin
zr
zz
z
r
rr

















































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
 
Sferik koordinatalarda 
 







sin
r
U
,
sin
cos
r
U
,
cos
sin
r
U
r



 

 
199 
deformasiya tenzori komponentalarini topamiz 
 


































ctg
sin
cos
ctg
,
cos
ctg
sin
,
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
,
,
cos
sin
r
r
rr











2
1
2
1
2
1
0
2
 
kuchlanish tenzori komponentalarini topamiz 































































ctg
sin
cos
ctg
,
cos
ctg
sin
,
cos
cos
,
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
,
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
,
cos
sin
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
r
r
rr











































2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar 
Ko’chish  vektori  komponentalari 
i
U
  ,  silindrik  va  sferik  koordinatalar 
sistemasida berilgan. Deformasiya va kuchlanish  tenzori komponentalarini toping.  
 
             Silindrik koordinatalarda                Sferik koordinatalarda 
1. 




2
2
2
cos
z
U
,
sin
r
U
,
sin
r
U
z
r



 







2
cos
r
U
,
sin
cos
r
U
,
cos
cos
r
U
r




 
2. 




cos
r
z
U
,
cos
r
z
U
,
sin
r
U
z
r
2
2
2











cos
sin
r
U
,
sin
cos
r
U
,
cos
sin
r
U
r




2
 
3. 




2
2
cos
z
U
,
cos
r
U
,
sin
z
r
U
z
r



 






cos
cos
r
U
,
cos
r
U
,
sin
r
U
r




2
2
 
4. 






sin
z
r
U
,
cos
z
r
U
,
cos
r
U
z
r
2
2












sh
sin
r
U
,
sin
cos
r
U
,
cos
rsh
U
r



 
5. 






cos
r
U
,
cos
r
U
,
sin
z
r
U
z
r




2







cos
sin
r
U
,
sh
cos
r
U
,
cos
r
U
r





2
 
6. 




sin
z
r
U
,
cos
r
U
,
sin
r
z
r
U
z
r
2
2

















cos
sin
r
U
,
sh
cos
r
U
,
sin
r
U
r





2
 
7. 




sin
z
r
U
,
cos
r
U
,
cos
z
r
U
z
r
2
2
2













cos
sin
r
U
,
sh
ch
r
U
,
cos
sin
r
U
r




 
 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 

 
200 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
4.Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
5.V.I. Samul «Osnovы teorii uprugosti i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 st. 
6.S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
 
Oraliq nazorat savollari 
1.  Tashqi kuchlar. Kuchlanish vektori.  
2.  Asosiy tenglamalarning silindrik koordinatalar sistemasidagi ko’rinishlari. 
3.  Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati. Kuchlanish tenzori. 
4.  Asosiy tenglamalarning sferik koordinatalar sistemasidagi ko’rinishlari. 
5.  Kuchlanish  tenzori.  Qutb  koordinatalar  sistemasida  kuchlanish  tenzori 
ko’rinishlari. 
6.  Klapeyron teoremasi.  
7.  Koordinata  o’qlarini  burganda  normal  kuchlanishlar    komponentalarini 
almashtirish. 
8.  Kirxgoff teoremasi. 
9.  Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori invariantlari.  
10.  Beltrami-Mitchell tenglamalari. 
11. Kuchlanishlar sirti. Kuchlanishlar ellipsoidi. 
12. Dekart koordinatalari sistemasida asosiy tenglamalar. 
13. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma kuchlanishlar. 
14. Betti teoremasi. 
15. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash formulalari.  
16. Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-
Neyber shaklida tasvirlash. 
17. Ikki o’qli kuchlanganlik holati. 
18. Elastiklik  nazariyasi  masalalarini  ko’chishlar  orqali  yechish.Lame 
tenglamalari. 
19. Ko’chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati. 
20. Umumlashgan Guk qonuni 

 
201 
21. eformatsiyaning chiziqlimas tenzori . 
22. Elastik simmetriya turlari 
23. Deformatsiyaning chiziqli tenzori va kichik burilish tenzori. 
24. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. 
25. Deformatsiya tenori komponentalarining geometrik ma’nosi. 
26. Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari 
27. Kichik deformatsiya tenzori. 
28. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari. 
29. Bir jinsli deformatsiya. 
30. Sferik koordinatalar sistemasida kuchlanish tenzori ko’rinishlari. 
31. Bosh deformatsiyalar. Deformatsiya tenzori invariantlari.  
32. Koordinata  o’qlarini  burganda  urinma  kuchlanishlar    komponentalarini 
almashtirish. 
33. Deformatsiya ellipsoidi. 
34. Kuchlanishlar diviatori va sharsimon tenzori. 
35. Chezaro formulasi. 
36. Dekart koordinatalari sistemasida asosiy tenglamalar. 
37. Deformatsiyalarning uzviylik tenglamalari. 
38. Koordinata  o’qlarini  burganda  normal  kuchlanishlar    komponentalarini 
almashtirish. 
39. Ko’chishlarni nisbiy ko’chish tenzori komponentalari orqali aniqlash. 
40. Beltrami-Mitchell tenglamalari. 
41. Deformasiyalanish termodinamikasi. 
42. Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-
Neyber shaklida tasvirlash. 
43. Elastik jism muvozanat va harakat tenglamalari  
44. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. 
45. Deformatsiyaning sharsimon tenzori va deviatori. 
46. Elastiklik nazariyasi masalalarini ko’chishlar orqali yechish.Lame 
tenglamalari. 

 
202 
47. Elastik potensial. 
48. Deformatsiyaning chiziqli tenzori va kichik burilish tenzori. 
49. Deformatsiuaning qoshimcha ishi. 
50. Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk 
qonuni. 
 
Elastiklik  nazariyasi testlar 
 
 
Tashki kuchlarga kanday kuchlar kiradi 
* Sirt kuchlari va xajmiy kuchlar; 
Xajmiy kuchlar; 
Tuplangan kuchlar; 
Tyekis taksimlangan kuchlar; 
Jism sirtidagi shartlar kuyidagilardan kaysi biriga tyeng 
*
;
i
ij
nj
n
q


 
;
i
ij
ni
n
q


 
;
i
i
n
n
q
q

 
 
;
ij
ij
ni
q



 
Kuchlanishlar tyenzorining xaraktyeristik tyenglamasini kursating 
*
;
0


ij
ij


 
;
0


ij
ij



 


;
0


j
ij
ij
n


 
;
0


ij
ij


 
Kuchlanish tyenzorining birinchi invarianti 
1
I
 ni kursating 
 
;
*
1
ii
ij
I



 
 
;
3
1
1
ii
ij
I



 
 


;
2
1
1
jj
ii
ij
I




 
 
;
3
1
1
jj
ii
ii
I




 
Kuchlanish tyenzorining ikkinchi invariantning 
2
I
 kursating 
*
 


;
2
1
2
ij
ij
jj
ii
ij
I







 
 


;
2
1
2
ij
ij
ij
ii
ij
I







 
 


;
3
1
2
ij
jk
ii
ij
I






 
 


ij
ij
jj
ii
ij
I







3
1
2
; 

 
203 
Kuchlanish tyenzorining uchinchi invarianti 
3
I
 ni kursating  
*
 
;
3
ij
ij
I



 
 
;
3
1
3
ij
ij
I



 
 


;
2
1
3
ij
ij
jj
ii
ij
I







 
 


ij
ij
jj
ii
ij
I







3
1
3
; 
Bosh kuchlanishlar kaysi formula orkali topiladi. 
*
0
3
2
2
1
3




I
I
I



 
0
3
2
2
1
3




I
I
I



 
0
3
2
2
2
1
3








I
I
I
 


3
2
1
3
3
1







 
Koshi munosabatlari kuyidagilarni kaysi biriga tyeng 
*


ji
ij
ij
U
U


2
1

 


;
2
1
, i
j
ij
ij
U
U



 


;
3
1
,
,
j
j
i
i
ij
U
U



 
 
;
2
1
ii
ij



 
Dyeformasiya  tyenzorining  bosh  kiymatlari  kaysi  formula  yordamida 
aniklanadi 
*
;
0
3
2
2
1
3




I
I
I



 
;
0
3
2
2
1
3




I
I
I



 
;
0
1
2
2
3
3




I
I
I



 
.
0
3
2
1
3




I
I
I



 
Dyeformasiya tyenzorining birinchi invariantini aniklang 
*
 
ij
ij
I



1
 
 


jj
ii
ij
I




1
 
 
ii
ij
I


3
1
1
 
 


ij
ii
ij
I





2
1
1