Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

5. Doiraviy teshikli plastinaning  
      cho‘zilishi (Kirch masalasi) 
 
O‘lchamlari  chegaralanmagan, 
a
  radiusli  doiraviy  teshikka  ega  hamda 
x
0
  o‘qi 
bo‘ylab  tekis  taqsimlangan 
P
  cho‘zuvchi  kuch  ta’siri  ostidagi  plastinani  qaraymiz 
(chizma). 
Ushbu  plastinadan  fikran  etarli  darajada  katta  tashqi  b  radiusli 


a
b 
  xalqa 
ajratamiz.  Halqadan  tashqaridagi 
b
r 
kuchlanishlar,  amalda  teshiksiz  plastinadagi 
kabi bo‘ladilar, ya‘ni  
.
0
;
0
;






b
r
xy
b
r
yy
b
r
xx
P



 
Bu yerda qutb koordinatalariga o‘tib va bunda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a)                       y                            b) 
                                                                      
                  P                                                          


 
                      b                  P 
         3p                                                           
a
 
                               
yy

             x                  p 
                             
 
 
 
                                       

 
xx

 
a 
-p 
3p 

 
186 
 
 
 
 
 


;
2
cos
1
2
cos
2








P
xx
b
r
rr
 
.
2
sin
2
2
sin
2
);
2
cos
1
(
2
sin
2










P
P
xx
b
r
r
xx
b
r








 
   Bu kuchlanishlarni ajratilgan xalqa uchun tashqi yuklama deb qaraymiz. Bu 
yuklama ikki qismdan iborat bo‘ladi: 
   Birinchi  qismi  radial  yo‘nalishda  tekis  taqsimlangan  va  intensivligi 
2
P
  bo‘lgan 
yuklamaga  mos  keladi.  Bu  yuklama  ta’sirida  xalqa  nuqtalarida  yuzaga  keladigan 
kuchlanishlarni  Lame  yechimi  ko‘rinishida  olamiz.  Buning  uchun 
2
;
0
2
1
P
P
P


  deb 
hisoblash kerak. Natijada 
 
;
1
2
2
2
2
2
2
1










r
a
a
b
b
P
rr

 
 
 
.
0
;
1
2
1
2
2
2
2
2
1

















r
r
a
a
b
b
P
 
a
b 
ekanligini hisobga olsak, bu yerdan 
 
 
 
0
;
1
2
;
1
2
1
2
2
1
2
2
1
























r
rr
r
a
P
r
a
P
 
ga ega bo‘lamiz. 
Yuklamaning ikkinchi qismi: 








2
sin
2
;
2
cos
2
;
2
cos
2
P
P
P
b
r
r
b
r
b
r
rr








 
dan iborat bo‘ladi, tekis taqsimlangan emas va  


 



2
cos
,
r
f
r

 
kuchlanishlar funksiyasi yo‘rdamida hisoblash mumkin bo‘lgan kuchlanishlarni 
yuzaga keltiradi. 

 
187 
Kuchlanishlar funksiyasini bigarmonik tenglamaga qo‘yib quyidagi Eyler tipidagi 
oddiy differensial tenglamaga kelamiz: 
.
0
4
1
4
1
2
2
2
2
2
2


















f
r
dr
df
r
dr
f
d
r
dr
d
r
dr
d
 
Bu tenglamaning yechimini 
 

r
r
f

 
ko‘rinishida izlaymiz va ildizlari 
0
4
2
2
4
3
2
1









;
;
;
 
bo‘lgan 




0
4
4
2






 
xarakteristik tenglamagani olamiz. Demak,  tenglamaning umumiy yechimi 
 
4
4
3
2
2
2
1
C
r
C
r
C
r
C
r
f




             
 
 
  
ko‘rinishda bo‘lishi kerak. Kuchlanishlar uchun  
 
 
 
.
2
sin
2
6
6
2
;
2
cos
6
12
2
;
2
cos
4
6
2
2
4
4
2
2
3
1
2
4
2
2
3
1
2
2
4
4
2
1
2





































r
C
r
C
r
C
C
r
C
r
C
C
r
C
r
C
C
r
rr
       
 
 
 
Bu  yerdagi 
3
2
1
,
,
C
C
C
  va 
4
C
  o‘zgarmaslar    chegaraviy  shartlardan  hamda  teshikning 
cheti 


a
r 
 tashqi kuchlardan xoli ekanligi shartidan topiladi: 
;
2
2
6
6
2
;
2
4
6
2
2
4
4
2
2
3
1
2
4
4
2
1
P
b
C
b
C
b
C
C
P
b
C
b
C
C









 
.
0
2
6
6
2
;
0
4
6
2
2
4
4
2
2
3
1
2
4
4
2
1







a
C
a
C
a
C
C
a
C
a
C
C
 
Bu tengliklardan 


b
 bo‘lganda 
.
;
0
;
4
;
4
2
4
3
4
2
1
P
r
a
C
C
P
a
C
P
C






 
Topilgan  bu  qiymatlarni  hisobga  olib  doiraviy  teshikli  plastinadagi  kuchlanishlar 
uchun yakuniy formulalarni olamiz: 
 
 
;
2
cos
4
3
1
1
2
2
2
4
4
2
2
2
1























r
a
r
a
r
a
P
rr
rr
rr
 

 
188 
 
 
;
2
cos
3
1
1
2
4
4
2
2
2
1

























r
a
r
a
P
       
 
  
 
 
.
2
sin
2
3
1
2
2
2
4
4
2
1





















r
a
r
a
P
r
r
r
 
Ushbu yechim tarkibidagi 
2






r
a
 va 
4






r
a
qo‘shiluv- chilar teshikdan uzoqlashish bilan 
juda  tez  so‘nadilar.  Shuning  uchun,  teshikning  borligidan  yuzaga  kelgan  bir  jinsli 
kuchlanishlar  maydoni  qo‘zg‘alishlari  mahalliy  xarakterga  ega.  Bu  narsa 
0
0


  va 
0
90


 chiziqlari uchun keltirilgan 


 kuchlanish epyurasidan juda yaxshi ko‘rinadi. 
Dekart  koordinatalari  sistemasida  bu  mos  ravishda 
yy

  va 
хх

  kuchlanishlar  (a-
chizma) epyuralaridan iborat bo‘ladi. 
Teshikning 
a
r 
 chetida 


0
2
2
1










r
rr
P
;
cos
 
bo‘ladi. 


kuchlanishning  teshik  konturi  bo‘yicha  taqsimlanishi  b-chizmada 
tasvirlangan.  Bu  kuchlanishlar  eng  katta 
р
3



  qiymatga 
0
90


  va 
0
270


 
bo‘lganda erishadilar. 
Shunday  qilib,  plastinada  teshikning  mavjudligi  uning  chetlarida  kuchlarning 
birdaniga oshishiga yoki kuchlanishlar konsentratsiasiga olib keladi. 
Kuchlanishlar  konsentratsiyasi  konstruksialar  mustahkamligini  baholashda 
muhim  amaliy  ahamiyatga  ega.  Chunki  xuddi  kuchlanishlar  konsentratsiyasi 
joylarida yoriqlar paydo bo‘ladi va pirovardida konstruksianing buzilishi (yemirilishi) 
ga olib keladi. 
 
Elastiklik jism masalalarni qutb koordinatalar yordamida yechish. 
 
Quyidagi funksiya 
.
cos
1



Ar

 
Tekis elastiklik  masalasini  yechish  uchun  kuchlanish  funksiyasi sifatida qabul qilish 
mumkinmi? 
Agar mumkin bo’lmasa qanday shartda mumkin bo’ladi? 
Mumkin bo’lgan funksiyalarda kuchlanishlarni aniqlang. 
Yechish:    Berilgan  funksiyalar  kuchlanish  funksiyasi  bo’lishi  uchun  quyidagi 
tenglamani qanoatlantirishi kerak. 
0
2
2




 
bu yerda  





















2
2
2
2
2
2
1
1
r
r
r
r
 
shuning uchun berilgan funksiyalardan 

,
r
 bo’yicha іosila olamiz. 

 
189 


















cos
sin
2
cos
sin
sin
0
sin
cos
cos
2
2
2
2
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
r
Ar
Ar
A
r



















 
Bundan 

2

 ning tenglamasiga qo’ysak 


.
sin
2
cos
sin
2
cos
1
cos
sin
2
1
cos
1
2
2
1













r
A
r
A
r
A
A
r
Ar
Ar
r
A
r


















 
Bu funksiyadan 
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1





















r
r
r
r
 
ni topamiz bu esa 

2
2


 bo’ladi. Shuning uchun  
.
0
sin
2
sin
8
sin
4
sin
2
sin
4
cos
2
sin
2
3
3
3
1
2
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1








































r
A
r
A
r
A
r
A
r
A
r
r
A
r
A
r
 
Demak, bu funksiya kuchlanish funksiyasi bo’la oladi. Kuchlanish funksiyalari orqali 
kuchlanishlar quyidagi formulalar yordamida topiladi. 
































r
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
2
2
2
2
2
                                




0
sin
cos
1
0
cos
cos
sin
2
1
sin
1
2


































Ar
Ar
r
r
r
A
Ar
Ar
r
A
r
r
r
 
 
Mustaqil yechish uchun berilgan masalalar. 
Quyidagi  funksiya 

  tekis  elastiklik  masalasini  yechish  uchun  kuchlanish 
funksiyasi  sifatida  qabul  qilish  mumkinmi?  Agar  mumkin  bo’lmasa  qanday  shartda 
mumkin bo’ladi? Mumkin bo’lgan funksiyalarda kuchlanishlarni aniqlang. 
 

 
190 



























2
2
2
3
3
2
2
2
sin
)
9
sin
)
8
sin
)
7
sin
)
6
cos
)
5
cos
)
4
cos
)
3
cos
)
2
cos
)
1
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar









             
























2
cos
)
20
2
sin
)
19
)
18
)
17
)
16
2
sin
)
15
2
sin
)
14
2
sin
)
13
2
sin
)
12
2
sin
)
11
sin
)
10
4
4
4
4
2
2
2
A
Ar
Br
Ar
Ar
A
B
A
B
Ar
B
A
B
Ar
B
A
Br
Ar


















 
 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
4.Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
5.V.I. Samul «Osnovы teorii uprugosti i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 st. 
6.S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
8- AMALIYOT 
DARSI 
 
Asosiy tenglamalarning silindrik va sferik 
koordinatalardagi ko’rinishlari va ulargadoir masalalar. 
 
 
Asosiy tenglamalarning silindrik va sferik koordinatalardagi koorinishlari va ularga 
doir masalalar.mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1.Asosiy tenglamalarning silindrik   
koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 
2. Asosiy tenglamalarning sferik koordinatalar 
sistemasidagi ko‘rinishlari 
3. Masalalar. 
O’quv mashg’ulot maqsadi: Asosiy tenglamalarning silindrik va sferik 
koordinatalardagi koorinishlari va ularga doir masalalar yechish bilan tanishtirish  

 
191 
Pedagogik vazifalar: 
Asosiy  tenglamalarning  silindrik   
koordinatalar 
sistemasidagi 
ko‘rinishlari, 
Asosiy 
tenglamalarning 
sferik 
koordinatalar 
sistemasidagi 
ko‘rinishlarini 
o’rganish 
va 
masalalar eychish 
 
O’quv faoliyat natijalari: 
Asosiy 
tenglamalarning 
silindrik  
koordinatalar 
sistemasidagi 
ko‘rinishlari, 
Asosiy  tenglamalarning  sferik  koordinatalar 
sistemasidagi  ko‘rinishlarini  o’rganish  va 
masalalar  yechishhaqida  ma’lumotga  ega 
bo’ladi yechimlardan xulosalar chiqaradi 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Asosiy tenglamalarning silindrik va sferik koordinatalardagi koorinishlari va ularga 
doir masalalar  mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 

 
192 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar