Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

3. To‘plangan kuchning yarim tekislikkata’siri (Flaman masalasi) 
    Qalinligi  birga  teng  va  gorizontal  chegaradan  bir  tomonga  chegaralanmagan 
holda davom etuvchi plastina elastik yarim tekislik deyiladi. 
  Yarim tekislik chegarasiga perpendikulyar va qalinligi bo‘yicha 
tekis  taqsimlangan 
P
  yuk  ta’siri  ostida  umumlashgan  tekis 
kuchlangan  holat  yuzaga  keladi.  Xuddi  shunday,  elastik  yarim 
fazo  deganda,  fazoning  gorizontal  tekislikdan  bir  tomonga 
chegaralanmagan holda davom etuvchi qismi tushuniladi. 
    
 
      M    
                r 
  
O                       
                             
               
 
      


r
 
rr

 

 
 x
1
 
 a 
 x
2 
  b=1         P 
 
                                y 
 
 
                x 
         
                P 
               
 
  
 
      

 
180 
Elastik yarim fazoning chegarasida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab tekis 
tarqalgan  vertikal 
P
  yuk  ta’sirida  yarim  fazoda  tekis 
deformatsialangan  holat  yuzaga  keladi.  Lentali  fundamentning 
asosi shunga yaqin shartlarda ishlaydi. 
Yarim  tekislikda  ham,  yarim  fazoda  ham  yuklama 
yuqoridagidek  bo‘lganda 





r
rr
,
,
  kuchlanishlar  bir  xil 
aniqlanadi. Bu yerda farq shundan iborat bo‘ladiki, yarim fazoda 
zz

 normal kuchlanish yuzaga keladi, qaysiki u 
)
(
)
(










rr
yy
xx
zz
v
v
 
formula bilan hisoblanishlari mumkin. 
Qaralayotgan  masalaning  yechimini  ponaning  siqilishi  haqidagi  masalaning 
xususiy  holi  sifatida  olish  mumkin.  Buning  uchun    formulalarda 
0
90


  deb 
hisoblash  kifoya.  Natijada 





r
rr
,
,
  kuchlanishlar  uchun  quyidagi  ifodalarga  ega 
bo‘lamiz: 
.
0
;
0
;
cos
2











r
rr
r
P
 
Yarim  tekislikda  kuchlanishlar  taqsimotini  ko‘rgazmali 
tasavvur  qilish  uchun  fransuz  olimi  Bussinesk  quyidagi 
diagrammani taklif etdi (chizma). Tashqi 
P

 kuchi qo‘yilgan 0 
nuqta orqali ixtiyoriy 
D
  
diametrli  yarim  tekislik  chegarasiga  urinuvchi  aylanalar 
o‘tkazamiz.  
 
    Aylananing  ixtiyoriy 
)
,
(

r
A
  nuqtasida 
rr

  kuchlanish  ta’sir  etuvchi  bosh 
maydonchani tasvirlaymiz, va 
r
 o‘zgaruvchini 
D
 diametr orqali ifodalaymiz 

cos
D
r 
 
va  
rr

 kuchlanish uchun 
D
P
rr


2


 
formulaga ega bo‘lamiz. Bu yerdan aylananing hamma nuqtalarida 
rr

 kuchlanishlar 
bir  xil  ekanligi  ko‘rinadi.  Kuch  qo‘yilgan  nuqtada  yarim  tekislik  chegarasiga 
urinuvchi aylanalar to‘plami Bussinesk doiralari deb yuritiladi. 
Qurilish muhandisligi amaliyotida fundament-larni hisoblashda kuchlanishlarning 
fundament  asosidagi  vertikal  va  gorizontal  kesimlardagi  taqsimotini  bilish  zarur 
bo‘ladi.  Bu  kuchlanishlar  ifodalarini    formulalardan 
0
90


  bo‘lganda  hisoblab 
topamiz 
.
)
(
2
;
)
(
2
;
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
y
x
y
Px
y
x
Pxy
y
x
Px
xy
yy
xx















 
 
 
 
                      P 
                    
O 
                                    y 
        D                
                           A 
 
 
                      x  
           8.11-chizma. 
rr

 

 
 r 
y
0 
 y
0 
a)
xx

epyuralari                                  b)
yx

epyuralari 
                                  P                                                  P                
                            0      
 
         x
0
                                y      x
0
                     
0,207P/x
0
   y 
    
                                   
                                        
0
2
x
P

 

 
181 
 
                                              
 
 
 
                                                                                   
                                                                             
                                 
                                            
                                  
                    
 
 
 
 
 
 
 
 
Olingan)  formulalar  bo‘yicha  yarim  tekislikning  ixtiyoriy  nuqtasidagi  kuchlanishlar 
qiymatlari  topilishi  mumkin.  Bunga  faqat 
P

  kuch  qo‘yilgan  0  nuqtagina  kirmaydi. 
Bu nuqtada kuchlanishlar qiymatlari cheksizlikka intiladilar. 
Quyidagi    chizmalarda  ikki  gorizontal 
0
x
x 
  va 
0
2x
x 
  kesimlar  uchun 
xx

  va 
xy

 larning epyuralari tasvirlangan, c - chizmada esa ikkita vertikal 
0
y
y 
 va 
0
2 y
y 
 
kesimlarda 
yy

 normal kuchlanishlar epyuralari tasvirlangan. 
Normal 
xx

  kuchlanishlar 
P
  kuchining  tagida  eng  katta  qiymatga  ega  va  kuch 
qo‘yilgan  nuqtadan  uzoqlashgan  sari  kamayib  boradilar.  Urinma 
xy

  kuchlanishlar 
x
0   o‘qi  ustida  nolga  teng.  Ular 
x
0
  o‘qidan  biroz  masofada  o‘zlarining  eng  katta 
qiymatlariga erishadilar va keyin kamayadilar. Normal 
yy

 kuchlanishlarning vertikal 
yo‘nalishda o‘zgarish   
 
arakteri, 
xy

  kuchlanishning  gorizontal  yo‘na-lishda  o‘zgarish  xarakteriga  juda  ham 
o‘xshash. 
Olingan yechimni yarim tekislik 
b
y
a


 uchastkada taqsimlangan 
)
( y
q
 yuklama 
bilan yuklangan hol uchun yoyish mumkin. 
Buning  uchun  elementar 
dt
t
q
dP
)
(


t
(
  taqsimlangan  kuch 
ta’sir  qiluvchi 
]
,
[ b
a
  oraliqqa  tegishli  ya’ni, 
b
t
a


  bo‘lgan 
yordamchi  o‘zgaruvchi)  kuchning  ta’sirida  yarim  tekislik 
ixtiyoriy 
)
,
(
y
x
u
  nuqtasidagi 
xy
yy
xx
d
d
d



,
,
  kuchlanishlarni 
aniqlaymiz.  Qaralayotgan 
M
  nuqta 
dP
  kuchining  ta’sir 
chizig‘idan 
t
y 
 masofada yotishini hisobga olgan holda  
.
]
)
(
[
2
2
2
2
3
t
y
x
dt
qx
d
xx






 
Bu  ifodani 
t
  o‘zgaruvchi  bo‘yicha 
a
t 
  dan 
b
t 
gacha  integrallab,  taqsimlangan 
)
( y
q
 yuklama ta’siri natijasida  
xx

 kuchlanishni topamiz: 
                       dP=qdt                        
                               q(y) 
      
 O                                  y  
             t            dt 
                                     x 
                       y-t 
                  y              
                                     M 
     
         8.13-chizma. 
a
 
 b 
 x 
                 c)
yy

 epyura  
  
               P                                                           
 
                             
0,577y
0
            
      
                  
0,207P
/x
0
 
 
          
 
 

 
182 





b
xx
t
y
x
dt
t
q
x
0
2
2
2
3
.
]
)
(
[
)
(
2


 
Qolgan 
yy

  va 
xy

  kuchlanishlar  uchun  ifodalar  ham  yuqoridagiga  o‘xshash 
ko‘rinishga  ega.  Agar  yuklama  tekis  taqsimlangan  bo‘lsa,  ya’ni 
const
q 
  bo‘lsa, 
yy
xy
xx



,
,
 larni hisoblash formulalari tarkibiga kiruvchi integrallar oson hisoblanadi. 
Natijada, kuchlanishlar uchun quyidagi yakuniy formulalarga ega bo‘lamiz: 
;
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2




















x
b
y
arctg
x
a
y
arctg
b
y
x
b
y
x
a
y
x
a
y
x
q
xx


 
;
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2




















x
b
y
arctg
x
a
y
arctg
b
y
x
b
y
x
a
y
x
a
y
x
q
yy


 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2















b
y
x
b
y
a
y
x
a
y
q
xy


 
Ushbu formulalar 
const
q 
 bo‘lgan hol uchun yarim tekislik ixtiyoriy nuqtasidagi 
kuchlanganlik holatini aniqlashga imkon beradi. 
 
4. Ichki va tashqi tekis bosimlar  ta’siri ostidagi qalin devorli quvur  (Lame 
masalasi) 
 
Paragraf  nomida  keltirilgan  masalani  qarashdan  oldin 

  burchakka  nisbatan 
simmetrik  ravishda  taqsimlangan  kuchlanishlar  holatida  bigarmonik  tenglama  va 
uning yechimini topamiz. 
Agar  kuchlanishlar 

  burchakka  bog‘liq  bo‘lmasalar  jismdagi  kuchlanishlar 
taqsimoti  qutbga  nisbatan  simmetrik  bo‘ladi.  Bunday  kuchlanganlik  holati,  masalan, 
ichki  va  tashqi 
1
P
  va 
2
P
  bosimlar  bilan  yuklangan  o‘zgarmas  doiraviy  kesimli 
quvurda yuzaga keladi. 
Agar  buralish  haqidagi  masalalardan  boshqa  masalalarni  qaraydigan  bo‘lsak 
0



r
  deb  hisoblash  kerak.  Bu  holda 

  -  kuchlanishlar  funksiyasi  ham  qutb 
burchagidan  bog‘liq  bo‘lmaydi;  bigarmonik  tenglama  va  kuchlanishlar  uchun  
quyidagi ko‘rinishlarni oladilar: 
;
0
1
1
2
2
2
2



















dr
d
r
dr
d
dr
d
r
dr
d


 
2
2
;
1
dr
d
dr
d
r
rr







. 
0
1
1
2
3
2
2
2
3
3
4
2




dr
d
r
dr
d
r
dr
d
r
dr
d




 
ko‘rinishga keltiramiz. Bu o‘zgaruvchan koeffisiyentli oddiy differensial tenglama va 
u Eyler tipidagi tenglama deb yuritiladi. 

 
183 
O‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz. 
.
ln
;
r
t
e
r
t


 
U holda 
;
1
;
1
2
2
2
2
2















dt
d
dt
d
r
dr
d
dt
d
r
dr
dt
dt
d
dr
d






 
;
3
2
1
3
3
2
2
3
3
3











dt
d
dt
d
dt
d
r
dr
d




 
.
6
11
6
1
4
4
3
3
2
2
4
4
4











dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
r
dr
d





 
Topilgan  hosilalarni    qo‘yib  o‘zgarmas  koeffisiyentli  oddiy  differensial  tenglamaga 
ega bo‘lamiz: 
0
4
4
2
2
3
3
4
4



dt
d
dt
d
dt
d



. 
Bu tenglamaning yechimini 
t
e



 
ko‘rinishda izlaymiz va  
0
)
2
(
2
2




 
   xarakteristik tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama ildizlari 
2
;
0
4
3
2
1








, 
u holda umumiy yechim  
.
2
4
2
3
2
1
t
t
te
C
e
С
t
С
С





 
bo‘ladi. Bu yerda 
r
 o‘zgaruvchiga qaytsak kuchlanishlar funksiyasi uchun  
r
r
C
r
C
r
C
C
ln
ln
2
4
2
3
2
1





 
yechimga ega bo‘lamiz. 
Olingan yechimni  formulalarga qo‘yib kuchlanishlarni topamiz: 
.
0
;
2
)
ln
2
3
(
;
2
)
ln
2
1
(
1
3
4
2
2
3
4
2
2















r
rr
C
r
C
r
C
C
C
r
C
r
 
Endi  paragraf  nomida  keltirilgan  masalani  yechishga  o‘tamiz.  Buning  uchun 
avvalo uchlari erkin, yon sirtiga 
P
 tekis bosim ta’siri (chizma) ostidagi doiraviy  
tutash  silindrni  qaraymiz.  Bu  holda  yuqoridagi  formulalarda 
0
4
2

 C
C
 deb hisoblash zarur bo‘ladi, aks holda 
0

r
 bo‘lganda 
rr

 va 


 kuchlanishlar cheksizlikka intiladilar. Qolgan yagona 
3
C
  o‘zgarmas  esa  silindr  yon  sirtidagi  chegaraviy  shartdan 
aniqlanadi 
0

r
 da 
p
C
rr



3
2

  u holda 
p
rr






 
           
  
ya’ni silindrning hamma nuqtalarida kuchlanishlar bir xil bo‘ladi. 
Kuchlanishlarning bunday taqsimotida radial ko‘chish - 
)
(r
u
 ni aniqlaymiz: 
 
                                    P                                
              a                  
                  
                          
 
 
 
       8.14-chizma.                  
 O   r 
 a 

 
184 
p
E
v
v
E
r
u
rr






1
)
(
1





, 
bu yerdan 
E
pr
v
r
u
)
1
(
)
(


, 
ya’ni radial ko‘chishning 
r
 o‘zgaruvchidan bog‘liqligi chiziqli qonun bo‘yicha sodir 
bo‘ladi. 
Endi  ichki  va tashqi 
1
P
 va 
2
P
 tekis bosimlar ta’siridagi, 
devorlari  qalin  quvurni  qaraymiz.  Bunda  quvur  uchlarini 
erkin, ya’ni mahkamlanmagan deb hisoblaymiz. (chizma). Bu 
holda  formulalarga  kiruvchi  uchta 
3
2
1
,
,
C
C
C
  o‘zgarmas-larni 
aniqlash uchun faqat ikkita chegaraviy 
      
a
r 
 da  
;
1
P
rr



 
b
r 
 da 
2
p
rr



 
                                      shartlarga egamiz. 
Masalani  kuchlanishlarda  yechishda,  agar  jismning  ko‘ndalang  kesimi  ko‘p 
bog‘lamli  sohadan  iborat  bo‘lsa,  umumiy  yechimda  qatnashuvchi  ixtiyoriy 
o‘zgarmaslarni aniqlash uchun chegaraviy shartlar yetarli emasligi ko‘p manbalardan 
bizga  ma’lum.  Bunday  holda  chegaraviy  shartlarga  ko‘chishlarning  bir  qiymatliligi 
shartini  
qo‘yish  kerak  bo‘ladi.  Qaralayotgan  quvurning  ko‘ndalang  kesimi  ikki  bog‘lamli 
sohadan  iborat.  Shuning  uchun,  ko‘chishlarning  bir  qiymatliligini  ta’minlash 
maqsadida,  tekis  kuchlangan  holat  uchun  Guk  qonunining  formulalariga    geometrik 
munosabatlarni qo‘yamiz va quyidagi ikki tenglamaga ega bo‘lamiz: 
);
(
1




v
E
dr
du
rr
rr



 
).
(
1
rr
v
E
r
u








 
 
 
 
 
ulardan birinchisini integrallaymiz: 


.
)
ln
)(
1
(
2
)
3
1
(
1
2
1
1
5
4
3
2
C
r
r
r
v
r
v
E
C
r
E
v
C
r
E
v
C
u














 
ikkinchi tenglamasidan  


.
ln
)
1
(
2
)
3
(
1
2
1
1
4
3
2
r
v
r
v
E
C
r
E
v
C
r
E
v
C
u











 
Olingan bu ikki ifodani taqqoslab, ular teng bo‘lishlari uchun 
0
5
4

 С
С
 
bo‘lishi kerakligini topamiz. Buni hisobga olsak 
 
                               P
2 
 
                     
 
 
 
 
 
       8.15-chizma. 
a 
O 
 b 
 r 
 P
1
 

 
185 
.
2
1
;
2
1
;
1
1
1
2
3
2
2
3
2
2
2
3
C
C
r
C
C
r
r
E
v
C
r
E
v
С
u
rr













 
Endi chegaraviy shartlarni qanoatlantirib 
2
C
 va 
3
C
 o‘zgarmaslarni topamiz 




.
;
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
1
2
2
2
a
b
b
P
a
P
C
a
b
b
a
P
P
C






     
 
    
Olingan (8.46) va (8.48) natijalarni (8.47) formulalarga qo‘yib, radial ko‘chishlar va 
kuchlanishlar uchun yakuniy formulalarga ega bo‘lamiz: 
 












;
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
E
a
b
r
v
b
a
P
P
r
E
a
b
v
b
P
a
P
r
u








 




























.
;
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
a
b
b
P
a
P
r
a
b
b
a
P
P
a
b
b
P
a
P
r
a
b
b
a
P
P
rr



 
Oxirgi ikki formulani qo‘shsak 
const
a
b
b
P
a
P
rr





2
2
2
2
2
1
2



. 
Shunday qilib, quvurning hamma nuqtalarida normal kuchlanishlarning yig‘indisi bir 
xil bo‘ladi.