Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

M 

d
P
n
 

d
P
nn
 


d
P
n
 
n

 


 
1 - расм 
2 - расм 

 
112 
 











33
32
31
23
22
21
13
12
11
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
   
  
    (6) 
 
Ichki  harakat  miqdori  momentlar  va  juftlar 
mavjud  bo’lmagan  holda  kuchlanish  tenzori 
simmetrik  bo’ladi  va 
33
22
11
,
,
P
P
P
  lar 
3
2
1
,
,
x
x
x
 
koordinata  o’qlariga  perpendikulyar  yuzalardagi 
normal  kuchlanishlar, 
32
23
31
13
21
12
,
,
P
P
P
P
P
P



    
esa urinma kuchlanishlar deyiladi.  
 
0
33
32
31
23
22
21
13
12
11







P
P
P
P
P
P
P
P
P
                                       
(7) 
Tenglama  yechimlari  kuchlanish  tenzorining  bosh  qiymatlari    deyiladi.  Bosh 
qiymatlarga mos bosh yo’nalishlar esa quyidagi tenglamalardan topiladi 
 






1
0
0
0
2
3
2
2
2
1
3
33
2
32
1
31
3
23
2
22
1
21
3
13
2
12
1
11















n
n
n
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P



  
 
 
 
(8) 
  
 
 
Masala  Jismning 
M
 nuqtasida 
P
 kuchlanish tenzori berilgan 
z
y
x
,
,
 
koordinata o’qlarini koordinata boshidan mos ravishda 
c
b
a
,
,
masofalarda kesib 
o’tuvchi yuzada kuchlanish vektorini, normal va urinma kuchlanishlarni, shuningdek 
kuchlanish tenzorining bosh qiymatlari va  unga mos bosh yo’nalishlarini toping.     













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,        
2
,
6
,
4



c
b
a
 
Yechish   Analitik geometriya kursidan ma’lumki, 
koordinata  o’qlarini  kesib  o’tuvchi  tekislik  tenglamasi  
quyidagi ko’rinishda bo’ladi 
1



c
z
b
y
a
x
 
Ushbu tenglamaga berilganlarni qo’yib, uni kanonik ko’rinishga keltiramiz 
0
12
-
6z
2y
x
3



 
Ko’rinib  turibdiki  berilgan  tekislikka 


3,2,6
N

vektor  perpendikulyar  bo’ladi.  Unga 
mos birlik vektori quyidagicha aniqlanadi 







N
N
N
N
N
N
n
3
2
1
,
,

 
x
 
n
P

 
z
 
c
 
b
 
a
 
y
 
M
 

 
113 
va demak 







7
6
,
7
2
,
7
3
n

 
 
Endi (3) formulalar yordamida kuchlanish vektori komponentalarini topamiz 
.
7
6
7
6
.
1
7
2
.
0
7
3
.
0
,
7
3
7
6
.
0
7
2
.
3
7
3
.
1
,
1
7
6
.
0
7
2
.
1
7
3
.
3
P
3
2
n1













n
n
P
P
 







7
6
,
7
3
,
1
n
P

 
(4) va (5) formulalarga ko’ra normal va urinma kuchlanishlarni topamiz 
 
7
9
7
6
7
2
7
3
1
0
0
0
3
1
0
1
3
7
6
,
7
2
,
7
3




































nn
P
        
7
13
7
9
7
6
7
3
1
2
1
2
2
2
2
































n
P
 
(7) formula yordamida berilgan kuchlanish tenzorining bosh qiymatlarini  
topamiz 
 
0
1
0
0
0
3
1
0
1
3









 
Bu tenglama yechimlari     
4
,
2
,
1
3
2
1






 
Topilgan bosh qiymatlarga mos bosh yo’nalishlar (o’qlar) ni topamiz 
1
1


  uchun 
 


1
,
0
,
0
1
0
2
0
n
2
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
















n
n
n
n
n
n
n

 
2
2


 uchun 
 





























0
,
2
2
,
2
2
1
0
0
0
n
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n

 
 
4
3


 uchun 
 




























0
,
2
2
,
2
2
1
0
3
0
0
n
-
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
1


n
n
n
n
n
n
n
n
 
 
Mustaqil yechish uchun masalalar 

 
114 
 
  Tutash  muhitning 
M
  nuqtasida 
P
  kuchlanish  tenzori  berilgan 
z
y
x
,
,
  koordinata 
o’qlarini koordinata boshidan mos ravishda 
c
b
a
,
,
masofalarda kesib o’tuvchi yuzada 
kuchlanish  vektorini,  normal  va  urinma  kuchlanishlarni,  shuningdek  kuchlanish 
tenzorining bosh qiymatlari va  unga mos bosh yo’nalishlarini toping. 
1. 













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,   
2
,
6
,
4



c
b
a
 
   2. 
 
 
 
 













3
0
0
0
1
3
0
3
1
P
,   
2
,
3
,
3



c
b
a
 
 
3. 











1
0
1
0
3
0
1
0
3
P
,   
2
,
3
,
4




c
b
a
 
  4.     











1
0
0
0
2
1
0
1
2
P
,   
2
,
4
,
5



c
b
a
 
5. 











3
1
0
1
3
0
0
0
1
P
,   
3
,
4
,
4



c
b
a
     
   6.     













2
1
0
1
3
1
0
1
2
P
,   
1
,
1
,
4



c
b
a
 
7. 











2
0
1
0
2
1
1
1
2
P
,   
4
,
4
,
4



c
b
a
 
   8. 
 
 
 
 














1
0
2
0
5
0
2
0
1
P
,   
5
,
5
,
3



c
b
a
 
9. 















2
0
2
0
0
1
2
1
2
P
,  
2
,
3
,
3



c
b
a
     10.     











0
1
1
1
0
1
1
1
0
P
,   
2
,
4
,
2



c
b
a
 
11. 











2
0
2
0
2
1
2
1
2
P
,   
2
,
6
,
4



c
b
a
 
   12. 
 
 
 
 











1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,   
2
,
6
,
4





c
b
a
 
13. 













2
0
1
0
2
1
1
1
3
P
,   
2
,
6
,
4



c
b
a
     14. 
 
 
 
 













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,   
2
,
6
,
4



c
b
a
 
15. 













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
, 
2
,
6
,
4





c
b
a
 
 
 
16. 
 
 

















0
2
1
2
0
1
1
1
3
P
, 
2
,
6
,
3





c
b
a
 
17.














8
12
0
12
6
0
0
0
5
P
, 
1
,
6
,
1





c
b
a
 
 
18. 
 
 













8
1
0
1
0
3
0
3
3
P
,   
2
,
6
,
4




c
b
a
 
19. 











3
4
0
4
3
2
0
2
3
P
,   
2
,
6
,
4



c
b
a
 
   20. 
 













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,   
2
,
6
,
3





c
b
a
 

 
115 
21. 













0
0
2
0
2
5
2
5
3
P
,   
4
,
4
,
4




c
b
a
  22.   













8
0
0
0
4
1
0
1
1
P
,   
1
,
1
,
1



c
b
a
 
23. 











4
0
4
0
4
1
4
1
4
P
,      
2
,
3
,
4




c
b
a
     24.   











1
0
1
0
3
0
1
0
3
P
,   
2
,
1
,
4




c
b
a
 
25. 














1
1
0
1
3
1
0
1
1
P
,  
1
,
1
,
1





c
b
a
   26.  











5
0
0
0
5
1
0
1
5
P
,   
2
,
8
,
4



c
b
a
 
27 











1
0
0
0
5
1
0
1
3
P
,    
2
,
2
,
2




c
b
a
    28    











5
0
1
0
1
1
1
1
7
P
,    
1
,
1
,
3



c
b
a
 
 
2. Jismning berilgan nuqtasidagi kuchlanishlarni topishga doir masala. 
 
Jismning nuqtasida quyidagi kuchlanishlar simtemasi berilgan. 
2
2
/
1100
0
/
500
см
кг
cм
кг
z
y
x






 
2
2
2
/
800
/
300
/
300
см
кг
см
кг
см
кг
zx
yz
xy








 
Tashqi  normali 

  bo’lgan  yuzaning  yo’naltiruvchi                                kosinuslari  mos 
koordinatalar  xolida  o’zaro  teng  bo’lsin.  To’la,  normal    va  o’rinma  kuchlanishlarini 
aniqlang? 
Yechish: 
 Demak  masala  shartiga  asosan  l  =  m  =  n  bo’ladi.  Berilgan 
nuqtadan  o’tuvchi  yuzaning  to’la    kuchlanishi  x,  y,  z  koordinata    o’qlariga  nisbatan 
proyeksiyasilari quyidagi formulalar yordamida topiladi. 
n
m
l
P
xz
xy
xx
x







 
n
l
P
yz
yy
yz
y







 
n
m
l
P
zz
zy
zx
z







 
2
2
2



z
y
xy
P
P
P
P



 
Shu yuzadagi normal va o’rinma kuchlanishlar quyidagicha  aniqlanadi. 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






















P
nl
mn
l
n
m
l
zx
yz
m
xy
z
y
x
 
Yuqoridagi yozilgan formulalardan foydalansak to’la kuchlanish proyeksiyalari uchun    

 
116 
0
1100
300
800
0
300
0
300
0
800
300
500






















l
l
l
n
m
l
P
l
l
l
m
l
P
l
l
l
n
m
l
P
zz
zy
zx
z
yz
yy
yx
y
xz
xy
x
x












 
qiymatlarini olamiz normal kuchlanish va to’la kuchlanish esa 
0
0
1600
600
600
1100
0
500
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2






























z
y
x
zx
yz
xy
zz
yy
xx
P
P
P
P
l
l
l
l
l
l
nl
mn
lm
n
m
l
 
qiymatlariga ega bo’lib, u іolda  o’rinma kuchlanish bo’ladi 
0
2
2
2








P
 
Demak berilgan nuqta  joylashgan  yuzalar kuchlanishlardan іoli bo’ladi. 
   
 
Mustaqil yechish  uchun berilgan masalalar. 
Jismning  berilgan  nuqtasida    kuchlanishlar    sistemasi    berilgan  bo’lsin  (jadvalda 
berilgan). 
Tashqi  normali 

  bo’lgan  yuzaning    yo’naltiruvchi    kosinuslari  mos 
koordinatalar  o’kida  o’zaro  teng  bo’lsa,  to’la,  normal  va    o’rinma  kuchlanishlarini 
aniqlang (kuchlanishlarni o’lchov birligi  kg/sm
2
 bilan berilgan)  
№ 
XX

 
yy

 
zz

 
xy

 
yz

 
zx

 
1 
500 
400 
0 
300 
-500 
-200 
2 
400 
200 
300 
-400 
-200 
0 
3 
800 
0 
-200 
150 
-150 
0 
4 
0 
600 
200 
-250 
-150 
0 
5 
800 
0 
0 
-150 
0 
-250 
6 
0 
200 
400 
0 
-150 
-150 
7 
400 
500 
-300 
-600 
0 
0 
8 
0 
0 
-800 
200 
0 
200 
9 
300 
200 
0 
-100 
-150 
-0 
10 
250 
350 
0 
-150 
-100 
0 
11 
150 
250 
0 
-100 
0 
-100 
12 
200 
300 
100 
0 
-200 
-150 
13 
0 
200 
0 
150 
200 
0 
14 
800 
1200 
0 
-150 
-200 
0 
15 
200 
100 
0 
-150 
0 
0 
16 
0 
100 
200 
0 
-150 
0 
17 
200 
100 
0 
0 
0 
-150 
18 
150 
200 
0 
0 
-350 
0 
19 
0 
0 
500 
0 
0 
-500 
20 
100 
200 
0 
0 
-300 
0