Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
Klapeyron, Kastilyano va Betti   formulalari. 
 
Chiziqli-elastik  jism  uchun 
)
(
ij
W

  elastik  potensial  deformatsiya  tenzorining 
ij
  
komponentalariga  nisbatan  ikkinchi  tartibli  bir  jinsli  funksiya  bo‘lganligidan  bir  jinsli  funksiyalar 
haqidagi Eyler formulasiga ko‘ra: 
ij
ij
д
дW
W



2
 
yoki (4.29) Guk formulasiga asosan 
ij
ij
W



2
   
 
 
 
 
 
(4.59) 
Klapeyron  formulasiga  ega  bo‘lamiz.  U  holda  chiziqli  -  elastik  jism  uchun  (4.32)  ga  va 
Klapeyron formulasiga asosan 
,
)
(
W
W
A
ij
ij
ij
ij
ij









2
1
 
ya‘ni, jism chiziqli-elastik bo‘lsa, 
)
(
ij
A

 - qo‘shimcha ish va 
W  - elastik potensialning kattaliklari 
teng bo‘ladi: 
W
A 
 
Demak. Chiziqli-elastik  jism uchun elastik potensialni kuchlanish tenzori 
ij
  komponentalarining 
ikkinchi tartibli funksiyasi sifatida tasvirlash mumkin. Shuning uchun (4.34) formulaga asosan  

 
91
,
ij
ij
ij
д
дW
д
дA





 ya‘ni  
ij
ij
д
дW

 
  
 
 
 
(4.60) 
olingan (4.60) formula Kastilyano formulasi deyiladi. 
Ta’kidlash lozimki, (4.29) - Guk formulasi va (4.34) formulalar ixtiyoriy elastik jismlar uchun 
o‘rinli  bo‘lgan  holda,  Kastilyano  formulasi  faqat Guk qonuniga  bo‘ysunuvchi chiziqli-elastik  jism 
uchungina o‘rinlidir. 
Bitta  chiziqli-elastik  jismning  ikki  xil  kuchlangan-deformatsiyalangan  holatini  qaraymiz. 
Faraz qilaylik, uning birinchi holati 
)
(
ij

 va 
)
(
ij

 tenzorlari bilan, ikkinchi holat 
)
''
(
ij

 va 
)
''
(
ij

 
tenzorlari bilan aniqlansin. Ikkala holat ham Guk qonunini qanoatlantirishlari kerak, ya’ni 
 




k
ijk
k
ijk
C
C
''
''
,
'
'
ij
ij






 
 
 
 
 
 
(4.61) 
Bu  yerda  har  ikkala  holat  uchun  ham 
)
(

ijk
C
  -  elastik  o‘zgarmaslar  tenzori,  jism  bitta  bo‘lgani 
uchun, bir xil bo‘ladi. 
Endi (4.61) ning 1 tenglamasini 
''
kj
  ga 2 tenglamasini 
'
kj
  ga ko‘paytiramiz: 
 
,
'
''
'
''
,
''
'
''
'




k
ij
ijk
ij
ij
ij
k
ijk
ij
ij
C
C














 
 
 
 
 
 
(4.62) 
lekin 
 
,
''
''
'
''


k
ij
ijk
ij
ij
C






 
 
 
 
 
 
(4.63) 
ga ega bo‘lamiz. (4.62) tengliklarning chap tomonlari bir xil bo‘lganliklari uchun 
 
 
ij
ij
ij
ij
'
''
''
'





 
 
 
 
 
 
 
 
(4.64) 
Betti formulasini olamiz. 
Betti  formulasiga  ko‘ra  umumlashgan  Guk  qonuniga  bo‘ysunuvchi  qattiq  jismning  biror 
nuqtasida vujudga keladigan ikki xil kuchlangan-deformatsiyalangan holatida, bir holat kuchlanish 
tenzori komponentalari bilan ikkinchi holat deformatsiya tenzori komponentalari ko‘paytmalarining 
yig‘indilari o‘zaro tengdir. 
Yuqorida  ko‘rdikki,  agar  jism  chiziqli-elastik  bo‘lsa,  deformatsiyaning 
)
(
ij
W

-  solishtirma 
potensial  energiyasi  va 
)
(
ij
A

- solishtirma qo‘shimcha  ishi  bir-birlariga kattalik  jihatidan tengdir. 
Ammo bu holatni baribir ham farqlash foydalidir. 
Klapeyron formulasidan 
ij
ij
W


2
1

 
bu yerdagi 
ij
  lar o‘rniga ularning (4.49) ifodalarini qo‘yamiz 
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
W









2
2
1
)
2
(
2
1
)
(




 
yoki  






ii
ij
ij
 bo‘lganligidan 
)
2
(
2
1
)
(
2
ij
ij
ij
W






.   
 
 
 
 
(4.65) 
Endi  yuqoridagi  formulada 
ij
   larni  emas,  balki 
ij
   larni  o‘zlarining  (4.57)  ifodalari  bilan 
almashtiramiz  va  deformatsiyaning  solishtirma  ishini  kuchlanish  tenzorining 
ij
   komponentalari 
funksiyasi sifatida ifodalaymiz 







ij
ij
ij
ij
v
v
E
A




)
1
(
1
2
1
)
(






ij
ij
ij
v
v
E



)
1
(
2
1
. 
Lekin 


ij
ij


bo‘lganligidan 






2
)
1
(
2
1
)
(
v
v
E
A
ij
ij
ij



      
 
 
 
 
  (4.66) 
ifodaga ega bo‘lamiz. 

 
92
Yana bir marta, chiziqli-elastik jism uchun deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasi 
- (4.65) va solishtirma qo‘shimcha ishi - (4.66) bir-birlariga teng. 
 
Nazorat savollari? 
1.  Elastik simmetriya turlarini ayting?. 
2. Bir jinsli izotrop jism  deb qanday xuxusiyatli jismlarga aytiladi? 
3.Umumlashgan Guk qonuni qandayifodalanadi?. 
4.   Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari qaysilar.  
5. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalarini ayting? 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
93
7-MAVZU 
« Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik 
nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame 
tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber 
shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari.» 
 
7.1.  «Elastiklik  nazariyasining  asosiy  tenglamalari.  Elastiklik  nazariyasining  asosiy  masalalari. 
Lame  tenglamalari.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-Neyber 
shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari» mavzusining texnologik modeli 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni:  50 ta 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Ma’ruza rejasi 
1.Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari.  
2.Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. 
3. Lame tenglamalari. 
4.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-
Neyber shaklida tasvirlash.  
5. Beltrami-Mitchell tenglamalari. 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Elastiklik  nazariyasining  asosiy  tenglamalari.  Elastiklik 
nazariyasining  asosiy  masalalari.  Lame  tenglamalari.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi 
ko’chish  vektorini  Papkovich-Neyber  shaklida  tasvirlash.  Beltrami-Mitchell  tenglamalari  haqida 
tushuncha berish. 
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Elastiklik  nazariyasining  asosiy  tenglamalari. 
Elastiklik  nazariyasining  asosiy  masalalari 
bilan tanishtirish 
Elastiklik nazariyasi masalalarini qoyilishi bilan 
tanishadi 
Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini 
qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini 
Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. 
Elastiklik nazariyasi masalalarini ko’shishlar orqali 
yechadi. 
Beltrami-Mitchell tenglamalari haqida 
tushuncha berish. 
Elastiklik nazariyasi masalalarini kuchlanishlar 
orqali yechish ko’nikmasiga ega bo’ladi 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash    usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
94
7.2.  «  Elastiklik  nazariyasining  asosiy  tenglamalari.  Elastiklik  nazariyasining  asosiy  masalalari. 
Lame  tenglamalari.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-Neyber 
shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari» mavzusining texnologik xaritasi  
 
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.22.  O’quv 
mashg’uloti 
mavzusi, 
 
rejasi, 
pedagogning  vazifasi  va  talabaning  o’quv  faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.23.  Baxolash mezonlari  (1 – ilova). 
1.24.  Mavzuni  jonlashtirish  uchun  «Blis-so’rov» 
savollarini    beradi.    Blis-so’rov  usulida  natijasiga 
ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato 
qilishlari 
mumkinligining 
tashxizini 
amalga 
oshiradi (2-ilova). 
1.25.  Texnika-insert  usulida 
mavzu 
bo’yicha 
ma’lum  bo’lgan  tushunchalarni    faollashtiradi.    (3-
ilova ). 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, savollar 
beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha   
tushuncha beradi. (4 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Javob beradilar 
 
Yozadilar. 
 
UMKga qaraydilar 
 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovchi 
(10 min) 
d.   Mashg’ulot  bo’yicha  yakunlovchi  xulosalar 
qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan  bilimlarni  qayerda 
ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish 
uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish 
uchun savollar beradi. 
 
 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib oladilar 
 
 

 
95
Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame 
tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida 
tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari. 
 
Reja: 
1.Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari.  
2.Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. 
3. Lame tenglamalari. 
4.  Lame  tenglamalarini  qanoatlantiruvchi  ko’chish  vektorini  Papkovich-Neyber  shaklida 
tasvirlash.  
5. Beltrami-Mitchell tenglamalari 
Adabiyotlar: 1, 2, 3, 4 
 
Tayanch iboralar: 
Muvozanat  tenglamalari,  geometrik,  statik,  fizik  tenglamalar,  sirt  shartlari,  Lame 
tenglamalari, Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida 
tasvirlash, Beltrami-Mitchell tenglamalari 
1-ilova 
Baholash mezoni: 
 
Har bir savol javobiga                - 2 ball 
 
Har bir qo’shimcha fikrga              - 2 ball 
 
Har bir javoni to’ldirishiga      - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Chegaraviy shart 
 
2. 
Koshi munosabatlari 
 
3. 
Sen Venan tenglamalari 
 
4. 
Umumlashgan Guk qonuni 
 
5. 
Muvozanat shartlari 
 
6. 
Nyutonning ikkinchi qonuni 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari 
 
 
1.  Og’ma yuzachada kuchlanish qanday beriladi? 
2.  Koshishlar va deformasiyalar orasida qanday bog’lanish mavjud? 
3.  Deformasiyalar va kuchlanishlar qanday bog’langan yoki 
aksincha? 
4.  Muvozanat tenglamalari deganda nimani tushunasiz? 
5.  Harakat tenglamalari va muvozanat tenglamalari qanday 
farqlanadi? 
6.  Deformasiyalarning uzviylik tenglamalari nimani ifodalaydi? 
 

 
96
Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
 
.                  
 
4-ilova 
 
Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari 
 
O‘tgan boblarda elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari chiqarildi. Bu tenglamalar yopiq 
sistemani  tashkil  etadi  va  jismga  ta’sir  etgan  tashqi  kuchlarni  hisobga  olgan  holda  uning 
kuchlangan-deformatsiyalangan  holatini  aniqlashga  imkon  beradi.  Bu  tenglamalarni  uch  turga 
bo‘ladilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 
1
0
. Geometrik tenglamalar. 
 Elastik 
jismning 
deformatsiyalangan 
holati 
deformatsiya 
tenzori 
)
(
k
ij
ij
x



 
komponentalari,  yoki 
)
(
k
i
i
x
u
u 
  ko‘chishlar  bilan  to‘lqin  aniqlanadi.  Deformatsiya  tenzori 
komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: 
 
)
(
2
1
,
,
i
j
j
i
ij
u
u



 
 
 
 
 
 
 
 
(5.1) 
hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: 
 
.
0
,
,
,
,








i
jk
jk
i
ik
j
j
ik




        
 
 
 
 
(5.2) 
Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsiyalarning uz-viylik  tenglamasi deb ham yuritiladi. 
2
0
. Statik (dinamik) tenglamalar. 
     Elastik jismning kuchlanganlik holati kuch- lanish tenzorining 
)
(
k
ij
ij
x



 oltita komponentasi 
bilan  to‘liq  aniqlanadi.  Ushbu  komponentalar  uchta  muvozanat  differensial  tenglamalarini 
qanoatlantirishlari kerak: 
 
0
,


i
j
ij
f


. 
 
 
 
 
 
 
 
(5.3) 
Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat 
differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: 
 
2
2
,
дt
u
д
f
i
i
j
ij





.   
 
 
 
 
 
(5.4) 
Ushbu (5.3) - tenglamalar statik, (5.4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 
3
0
. Fizik tenglamalar. 
 
Kuchlanish tenzorining 
ij
  komponentalari deformatsiya tenzorining 
ij
  komponentalari bilan 
Guk qonuni vositasida bog‘langan  
ij
ij
ij





2


   
 
 
 
 
 
(5.5)  
yoki 
i
u  ko‘chish komponentalari bilan 
 
)
(
,
,
i
j
j
i
ij
ij
u
u







 
  
 
 
 
 
  (5.6) 
ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda 
u
div
u
i
i
ii




,


. 
 
Ba’zi  hollarda  Guk  qonunini  (5.5)  ga  teskari  shaklda,  ya’ni 
ij
   larga  nisbatan  yechilgan 
ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: 
 






ij
ij
ij
v
v
E



)
1
(
1
, 
   
 
 
 
 
(5.7) 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
-- - olgan bilimiga qarama-qarshi 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 
 
) 

 
97
bu yerda: 
.
33
22
11









ii
 
 
Yuqorida  sanab  o‘tilgan  (5.1)    (5.3),  (5.5),  (5.7)  formulalar  elastiklik  nazariyasi  statik 
masalalarining  asosiy  tenglamalari  deb  yuritiladi.  Elastiklik  nazariyasi  dinamik  masalalarining 
asosiy tenglamalari deb (5.1)  (5.2), (5.4)  (5.5) va (5.7) tenglamalarga aytiladi. 
 
 Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari 
 
Chiziqli-elastik  jismning  holatini  uning 
V   hajmining  ichki  nuqtalarida  aniqlovchi  asosiy 
tenglamalarga uning 
S  sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi 
va ular tashqi berilgan 
i
F  sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan 
S
i
u
 ko‘chishlari 
bilan aniqlanadi. 
Chegaraviy  shartlarning  berilishiga  qarab  elastiklik  nazariyasining  uch  asosiy  masalalarini 
bir-biridan farqlaydilar. 
1
0
. Birinchi tur asosiy masala. 
Birinchi tur asosiy masalada 
i
f  massaviy va 
i
F  sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda 
jism  egallagan 
V   hajmning  ichki  nuqtalarida  kuchlanish  tenzori  komponentalari 
)
(
k
ij
x

  larni 
hamda 
V   -  hajmning  ichki  nuqtalari  va  jism  S   sirti  nuqtalarida  ko‘chish  vektorining 
)
(
k
i
x
u
 
komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar:  
i
s
j
ij
F
n


   
 
 
 
 
 
 
(5.8) 
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda 
i
F  - sirt kuchi 
F

 ning komponentalari; 
S
n
j

 sirtning qaralayotgan 
nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik 
n

 vektori komponentalari. 
Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita  
ij
  kuchlanishlar va uchta 
i
u  ko‘chishlar) 
(5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak.