Amaliy ish Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi vektorlar fazosida akslantirishga Bajardi: 052-21 guruh talabasi usmonov aziz


Download 271.58 Kb.
bet2/7
Sana03.01.2023
Hajmi271.58 Kb.
#1076604
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
M7

ai1 1 + ai 2 2 + L + ain n = bi ,

i =1, 2,...,m (2)




ega bo‘lamiz.

















































Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:










a11










a12







a1n




b1













a




+




a




+ L +

a




b













21










22







2 n




=

2

, i =1,2,...,m




1




M




2




M







n

M




M
































































am1










am 2







amn




bm




(3)




Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.


Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,


r (A ) = r (A B)



  1. (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular (A B) (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin.

Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:






a11







a12







a1r

b1










a




+

a




+ L +

a




b










21







22







2 r

=

2







1




M




2

M




rM




M




















































am1







am 2







amr

bm







munosabatni qanoatlantiruvchi 1 , 2 ,..., r lar

mavjudligini bildiradi. Oxirgi

munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent:










ai1 1 + ai 2 2 + L + air r = bi ,

i =1, 2,...,m




Agar (1) tenglamalar sistemasiga










x1 = 1 ,x2 = 2 ,...,xr

= r ,xr +1 = 0 ,...,xn

= 0, (4)

qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi

(2)

ga aylanadi.

Bundan

noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.


Kroneker - Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar
sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan (A B)

matritsasining ranglari teng. r = r (A ) = r ( A B) qiymatni berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga


mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.


Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.




2-teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent.

x1 ,..., xr

Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin.


Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:
ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn = bi , i =1, 2,...,r (5)

bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun





  1. tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.

O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni r n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.


Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:



  1. r = n ;

r = n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.
Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X = Bb . Bunda Ab bazis minorga mos
matritsa. det( Ab ) 0 bo‘lganligi sababli, Ab1 mavjud va



    1. = EX = Ab1 Ab X = Ab1 ( Ab X ) = Ab1B

tenglik yagona yechimni ifodalaydi.





  1. r n bo‘lsin. Tenglamalarda x1 , x2 ,..., xr bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:



ai1 x1 + ai 2 x2 + L + air xr = bi air +1 xr +1 L ain xn . (5)

ko‘rinishni oladi.


Agar erki xr , xr +1 ,..., xn noma’lumlarga biror r +1,..., n sonli qiymatlarni bersak,

u holda o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu


sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.




Izoh: Shunday qilib:
1). rangA rangA bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;



2). rangA = rangA = r = n

ega;
3). rangA = rang A = r n yechimga ega.


bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga


bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p





Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.


6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.






































































Xom ashyo

Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari

Xom ashyo










turlari

zahirasi



































































A




B

C














































1

5




12

7




2000








































2

10




6

8




1660








































3

9




11

4




2070





































Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.





Download 271.58 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling