Amaliy ish Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi vektorlar fazosida akslantirishga Bajardi: 052-21 guruh talabasi usmonov aziz

Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda


^x1 ^{, x}2 ^{, x}3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun ^5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni

ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda ^12x2 , ^{7 x}3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:

5 x₁ + 12 x₂ + 7 x₃ = 2000 _.

Yuqoridagiga oʻxshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun

10 x₁ + 6 x₂ + 8 x₃ =1660,

9 x₁ + 11x₂ + 4 x₃ = 2070

tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:

5x₁ + 12x₂ + 7x₃ = 2000, 10x + 6x + 8x =1660,

3.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli. Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan
Kramer (determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga ⁿ ta noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

	a11 x1 + a12 x2 + ......			+ a1 n x n = b1
						= b2
	^a21 ^x1 + ^a 22 ^x2 + ^..... + ^a 2 n ^xn
	...............................................
	a	x + a	x + ..... + a		x = b		(6)
		n1 1	n 2 2		nn n	n
Buyerda	^x1 ^, ^x2 ^,..., ^xn ^−noma’lumlar,					^a11 ^, ^a12 ^,..., ^ann ^− koeffitsientlar,

^b1 ^{, b}2 ^,...,bn ⁻_{ozod sonlar.}

Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .

0 , x =

x

, x

=

x

, ..., x

=

x

1

2

n

1

2

n

(7)

Bu Kramer

formulasidan

iborat.

Bu

yerda^0

ga

bosh determinant,

^x1 ^{, x}2 ^{, x}3 ^{,..., x}n larga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:

a11 x + a12 y + a13 z = b1
^a21 ^x + ^a22 ^y + ^a23 ^z = ^b2
a x + a y + a z = b					(8) (1.4.3)
	31	32	33	3

uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh (asosiy) determinant

=
^a11 ^a12 ^a13 ^a21 ^a22 ^a23 ^a31 ^a32 ^a33

(9)

topiladi. ⁰ bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi (bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):

x =	^b1 ^a12 ^a13			y =	^a11 ^b1 ^a13		z =	^a11 ^a12 ^b1
	b2	^a22 ^a23	,		^a21 ^b2 ^a23	,		^a21	^a22 ^b2
	b3	^a32 ^a33			^a31 ^b3 ^a33			^a31	^a32 ^b3

Noma’lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

(10)

x =		x	,y =	y	,	z =		z
							(11)

1-ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam berilgan va bu toplam elementlari orasida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari kiritilgan, yaʻni
1) ixtiyoriy ^{x L} va ^{y L} elementlar juftiga ^x va ^y elementlarning yigʻindisi, deb ataluvchi yagona ^{z = x + y L} element mos qoʻyilgan;

1. 
   ^{x L} element va ^K ( ^K -haqiqiy yoki kompleks sonlar toʻplami) songa ^x
   

vektorning songa koʻpaytmasi deb ataluvchi yagona element mos

qoʻyilgan boʻlib, aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi 8 ta aksiomani bajarsa, u holda ^L toʻplаm chiziqli (yoki vektor) fazo dеyilаdi:

3. 
   Qoʻshish kommutativ, ^{x + y = y + x} ;
   
4. 
   Qoʻshish assotsiativ, ^{( x + y ) + z = x + ( y + z )} ;
   
5. 
   L toʻplаmda barcha ^x elementlar uchun ^{x + = x} shartni qanoatlantiradigan nol element mavjud;
   

4. L toʻplаmda har qanday ^x element uchun ^{x + ( − x ) =} shartni qanoatlantiradigan ^−x qarama-qarshi element mavjud;

5. 
   ( x + y ) = x + y _;
   
6. 
   ( + ) x = x + x _;
   

5. 
   ( x ) = ( )x _;
   

5. 
   1 x = x _.
   

Bundan keyin biz chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb aytamiz. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun fаqаt hаqiqiy songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzo hаqiqiy chiziqli fаzo dеyilаdi. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun komplеks songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzogа komplеks chiziqli fаzo dеyilаdi.

Chiziqli fаzoni аniqlovchi аksiomаlаrdаn, quyidаgi хossаlаrni аjrаtish mumkin:

1-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzo uchun yagonа -nol vеktor mаvjud.
2-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir ^x vеktor uchun ungа qаrаmа-qаrshi

boʻlgаn yagonа ^{(−x )} vеktor mаvjud.


3-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir oʻrinli.


4-xossa. Hаr qаndаy haqiqiy son va munosabat hamma vaqt bajariladi.

^xvеktor uchun	^0^x^=tеnglik
^Lelement	uchun^=

_5-xossa. a = yoki = 0 yoki a =


Izoh. ^{y − x} vеktorlаr аyirmаsi dеb, ^y vа ^−x vеktorlаr yigʻindisi tushunilаdi. Yuqoridagi aniqlashimizga koʻra chiziqli fаzo elementlari turli tabiatli boʻlishi

mumkin. Quyida biz chiziqli fаzolarni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.