Аниқ интеграл 1-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

3. Аниқ интегралнинг асосий хоссалари
Аниқ интеграл қуйидаги асосий хоссаларга эга:
1) чекли сондаги интегралланувчи функциялар алгебраик йиғиндисининг аниқ интеграли қўшилувчилар аниқ интегралларининг алгебраик йиғиндисига тенг, яъни

2) ўзгармас кўпайтувчини аниқ интеграл белгисидан чиқариш мумкин, яъни
;
3) кесмада бўлса,

бўлади;
4) кесмада тенгсизлик бажарилса,

бўлади;
5) кесмадаги бирор нуқта бўлса,

тенглик ўринли бўлади;
6) ва сонлар функциянинг кесмадаги мос равишда энг кичик ва энг катта қийматлари бўлса,

тенглик ўринли бўлади;

7. 
   
   

8. 
   
   

9. 
   
   

бўлади;
10) кесмада узлуксиз бўлса, бу кесмада шундай бир нуқта топиладики

тенгсизлик ўринли бўлади. Бунга ўрта қиймат ҳақидаги теорема деб ҳам айтилади.
4. Аниқ интегрални ҳисоблаш. Нъютон-Лейбниц формуласи.
Аниқ интегралнинг таърифига асосан, яъни чексиз кўп сондаги чексиз кичиклар йиғиндисининг лимитини ҳисоблаш анча қийинчиликка олиб келади. Шунинг учун аниқ интегрални ҳисоблаш учун, бошқа аниқмас интеграл билан аниқ интеграл орасидаги боғланишга асосланган усулдан фойдаланилади.
, кесмада узлуксиз функциянинг бошланғич функцияларидан бири бўлса
(2)
формула ўринли бўлиб, бунга Нъютон-Лейбниц формуласи дейилади. Бундан фойдаланиб аниқ интегралнинг катталиги ҳисобланади.
Шундай қўйилиб, аниқ интегрални ҳисоблаш учун ҳам, аниқмас интегралдагидек, бошланғич функцияни топиш керак экан. Бундай масала билан аниқмас интегрални ҳисоблашда тўлароқ шуғулландик. Демак, аниқмас интегрални ҳисоблашдаги ҳамма формула ва усуллар ўз кучида қолиб, ундан аниқ интегрални ҳисоблашда ҳам фойдаланамиз.
1-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. .
Эслатма: функциянинг бошланғич функциясини олдик, бунинг ўрнига ихтиёрий бошланғич функциясини олганда ҳам натижа бир хил бўлади. Ҳақиқатан, ҳам

бўлади. Шунинг учун бундан кейин бўлган бошланғич функцияни оламиз.
2-мисол. интегрални ҳисобланг:
Ечиш; алмаштириш оламиз, бўлиб,
бўлганда, бўлади.
Шундай қилиб,

Демак, аниқ интегралда ўзгарувчини алмаштирилганда ўзгарувчилар бўйича унинг интеграллаш чегараларини ҳам алмаштириб олинса, аниқмас интегралдагидек олдинги ўзгарувчига қайтиш керак эмас.
3-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш: Бўлаклаб интеграллаш

формуласидан фойдаланамиз:
Мустаҳкамлаш учун саволлар
1. Қандай масалалар аниқ интгралга келтирилади?
2. Интеграл йиғинди қандай тузилади?
3. Аниқ интеграл деб нимага айтилади?
4. Аниқ интеграл қандай белгиланади?
5. Функция интегралланувчи бўлиши учун қандай хоссага эга бўлиши керак?
6. Аниқ интегралнинг асосий хоссалари нималардан иборат?
7. Ньютон-Лейбниц формуласини ёзинг?
8. Аниқ интегрални бўлаклаб интеграллаш нимадан иборат?