Аниқ интеграл 1-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

1). Узлуксиз функцияларнинг чексиз оралиқ бўйича интеграллари. функция оралиқда берилган ва унинг исталган қисми да интегралланувчи, яъни исталган да аниқ интеграл мавжуд бўлсин. Бу ҳолда

лимитга функциянинг оралиқдаги хосмас интеграли дейилади ва қуйидагича белгиланади:
. (1 )
лимит чекли бўлса, хосмас интеграл яқинлашувчи дейилади. Лимит мавжуд бўлмаса, хосмас интеграл узоқлашувчи дейилади.
функциядан оралиқ бўйича олинган хосмас интеграл ҳам худди юқоридагига ўхшаш аниқланади:
. (2)
функциядан оралиқ бўйича олинган хосмас интеграл қўйидагича аниқланади.:
(3)
бу ерда исталган сон. (3) интегралларда ўнг томондаги иккала интеграл ҳам яқинлашса чап томондаги интеграл ҳам яқинлашувчи дейилади. Ўнг томондаги интеграллардан ақалли биттаси узоқлашса, чап томондаги интеграл ҳам узоқлашувчи бўлади.
Хосмас итегралларни ҳисоблаш учун Ньютон-Лейбниц формуласидан фойдаланилади. функция оралиқда учун бошланғич функция бўлса,

бўлиб, бу ерда: интегралнинг яқинлашишини ёки
узоқлашишини аниқлайди.
1-мисол. интегралнинг яқинлашишини текширинг.
Ечиш:
Демак, интеграл яқинлашувчи ва га тенг.
2-мисол. бўлиб, бу интеграл узоқлашувчи.
2). Чегараланмаган функцияларнинг чекли оралиқ бўйича хосмас интеграллари. интервалда узлуксиз ва да аниқланмаган ёки узилишга эга бўлган функциянинг хосмас интеграли қуйидагича белгиланиб аниқланади:
(4)
Охири лимит мавжуд бўлса, хосмас интеграл яқинлашувчи акс ҳолда узоқлашувчи дейилади. Бундай интегралларга 2-тур хосмас интеграл дейилади.
Интеграл остидаги функция учун бошланғич функция маълум бўлса, Ньютон - Лейбниц формуласини қўллаш мумкин:

Шундай қилиб, да бошланғич функциянинг лимити мавжуд бўлса, хосмас интеграл яқинлашувчи, мавжуд бўлмаса, хосмас интеграл узоқлашувчи бўлади.
интервалда нуқтада узилишга эга бўлган функция хосмас интеграли ҳам шунга ўхшаш бўлади, яъни

бунда бошланғич функциянинг даги лимити.
функция кесманинг бирор нуқтасида узилишга эга бўлса хосмас интеграл қуйидагича аниқланади:
(5)
Ўнг томондаги интеграллардан ақалли биттаси узоқлашувчи бўлса, хосмас интеграл узоқлашувчидир. Ўнг томондаги иккала интеграл ҳам яқинлашувчи бўлса, чап томондаги хосмас интеграл яқинлашувчи бўлади.
3-мисол. интегралнинг яқинлашувчилигини текширинг.
Ечиш: демак,
.
Демак, интеграл яқинлашувчи.
4-мисол. интегралнинг яқинлашувчилигини текширинг.
Ечиш: нуқта
кесманинг ички нуқтаси. (5) формуладан фойдалансак,

бўлади.Демак, берилган хосмас интеграл яқинлашувчи.
Мустаҳкамлаш учун саволлар
1. Қандай ҳолларда тақрибий ҳисоблаш усулларидан фойдаланиш
мумкин?
2. Трапециялар формуласи қандай ёзилади ?
3. Симпсон фомуласини ёзинг.
4. Чегаралари чексиз бўлган интеграл қандай аниқланади ?
5. Хосмас интегралларнинг яқинлашувлиги ва узоқлашувчилиги нималардан иборат ?
6. Кесмада узулишга эга бўлган функциянинг интеграли қандай аниқланади?