Аниқ интеграл 1-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

Мустақил бажариш учун топшириқлар



9-мавзу. Аниқ интегралнинг татбиқлари
Режа
1.Аниқ интеграл ёрдамида ясси фигуралар юзларини ҳисоблаш.
2. Эгри чизиқ ёйи узунлигини ҳисоблаш.
3. Айланма жисм ҳажмини ҳисоблаш.
4. Аниқ интегралнинг иқтисодиётга татбиқлари.
1.Аниқ интеграл ёрдамида ясси фигуралар юзларини ҳисоблаш функция графиги, иккита тўғри чизиқлар ва ўқи билан чегараланган фигурага эгри чизиқли трапеция дейилади. Бундай эгри чизиқли трапециянинг юзи
(1)
формула билан ҳисобланади (1-чизма)
Умумий ҳол, яъни чизиқлар билан чегараланган юза
(2)
аниқ интегралга тенг бўлади .
чизиқлар билан чегараланган юза
(3)
аниқ интеграл билан ҳисобланади.
Эгри чизиқ параметрик

тенглама билан берилган бўлса, юза
(4)
формула бўйича ҳисобланади.
4-мисол. чизиқлар билан чегараланган юзани ҳисобланг
Ечиш. бўлиб, (3) формулага асосан,

5-мисол. чизиқлар билан чегараланган юзани топинг.
Ечиш:
тенгламалар системасидан кесишиш нуқталарининг абсциссалари бўлиб, бу юза
=
бўлади.
6-мисол. Эллипснинг

параметрик тенгламасидан фойдаланиб унинг юзини топинг.
Ечиш. Эллипс координат ўқларига нисбатан симметриклигидан фойдаланиб, ҳамда тенгламада бўлганда , бўлганлигини ҳисобга олиб,

2. Эгри чизиқ ёйи узунлигини ҳисоблаш. Тўғри бурчакли координатлар системасида кесмада силлиқ (яъни ҳосила узлуксиз) бўлса, бу эгри чизиқ ёйининг узунлиги
(5)
формула ёрдамида ҳисобланади.
Эгри чизиқ параметрик тенглама

билан берилган бўлса, ёй узунлиги

аниқ интеграл билан ҳисобланади.
Силлиқ эгри чизиқ қутб координаталарида тенглама билан берилган бўлса, ёй узунлиги
(6)
формула билан ҳисобланади.
7-мисол.
астроида ёйининг узунлигини топинг.
Ечиш: Астроида координат ўқларига нисбатан симметрик бўлганлиги учун 1/4 ёй узунлигини топамиз.
Ошкормас функция ҳосиласига асосан
бундан, Ёй узунлиги формуласига асосан,

3. Айланма жисм ҳажмини ҳисоблаш
чизиқлар билан чегараланган фигуранинг ОХ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмнинг ҳажми
(7)
аниқ интеграл билан ҳисобланади.
чизиқлар билан чегараланган фигуранинг ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмнинг ҳажми
(8)
формула билан ҳисобланади.
8-мисол. парабола, тўғри чизиқ ва ўқи билан чегараланган фигуранинг ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмнинг ҳажмини ҳисобланг.
Ечиш. Масала шартига кўра о дан 3 гача ўзгаради. Демак,
.
9-мисол. эллипснинг ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисм ҳажмини ҳисобланг.
Ечиш. Бундай жисмга айланма эллипсоид дейилади. Эллипс тенгламасидан
бўлиб, интегралнинг чегаралари бўлади. (8) формулага асосан,

Демак,
бўлса, шар ҳосил бўлиб бўлади.