Aniq integralning tatbiqlari

2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq
  f ( )
tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( ) -     da uzluksiz funksiya
  f ( ) egri chiziq hamda    ,  radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz.
Berilgan yuzani     0  ,  1,..., n  radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari   1, 2,...,n bilan belgilaymiz.
i1 va i orasida joylashgan qandaydir i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini i bilan belgilaymiz.
Radiusi i va markaziy burchagi i bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi  Q i  i  i ga teng
Qn  1n  i 2 i
esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi     kesmada 2  [ (f i)]2 funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max i 0 bo’lgandagi
limiti
1
aniq integral bo’ladi. U biz i burchakning ichida qaysi i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas.
Shunday qilib, OAB sektorning yuzi
Q  2[ (f  i )]
yoki
formula bilan topiladi.
Misol. a cos20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping
Yechish. Agar  burchak 0 dan  gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak 4
qismiga teng:
14 12 04 2d  12a204cos20d
Q 

a2 sin20 4 a2
 
2 2 0 4
3. Egri chiziq yoyini uzunligi
To’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq yoyining uzunligi. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq y  f x( ) tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Bu egri chiziqning x a va x b vertical to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan AB yoyining uzunligini topamiz.
AB yoydan A M M, 1, 2,...,Mi,...,B nuqtalarni olamiz, bu nuqtalarning absissalari x a x x0  , 1 2, ,...,xi,...,b x n bo’lsin. AM MM1, 1 2,...,M Bn1 vatarlarni o’tkazamiz va bu vatarlarning uzunliklarini mos ravishda  s s1, 2,...,sn bilan belgilaymiz. Bu holda AB yoyga ichki chizilgan
n
AMM M B1 2... n1 siniq chiziqqa ega bo’lamiz. Siniq chiziqning uzunligi sn 
AB yoyning s uzunligi deb
s lim i  si (1)
max s 0
i 1
limitga aytiladi. Yuqoridagi kabi mulohazalarni takrorlab topamiz:
b
s  1[ f '( )]x 2dx
yoki
Misol 1. x2  y2  r2 aylana uzunligini toping
Yechish. Avval aylana chorak qismining uzunligini topamiz. Bu holda AB quyidagicha:
y r2 x2 , bu yerdan
dy  x
dx r2 x2
Demak,
1 srdxr r2rx2dx r arcsin rx |rr2
Butun aylananing uzunligi s 2r ga teng.
Endi egri chiziq parametric ko’rinishida
x ( )t y, ( )t ( t )
berilganda yoy uzunlikligini topamiz, bu yerda ( )t va ( )t - hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uzluksiz funksiyalar, bunda '( )t berilgan uchastkada nolga teng emas. Bu holda yoy uzunligi

s  [ '( )]t 2 [ '( )]t 2dt
formula bilan topiladi.

Etiboringiz uchun rahmat