Anomalous solute transport in complex media Abstract

2.5 Variable-order model for time- or space-dependent diffusion
With the increasing study of anomalous diffusion in various engineering and scientific
areas, the fractional derivative diffusion models have been extended. Particularly, the
variable-order fractional diffusion equation model was proposed to describe anoma-
lous diffusion varying with the elapsed time t, travel distance x, or solute concentra-
tion, especially for the analysis of solute migration in porous media. In the variable-
order model, the order of the fractional derivative is a function α(x, t, f ), where f de-
notes the other variables that affect the diffusion process [20]. A representative expres-
sion of the variable-order diffusion model can be written as
𝜕
α(x,t,f )
c(x, t)
𝜕
t
α(x,t,f )
=
K 𝜕
2
c(x, t)
𝜕|
x|
2
.
(12)
Assuming that the memory rate of the system depends only on time, the MSD for
plumes described by model (12) can be written as [21]
⟨
x
2
(
t)⟩ = 2Kt
α(t)
Γ(α(t) + 1)
.
(13)

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Anomalous solute transport in complex media |
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Considering the potential perturbation of the order α due to the random nature
of the medium’s physical/chemical properties and solute transport, α might be a ran-
dom variable which can be written as α = α
0
+
ϵ, where ϵ is a random number [22].
In addition, in order to explore the mechanisms underlying the variable-order frac-
tional derivative model, other dynamic systems can also be explored. Therefore, this
type of variable-order models may be called the “dynamic order” in many fractional
systems. Moreover, the comprehensive study of the dynamic-order system is helpful
in complex system analysis and will improve our understanding of the multi-system
or multi-physical interaction.