Қаторлар 3-мавзу. Сонли қаторлар ва уларнинг яқинлашиш белгилари

4) Қатор яқинлашишининг интеграл белгиси



мусбат ҳадли қатор берилган бўлсин.
натурал аргументли функция тузамиз. узлуксиз, мусбат ва камаювчи функция бўлсин.
хосмас интеграл яқинлашувчи бўлса, берилган қатор ҳам яқинлашувчи, хосмас интеграл узоқлашувчи бўлса, қатор ҳам узоқлашувчи бўлади.
6-мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.

Ечиш. функцияни тузиб, ушбу хосмас

интегрални ҳисоблаймиз:

Демак, хосмас интеграл яқинлашувчи, интеграл белгига асосан, текширилаётган қатор ҳам яқинлашувчидир.
7-мисол.
гармоник қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш. бўлганлиги учун
.
Демак, хосмас интеграл узоқлашувчи, интеграл белгига асосан, гармоник қатор ҳам узоқлашувчи эканлиги келиб чиқади.
5. Ишоралари алмашинувчи қаторлар(Лейбниц қатори). Ишоралари ҳар хил бўлган қаторларга ўзгарувчан ишорали қаторлар дейилади.
Ўзгарувчан ишорали қаторларнинг хусусий ҳоли ишоралари навбат билан алмашинувчи қаторлардир.

Масалан,

қатор биринчи ҳади мусбат бўлган ишоралари навбат билан алмашинувчи қатордир.

Ишоралари навбат билан алмашинувчи қаторлар яқинлашишини Лейбниц белгиси билан текширилади.
Ишоралари навбат билан алмашинувчи


(5)
қатор берилган бўлсин. Бу ерда мусбат сонлар.
Лейбниц белгиси. Ишоралари навбат билан алмашинувчи қатор ҳадлари абсолют қиймати бўйича камаювчи, яъни 1)
ва 2) умумий ҳадининг даги лимити нўлга тенг, яъни бўлса, ишоралари навбат билан алмашинувчи (5) қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси биринчи ҳаддан катта бўлмайди. Бу шартлардан биронтаси бажарилмаса қатор узоқлашувчи бўлади.
8 –мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш. Лейбниц белгиси шартларини текширамиз:
1)
2) . Демак, Лейбниц белгисининг иккала шарти ҳам бажарилади. Шундай қилиб, берилган қатор Лейбниц белгисига асосан, љатор яқинлашувчи.
9-мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш:
биринчи шарт бажарилади. Лекин бўлиб,
,
Лейбниц белгисининг иккинчи шарти бажарилмайди. Демак, берилган қатор узоқлашувчи.
Қаторлар назариясидан тақрибий ҳисоблашларда кенг қўлланилади. Тақрибий ҳисоблашларда йўл қўйилган хатоликни баҳолаш катта амалий аҳамиятга эга. Ишоралари навбатлашувчи қаторларда хатолик, ҳисобга олинмаётган биринчи ҳад абсолют қийматидан катта бўлмайди, яъни
.
10-мисол.
ни 0,1 аниқликда таљрибий ҳисобланг.
Ечиш: Шартга асосан бўлиши керак.

Бунда гача аниқликда ҳисобланди.
Энди ўзгарувчан ишорали қаторларнинг айрим хоссаларини қараймиз.