B. Kömekow, A. Orazgulyýew, G. Gurbangulyýew, O. Aşyrow, A. Kaşaňow, H. Geldiýew, A. Öwezow TÄsin matematikanyň syrlary

III BAP
MATEMATIKI SOFIZMLER 
Göräýmäge dogry, emma aslynda bilgeşleýin tosla­
nan, logika ters gelýän pikire (netije çykarma) sofizm 
diýilýär. Adatça, matematiki sofizmlerde gizlin ýag­
daýda gadagan edilen amallar (meselem, nola bölmek, 
otrisatel aňlatmadan jübüt derejeli kök almak we ş.m.) 
ýerine ýetirilýär ýa­da düzgünleri, formulalary ýa­
da teoremalary ulanmagyň şertleri göz öňünde tutul­
maýar. Käbir sofizmlerde bolsa ýalňyş çyzgylary ulan­
mak arkaly pikir ýöretmeler geçirilýär we manysyz, 
ýalňyş netijeler alynýar.
Matematiki sofizmleri derňemek, pikir ýoretme­
lerdäki ýol berlen ýalňyşlyklary öwrenmek okuwçy­
larda dogry pikirlenmek endigini, mysal­meseleleri 
çözenlerinde we teoremalary subut edenlerinde örän 
ünsli, ägä bolmalydyklaryny terbiýeleýär. Matematiki 
so fizmleri derňemek okuwçylaryň logiki pikirlenmek 
ukyplaryny, dogry pikir ýöretmek başarnyklaryny ös­
dürýär. Sofizmiň ýalňyşlygyny tapmak, soňra şuňa 
meň zeş ýalňyşlyklara ýol berilmeginiň öňüni alýar.
Matematiki sofizmler käbir matematiki maglu­
matlara has çuňňur düşünmeklige ýardam edýär. Me­
selem, 4­nji synpyň matematikasynda «Sany nola böl­
mek bolmaýar» diýen tassyklama öwrenilýär. Emma 

---

76
okuwçylaryň köpüsi wagt geçenden soň bu tassyklamany 
ýatdan çykarýarlar we nola bölmek bilen baglanyşykly 
ýalňyşlyklara ýol berýärler. Emma okuwçylara nola 
bölmek arkaly 5 = 9 deňligi subut edip görkezmek we 
bu subudyň ýalňyşlygyny olaryň özlerine tapdyrmak, 
soňra bu ýalňyşlygyň gaýdyp gaýtalanmazlygyna ýar­
dam edýär. 
Matematiki sofizmler okuwçylarda uly gyzyklan­
ma hem döredýär. Diýmek, sofizmler okuwçylara ma­
tematikany çuňňur öwretmegiň serişdesi bolup hyzmat 
edýär.
SOFIZMLER
1. 2 ⋅ 2 = 5 deňligi subut edýäris. 
Munuň üçin 4:4=5:5 dogry san deňligini ýaz ýarys. 
Bu deňligiň iki böleginden hem ýaýyň daşyna umumy 
köpeldijini çykaryp alarys: 
4(1:1)=5(1:1).
Ýaýdaky sanlar deňdir, şoňa görä­de 4=5 ýa­da 
2⋅2=5.
2. 2=3 deňligi subut edeliň. 
Munuň üçin 4–10 = 9–15 dogry deňligi ýazyp, onuň 
üstünde aşakdaky ýaly özgertmeleri geçirýäris:
4–10+
6
4
1
=9–15+
6
4
1
;
2
2
5
3
2
5
2
2
−
=
−
`
`
j
j
;
2
2
5
3
2
5
− = −
;
Diýmek, 2 = 3.

---

77
3. 7=1 deňligi subut edýäris. 
Munuň üçin 7­niň we 1­iň her birinden 4­i aýyrýarys 
we netijede, 3 we –3 sanlary alarys. Ol sanlary kwadra­
ta göterip, özara deň 3
2
=(–3)
2
=9 alarys. Diýmek, 7 we 
1 sanlar hem özara deň bolmaly.
4. 6=7 deňligi subut edeliň. 
Aşakdaky deňlemeler ulgamyny ornuna goýmak 
usuly bilen çözýäris:
,
;
,
;
,
;
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
y
3
7
2
3
3
7
2
3
3 2
3
7
2
3
+
=
=
+
=
=
+
=
=
-
-
-
-
-
`
j
*
*
*
6 – y + y = 7, 6 = 7.
5. Piliň agramy syçanyň agramyna deň. 
Goý, piliň agramy a(kg), syçanyň agramy bolsa 
b (kg) bolsun. Olaryň agramlarynyň orta arifmetiki ba­
hasyny  bilen belgiläliň. Onda 
a+b=2 , a=2
–b, a–2 = –b
bolar. Soňky iki deňligi agzama­agza köpeldip alarys: 
a
2 
– 2a = b
2 
– 2b .
Bu deňligiň her bölegine 
2
­y goşup alarys: 
a
2
–2a + 
2
=b
2
–2b + 
2
ýa­da (a
– )
2
=(b
– )
2
.
Soňky deňlikden 
(a
– )=(b– ) ýa­da a=b
alarys. Diýmek, piliň agramy syçanyň agramyna deň.
6. Otluçöp telegraf sütüninden iki esse uzyndyr. 
Goý, otluçöpiň uzynlygy a (dm), telegraf sütüniniň 
uzynlygy bolsa b (dm) bolsun. b­niň we a­nyň tapawu­
dyny c bilen belgiläp alarys: 
b
–a=c, b=a+c.

---

78
Bu deňlikleri agzama­agza köpeldip alarys:
b
2
–ba=c
2
+ca.
Soňky deňligiň iki böleginden hem bc-ni aýryp 
alarys: 
b
2
–ba–bc=c
2
+ca–bc ýa­da b(b
–a–c)= –c(b–a–c).
Bu ýerden b= –c deňligi alarys. c=b
–a bolýanlygyny 
göz öňünde tutsak,
b=a
–b ýa­da a=2b
deňligi alarys. Diýmek, otluçöpiň uzynlygy (a), tele­
graf sütüniniň uzynlygyndan (b) iki esse uly.
7. 2 =–2 deňligiň subudy.
16–16+4=1– 6+9 deňligiň dogrulygy şübhesizdir.
4
2
–2•4•2+2
2
=1
2
–2•1•3+3
2
;
(4–2)
2
=(1–3)
2
;
4–2=1–3;
2= –2.
8. Otrisatel san položitel sandan uludyr.
a>0 we b>0 iki san alyp, aşakdaky iki gatnaşygy 
deňeşdireliň: 
b
a
-
we 
b
a
-
. Bu gatnaşyklar deňdir, çünki 
olaryň her biri 
b
a
-
deňdir. Proporsiýa düzýäris:
.
b
a
b
a
− =
−
Eger proporsiýada birinji gatnaşygyň ilkinji ag­
zasy özünden soň gelýän agzadan uly bolsa, onda 
ikinji gatnaşykda hem bu şert ýerine ýetmeli. Biziň 
mysalymyzda a>–b, diýmek, –a>b şert hem ýerine ýet­
meli. Onda otrisatel san položitel sandan uly bolar.
9. Noldan tapawutly islendik san özüne garşylykly 
sana deňdir.

---

79
Noldan tapawutly erkin a sany alalyň we ony x bi­
len belgiläliň: x=a. Bu deňligiň iki bölegini hem –4a 
köpeldeliň:
–4ax = –4a
2
ýa­da 4a
2 
– 4ax = 0.
Bu deňligiň iki bölegine hem x
2
­y goşup alarys:
x
2 
– 4ax + 4a
2 
= x
2
ýa­da (x – 2a)
2 
= x
2
.
Diýmek, x–2a=x. x=a deňligi göz öňünde tutup 
alarys: 
a–2a=a ýa­da a= –a.
10. Deň däl iki sanyň elmydama birinjisi ikinjisin­
den uludyr.
Goý, a we b erkin sanlar we a≠b bolsun. Onda
(a 
– b)
2 
>0, ýagny a
2
–2ab + b
2
>0, ýagny a
2 
+ b
2 
> 2ab.
Bu deňsizligiň iki bölegine­de –2b
2
­y goşup alarys: 
a
2 
– b
2 
> 2ab – 2b
2
ýa­da (a–b)(a+b)>2b(a–b).
Deňsizligiň iki bölegini hem a – b  bölüp alarys:
a + b > 2b. Bu ýerden bolsa a > b gelip çykýar.
11. Islendik san özünden iki esse uly sana deň.
Goý, a islendik san bolsun. a
2 
– a
2 
= a
2 
– a
2
toždestwo 
alalyň. Onuň üstünde aşakdaky ýaly özgertmeleri ge­
çireliň: 
a(a – a) = (a – a) (a + a).
Bu toždestwony ýönekeýleşdirip a=2a deňligi 
alarys.
12. 2=3 deňligi subut etmegiň ýene bir täsin 
«usulyny» getireliň.
Islendik b san we a = b + 1 san alalyň. Bu deňligiň 
iki bölegini hem a­b köpeldeliň:
a
2 
– ab = ab + a – b
2 
– b ýa­da a
2 
+ b
2 
= 2ab + a–b.
Bu deňlik islendik b we a = b + 1 deňlik bilen ber­
len a san üçin dogrudyr. Onda a = 2 we b = 2 bahalary 

---

80
goýup alarys:
4 + 4 = 2 ⋅2⋅2 + 2 – 2,
ýagny deňlik dogry. Diýmek, a = b + 1 berlen deňlik 
hem a=b=2 bolanda dogry. Şeýlelikde, 2=2+1, ýagny 
2=3.