Bazis vektorlar

Kristoffel simvollarini hisoblash
Uni ixtiyoriy koordinatalar sistemasida
(11.7)
ko’rinishda yozish mumkin.
Agar - tezlik o’rniga ixtiyoriy -vektorini olsak (11.7) formula quyidagicha bo’ladi
(11.8)
Biror koordinatalar sistemasida bo’lsin, u holda ikkinchi tomondan
bu yerda Kristoffel simvolining fazodagi g_ij fundamental metrik tenzor komponentalari orqali ma’lum formulalar bo’yicha aniqlanadi. Demak, ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida Gauss-Ostrogradskiy teoremasini quyidagicha yozish mumkin

Matlabda chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Metrik va diskriminant tenzorlar
Shunday qilib, 5.9)
Hosil qilingan g- tenzor fundamental metrik tenzor deb ataladi, g_ij kattaliklar- fundamental metrik tenzorning kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, g^ij kattaliklar esa fundamental metrik tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.
Joyi kelganda biz o’quvchini Yevklid fazosining chuqurroq ta’rifi bilan tanishtirib o’tishni lozim deb hisoblaymiz. Yuqoridagi mulohazalarni fazoning fiksirlangan nuqtasi uchun olib bordik. Bu holda (5.1) kvadratik shaklning koeffisiyentlari o’zgarmas bo’ladi. Algebra kursidan ma’lumki, har qanday o’zgarmas koeffisiyentli kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish mumkin, ya’ni fazoning har bir tanlangan nuqtasi uchun shunday ¹, ², ³ koordinatalarni topish mumkinki, bunda (5.1) kvadratik shakl
(5.10)
ko’rinishga, fundamental metrik tenzorning matrisasi esa quyidagi ko’rinishga keltiriladi

Umuman olganda bunday ishni fazoning har bir nuqtasi uchun bajarib bo’lmaydi, ya’ni (5.10) ko’rinishga keltiradigan ¹, ², ³lar topilmasligi mumkin. Lekin agar, biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo’lsa bu fazo Yevklid fazosi, aks holda Yevklidmas fazo deyiladi.