Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

Javob:


X1=2.00000048


X2=2.50000048


F(x1;x2)=-10.25000000


2-Misol. Quyida berilgan chiziqli emas programmalashtirish masalasining eng kichik qiymatini ichki shtraf funksiyalar usuli bilan toping:
(3. )
(3. )
Yechimi. 1) Bu masalani yechish uchun shtraf funksiyasini yasaymiz:
. (3. )
nuqtasida funksiyasi shartsiz minimum qiymatiga ega bo’lishi uchun, bu funksiyaning va o’zgaruvchilari bo’yicha xususiy hosilalari nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni

. (3. )
Endi optimal nuqtasini topish algoritmini keltiramiz. funksiyasining shartsiz minimum nuqtasini Nyuton usuli bilan izlaymiz. Dastlabki yaqinlashuvini shartidan saylab olamiz. Mayli va bo’lsin. da 1-chi yaqinlashuvini (3.5) formula bo’yicha hisoblaymiz, ya’ni

(3. )
Buning uchun hisoblaymiz.
va uning teskari matritsasini hisoblaymiz:

(3. ) ifodasiga va ning qiymatlarini olib borib qo’yib kelasi yaqinlashuviga ega bo’lamiz, ya’ni

Bundan so’ng da, (3.5) formulalari bo’yicha hisoblash jarayonini davom etamiz.
Hisoblashning asosiy natijalari 2- jadvalda joylashtirilgan. Jadvaldan ning katta qiymatlarida yaqinlashuvlari (3.1)-(3.2) chiziqli emas masalaning optimal yechimiga, yordamchi funksiyaning qiymati esa masalaning maqsad funksiyasining 38 qiymatiga yaqinlashuvchi bo’ladiganligi ko’rinib turibdi.
2-jadval
╔══╦══════════╦══════════╦═══════════╦═══════════╦══════════╦══════════╗
║ k║ rk ║ Xk ║f'x1(x1;x2)║ J ║ detJ ║ J* ║
║ ║ ║ ║f'x2(x1;x2)║ ║ ║ ║
╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣
║ 0║ ║4.99971867║-0.00000010║ 1.99991870║ ║0.50002033║
║ ║0.10000000║ ║ ║ 0.00006898║4.00020695║-0.0001724║
║ ║ ║4.00047922║ 0.00000021║ 0.00006898║ ║-0.0001724║
║ ║ ║ ║ ║ 2.00018477║ ║0.49995381║
╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣
║ 1║ ║4.99997187║-0.00000002║ 1.99999189║ ║0.50000203║
║ ║0.01000000║ ║ ║ 0.00000690║4.00002050║-000000172║
║ ║ ║4.00004768║-0.00000048║ 0.00000690║ ║-0.0000172║
║ ║ ║ ║ ║ 2.00001836║ ║0.49999541║
╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣
║ 2║ ║4.99999714║-0.00000010║ 1.99999917║ ║0.50000024║
║ ║0.00100000║ ║ ║ 0.00000069║4.00000191║-0.0000017║
║ ║ ║4.00000477║-0.00000005║ 0.00000069║ ║-0.0000017║
║ ║ ║ ║ ║ 2.00000191║ ║0.49999955║
╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣
║ 3║ ║4.99999952║-0.00000039║ 1.99999988║ ║0.50000006║
║ ║0.00010000║ ║ ║ 0.00000007║4.00000000║-0.0000002║
║ ║ ║4.00000048║-0.00000000║ 0.00000007║ ║-0.0000002║
║ ║ ║ ║ ║ 2.00000024║ ║0.49999997║
╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣
║ 4║ ║4.99999952║-0.00000090║ 1.99999988║ ║0.50000006║
║ ║0.00001000║ ║ ║ 0.00000007║4.00000000║-0.0000002║
║ ║ ║4.00000048║ 0.00000086║ 0.00000007║ ║-0.0000002║
║ ║ ║ ║ ║ 2.00000024║ ║0.49999997║
╚══╩══════════╩══════════╩═══════════╩═══════════╩══════════╩══════════╝

Xulosa

Bitiruv malakaviy ishida chiziqli emas programmalashtirish masalasini yechishning shtraf funksiyalar usuli qaraldi.
Bunday masalalarda, maqsad funksiyasiga qo’yilgan cheklovlar tenglik yoki tengsizliklar turida beriladi. Qo’yilgan shartli ekstremum masalasining yechimi bo’lgan x* vektori uchun, ba’zi-bir x₀ boshlang’ich yaqinlashuvi ma’lum deb hisoblaymiz. Shtraf funksiyalar usuli yordamida o’zgaruvchilar fazosini, ya’ni qaralayotgan sohasida chekli x_k, k = 1, 2, …, K, nuqtalar ketma-ketligi topiladi. Bu ketma-ketligi x₀ nuqtasida boshlanadi va ketma-ketlikning barcha topilgan nuqtalarining ichidan, eng yaxshi yaqinlashuvini beruvchi x* nuqtasida tamomlanadi. Har bir x_k, k = 1, 2, …, nuqtasi sifatida shtraf funksiyaning statsionar nuqtalari topiladi va ular shartsiz minimum topishning yordamchi masalasining maqsad funksiya vazifasini bajaradi. Shtraf funksiyalar yordamida, dastlabki qo’yilgan shartli minimum masalasi, shartsiz minimum masalasiga akslandiriladi va u k –qo’shimcha masalasi bo’lib hisoblanadi. Uning yechimi mos turda x_k statsionar nuqtasini beradi.
Dastlabki qo’yilgan shartli masalani, yordamchi shartsiz masalasiga aylantirishning konkret usullari, shtraf funksiyaning turi bilan aniqlanadi.
Qaralayotgan masalasiga, qo’yilgan chegaralovchi tengsizliklarini hisobga olish usuli bo’yicha, shtraf funksiyalar usulini klassifikatsiyalashga bo’ladi, sababi barcha usullarda tenglik turidagi cheklovlari ko’proq yoki kamroq tengdek bo’lib hisobga olinadi. nuqtalar ketma-ketligi qaralayotgan sohasiga tegishli bo’lishiga bog’liq, mos turda ichki nuqtalar yoki tashqi nuqtalar usullari deb ularni ikkiga bo’ladi.
F(x,r) shtraf funksiyasi umumiy turda F aniqlanadi, bunda r -shtraf parametrlar to’plami, - bu r va cheklovlar funksiyasi sifatida shtrafning miqdori. shtrafi – bu funksiya bo’lib va u shtraf funksiyaning shartsiz minimum topish amaliga qarata, masalaning mumkin bo’lgan nuqtalari, uning mumkin emas bo’lgan nuqtalariga qarata ustin bo’ladigandek qilib aniqlanadi. Bu yerda «ustin» so’zini «kichik» ma’noda bo’ladi deb tushunamiz.
Ichki nuqtalar usuli, shunday bir F qo’shimcha masalalarning statsionar nuqtalari, mumkin bo’lgan sohaning ichida joylashgan, oldindan ma’lum bo’lgan shtraflari bilan bog’liq bo’ladi. Bu usullarini bar’er usullari deb ataydi, sababi bunda shtraf, mumkin bo’lgan sohasining chegarasi bo’ylab F funksiyaning cheksiz katta qiymatlaridan bar’er qo’yib chiqadi.
Shtraf funksiyalar usulidan foydalanganda quyidagi talablar bajarilishi zarur:

• 
  qo’shimcha masalalarning yechimlari chiziqli emas programmalashtirishning dastlabki qo’yilgan masalasining yechimiga qarata intilishi zarur;
  
• 
  F funksiyasini minimumlashtirish amalining murakkabligi, f(x) funksiyaning murakkabligi tartibi bilan tengdek bo’lishi kerak;
  
• 
  qayta hisoblash qoidasi oddiy bo’lishi zarur.
  

Bitiruv malakaviy ishida qo’yilgan chiziqli emas programmalashtirish masalasini ichki shtraf funksiyasi usuli bilan yechimi topilib, ekstremum nuqtalariga ega bo’lamiz. Bunda maqsad funksiyasini va unga qo’yilgan cheklovlaridan hisobga olib, yordamchi funksiyasi tuzildi. Demak, shartli ekstremum masalasidan shartsiz ekstremum masalasiga o’tish orqali, bu funksiyaning ekstremum nuqtalarini Nyuton usuli bilan hisoblab topdik. Hisoblash ishlari kompyuter yordamida yuritildi. Olingan natijalar keltirilgan nazariy ma’lumotlarning to’g’ri ekanligini tasdiqlaydi.