Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

2.5. Tashqi shtraf funksiyalar usulining yaqinlashuvchiligi haqida. Ushbu quyida berilgan masalasini qaraymiz:
(2.11)
bunda - uzluksiz funksiya, bo’lsa yopiq to’plam. Mayli bu to’plam uchun uzluksiz funksiyasi berilgan bo’ladi deb faraz qilamiz. funksiyasi да istalgan uchun nolga teng bo’ladi va qolgan barcha lar uchun musbat qiymatda bo’ladi. Shuning bilan birga ushbu funksiyaning

bo’yicha shartsiz global minimum nuqtalari bor bo’lib va istalgan da ba’zi bir chegaralangan to’plamiga tegishli bo’ladi deb faraz qilamiz. Unda istalgan sonlar ketma-ketligi uchun, unga mos bo’lgan ketma-ketligi chegaralangan bo’ladi va uning istalgan chegaraviy nuqtasi (2.11) masalaning yechimi bo’ladiganligini ko’rsatamiz. Bunda chegarasi bo’ladigan ketma-ketlikning qismi bundan buyon deb belgilaymiz. Ал bo’yicha har xil cheklovlar o’rniga intilgandagi cheklovlarni olamiz, bunda - ketma-ketlik qismning indeksi.
2- teorema. (2.11) masalasi uchun nuqtasi optimal bo’ladi, shuning bilan birga
.
Isbotlash. Avvalo
(2.12)
bo’ladiganligini ko’rsatamiz. (2.12) tengsizliklar ketma-ketligi o’rinli bo’ladi, sababi barcha fazosidagi istalgan da funksiyasidan bo’yicha minimum qiymati, fazosida joylashgan to’plamidagi uning minimumidan ko’p bo’lmaydi. Tengliklar bo’lsa, ular quyidagidan kelib chiqadi: bo’lganda bo’ladi va shuning uchun

bo’lganda esa

bo’ladi.
Demak,
.
Endi bo’ladiganligini isbotlaylik. Haqiqatdan ham, teskari holat uchun bo’ladi, va funksiyasi uzluksiz bo’ladiganligiga asoslanib, yetarli katta bo’lgan lar uchun soni topilib va u uchun ushbu quyidagi tengsizligi o’rinli bo’ladi:
.
Bunda ketma-ketligi chegaralangan bo’lgani sababli
.
Biroq bu tengsizlik (2.12) tengsizligiga qarama qarshi keladi, bundan demak nuqtasi to’plamiga tegishli bo’ladi.
Natijada, funksiyasining manfiy emasligidan va ning uzluksizligidan quyidagi tengsizligi kelib chiqadi:
.
Bundan va (2.12) tengsizligidan ega bo’lamiz:
.
nuqtasi to’plamida joylashgani sababli, bu mumkin bo’ladi, agarda

bo’lsa. Teorema isbotlandi.
Dastlabki qo’yilgan masalaning global yechimiga tashqi shtraf funksiyalar usulining global minimum nuqtalari yaqinlashuvchi bo’ladiganligini aniqladik. Agarda faqat qavariq programmalashtirish masalalarini nazarda tutsak, unda u yetarli bo’ladi, sababi amaliyotda foydalanayotgan tashqi shtraf funksiyalari ular uchun qavariq bo’ladi va shunga mos lokal ekstremumlar haqida gap etishga keragi yo’q.