Bir jinsli integral Reja

TEOREMA: Agar a₁+ a₂+…+a_n+… (17)
v₁+ v₂+…+v_n+… (18)
qatorlar yakinlashsa va ularning yigindilari mos ravishda S₁ va S₂
bulsa, u xolda
a₁ v₁ + a₂  v₂+…+a_n  v_n+… (19)
qator yaqinlashuvchi buladi va yigindisi S₁ S₂ ga teng buladi.
Isbot: S_n (19) –qatorning n- xususiy yigindisi bulsin. Demak,
= (
Bu erda mos ravishda (17) va (18) qatorlarning n-xususiy yigindilari.
3.Sonli qatorlarni taqqoslash alomatlari.
Teorema: i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… (20)
va V₁+ V₂ + …+ V_n +… (21)
musbat xadli sonli qatorlar bulsin. (20) – qatorning xadlari (21)-qatorning mos xadlardan ortik bulmasin :
i₁  V₁ , i₂  V₂ , …, i_n  V_n ,…
va (21)- qator yaqinlashuvchi bulsin. Bunday xolda (20) qator xam yaqinlashuvchi buladi va uning yigindisi (21) qator yigindisidan ortmaydi.
TEOREMA: Agar (20) – qatorning xadlari (21) – qatorning mos xadlaridan kichik bulmasa :
i₁  V₁ , i₂  V₂ , …, i_n  V_n ,…
va (21) – qator uzoklashuvchi bulsin. Bu xolda (20) qator xam uzoklashuvchi buladi. Bu teoremalarni isbotsiz kabul kilamiz.
M i s o l : qatorni tekshiring.
Echimi: YOrdamchi qatorni karaymiz.
Bu qator geometrik progressiya xadlaridan tuzilgan (q=¹/₂) qator va u yaqinlashuvchidir.

Demak qator yaqinlashuvchi ekan.
4.Qator yakinlashishining zaruriy sharti.
TEOREMA. Agar i₁+ i₂+ i₃+… + i_n +… qator yaqinlashuvchi bulsa, u xolda n da uning i_n umumiy xadi nolga intiladi.


Isbot. S_n= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n va S_n-1= i₁+ i₂+ i₃+… + i_n-1 n – xususiy yigindilarni karaymiz.

Demak,

= - _-1 = 0

Teorema isbotlandi.