Bir jinsli integral Reja

Nаtijа. Аgаr ning bittа nuqtаsidа yechimlаri uchun bo‘lsа, ulаr dа chiziqli erkli sistеmаni tаshkil etаdi.
10-ta’rif. (a,b) intervalda ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning ixtiyoriy chiziqli erkli va yechimlari ushbu tenglama yechimlarining fundamental sistemasi deyiladi.
9-teorema. Agar va funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, ular (2) tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda
(8)
funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi, bunda va – ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Isboti. Aytaylik, va lar

tenglamaning yechimlari bo‘lsin. Unda 1 va 2-tasdiqlarga ko‘ra va lar ham shu tenglama yechimidir.
Endi

boshlang‘ich shartlar har qanday bo‘lganda ham, va o‘zgarmas miqdorlar qiymatini, bu qiymatlarga mos bo‘lgan xususiy yechim berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib tanlash mumkinligini isbotlaymiz. Boshlang‘ich shartlarni (8) tenglikka qo‘yib,
(9)
sistemaga ega bo‘lamiz, bunda:
,
deb belgilangan. (9) sistemadan, bu sistemaning

determinanti bo‘lganda Vronskiy determinanti bo‘lgani uchun va, demak, u nolga teng bo‘lmagani uchun ( va yechimlar chizigli erkli bo‘lganidan), va larni aniqlash mumkin. va ning topilgan qiymatlarida (8) oiladan hosil bo‘ladigan xususiy yechim berilgan boshlang‘ich shartlarni qanotlantiradi. Shunday qilib, teorema isbotlangan.
Misol. Ushbu
(10)
differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Ravshanki,
va
lar uchun (10) tenglamaning chap tomonidagi ifoda aynan nolga teng:


Demak, funksiyalar (10) tenglamaning yechimlari. Ayni paytda

bo‘lgani uchun bu yechimlar chiziqli erkli bo‘ladi. Yuqoridagi teoremaga ko‘ra berilgan tenglamaning umumiy yechimi ni topamiz, bunda va ixtiyoriy o‘zgarmas.
Misol. Agar funksiya ushbu
(11)
tenglamaning yechimi bo‘lsa, (11) tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Berilgan tenglamada

almashtirib bajaramiz, bunda noma’lum funksiya. Bu funksiyaning hosilalarini hisoblaymiz:





Bu qiymatlarni (11) tenglamadagi larning o‘rniga qo‘yib topamiz:


Ohirgi tenglikning chap tomonidagi o‘xshash hadlarni ixchamlash natijasida

ifoda hosil bo‘ladi. Demak,
Bu birinchi tartibli differensial tenglamani yechib, ni topamiz.

,
.
Endi

ekanini e’tiborga olsak, unda

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, (9) tenglamaning umumiy yechimi
.