Bir jinsli integral Reja

O‘zgarmas koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ushbu ko’rinishdagi differensial tenglama


o‘zgarmas koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
1-ta’rif. dagi ning barcha qiymatlari uchun tenglik o’rinli bo’lsa, va lar bir vaqtda nol bo’lmagan o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda funksiya orqali chiziqli ifodalanadi deyiladi.
2-ta’rif. ta funksiyalarni hech biri qolganlari orqali chiziqli ifoda etilmasa u funksiyalar chiziqli erkli funksiyalar deb ataladi.
1-misol. funksiyalar chiziqli bo’gliq, chunki

bo’lganda
.
2-misol. funksiyalar chiziqli erkli,
chunki faqat bo’lsagina aynan nolga teng bo’ladi.
1-teorema². .Agar funksiyalar (1) tenglamani chiziqli erkli yechimlari bo’lsa, u holda
(1)
ning umumiy yechimi bo’ladi, ihtiyoriy o’zgarmas sonlar.
Agar o’zgarmas sonlar bo’lsa uni 2-chi tartibli differensial tenglamalardek yechiladi.

1. 
   Xarakteristik tenglama tuzamiz:
   
2. 
   Xarakteristik tenglamani ildizlarini topamiz.
   
3. 
   a) Har bir karrali haqiqiy - ildizga hususiy yechim mos keladi;
   

b) Har bir juft qo’shma kompleks bir karrali ildizga va hususiy yechim mos keladi;
c) Har bir karrali haqiqiy - ildizga ta chiziqli hususiy yechim mos keladi;
d) Har bir karrali juft qo’shma kompleks ildizga ta


hususiy yechim to’gri keladi;
Bu hususiy yechimlar soni tenglamaning darajasiga teng bo’ladi;
(1)
3-ta’rif. Agar tartibli differensial tenglama noma’lum funksiya uning hosilalariga nisbatan birinchi darajali bo’lsa, bunday tenglama chiziqli differensial tenglama, ya’ni (1) ko’rinishda bo’ladi. Bu erda va lar ning ma’lum funksiyalari yoki o’zgarmas sonlar, bunda (1) tenglamani qaysi sohada qarayotgan bo’lsak, ning o’sha sohadagi barcha qiymatlari uchun .
Bundan keyin va lar ning barcha qiymatlarida uzluksiz funksiya va teng deb faraz qilamiz.
Agar bo’lsa, u holda tenglama bir jinslimas chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agar bo’lsa, u holda tenglama bir jinslimas chiziqli differensial tenglama deyiladi.(chunki bu differensial tenglamaning chap tomoni larga nisbatan birinchi darajali bir jinsli funksiyadir.)
2-teorema. Agar va ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli (3) differensial tenglamaning ikkita hususiy yechimi bo’lsa, u holda ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Isboti. va tenglamaning yechimi bo’lgani uchun
(4)
(3) tenglamaga yig’indini qo’yib, (4) ayniyatni e’tiborga olsak

,
ya’ni ham yechim bo’ladi.