Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Lemma. Ixtiyoriy sondagi qavariq to’plamlarning kesishmasi ham qavariq to’plam bo’ladi.
Isboti. K₁ va K₂ lar qavariq to’plamlar bo’lib K esa ularning kesishmasi bo’lsin. K tegishli bo’lgan ixtiyoriy 2 ta A va B nuqtalarni qaraymiz (20-shakl). K₁ qavariq to’plam bo’lgani uchun A₁B∈K₁ dan AB∈K₁ va K₂ – qavariq bo’lgani uchun A₁B∈K₂ kelib chiqadi.

Bulardan AB∈K ga ega bo’lamiz.
Yuqoridagi mulohazalarni ixtiyoriy sondagi qavariq to’plamlar uchun qo’llab lemmada keltirilgan tasdiqqa ega bo’lamiz.
Endi uchta no’malumli
(2)
Sistemani qaraymiz. Bizga ma’lumki bu tengsizliklarning har biri biror yarim fazoni aniqlaydi. Shuning uchun ham berilgan sistema aniqlanuvchi soha shu m ta yarim fazolarning kesishmasdan iborat bo’ladi. Chekli sondagi yarim fazolarning kesishmasi biror qavariq ko’p yoqli K sohani beradi. (21-shakl)

Shunday sohaning m=4 bo’lganda tasvir keltirilgan. Bu misolda K soha odatdagi tetraedr, aniqroq qilib aytganda tetraedr ichida va chegarasida yotuvchi barcha nuqtalar to’plamidan iborat.
Albatta K soha chegralanmagan bo’lishi ham mumkin.(22-shakl)

Umuman (2) tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo’lmasligi ham mumkin bo’ladi.(23-shakl)

(2) tengsizliklar orasida 2ta
ax+by+cz+d
-ax-by-cz-d 0
ko’rinishdagi tengsizliklar qatnashgan holga alohida to’xtalish kerak. Bu ikkala tengsizlik
ax+by+cz+d=0
tenglamaga teng kuchli.
Bu tenglama esa fazoda biror π tekislikni aniqlaydi. (2) dagi qolgan tengsizliklar esa tekislikdan biror qavariq ko’pburchakli sohani ajratadi, ana shu soha (2) sistemaning yechimlar sohasi bo’ladi.
Bundan ko’rinadiki fazodagi qavariq ko’pyoqli sohaning xususiy holi tekislikdagi qavariq ko’pburchakli soha bo’lar ekan.(24-shakl)