Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

2.Chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimi, manfiymas, musbat yechimlar
Bundan keyin bizning maqsadimiz chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlarini topishning effektiv usulini bayon qilishdan iborat.
Ushbu paragrafda biz masalaning yechimini 2-no’malumli sistema uchun bayon qilsakda uni mumkin qadar umumiy nuqta-i nazardan bayon qilamiz va ulardan keyingi ishlanishlarimizda foydalanamiz.
1⁰. Zaruriy lemmalar. Ushbu
(1)
tengsizlik sistemasi berilgan bo’lsin. (1) bilan birga unga mos bo’lgan bir jinsli
a₁x+b₁y
a₂x+b₂y (2)
.......................
a_mx+b_my
Sistema va bir jinsli tenglamalar sistemasi
(3)
ni qaraymiz. Bu sistemalarning XOY tekislikdagi yechimlari sohalarini mos ravishda K, K₀, L bilan belgilaymiz. U holda L K₀.
Avvalo quyidagi lemmani isbotlaymiz.
1-lemma. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimining yig’indisi ya’ni (1) sistemaning yechimi bo’ladi ya’ni
K+K₀ K
Isboti. A€K va BC K₀ bo’lsin. U holda ular mos ravishda (1) va (2) ni qanoatlantirishi kerak.

Bu tengsizliklarni hadlab qo’shib

ga ega bo’lamiz. Bunda A+B nuqtaning koordinatalari bo’lgan x_A+x_B, y_A+y_B sonlar juftligi (1) sistemaning yechimi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni A+B€K
2-lemma. 1) Agar A nuqtadan boshlanuvchi biror nur to’laligicha Kga tegishli bo’lib P esa shu nurning K ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, u holda P-A€K₀ bo’ladi.
2) Agar biror to’g’ri chiziq to’laligicha K ga tegishli bo’lib K va P lar esa shu to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtalari bo’lsalar P-A€L bo’ladi.
Isboti. 1)B=P-A deb belgilab olaylik. Qaralayotgan nurni
A+SB (4)
ko’rinishdagi nuqtalar to’plami deb qarash mumkin. Bunda S>0 – haqiqiy son. Bu nuqtalarning ixtiyoriy shartga ko’ra (1) ning yechimi, ya’ni :
(5)
Bulardan birortasini, masalan birinchisini olib qaraylik:
(a₁x_A+b₁y_A+c₁)+(a₁x_B+b₁y_B)S
Bu tengsizlik ixtiyoriy S 0 uchun o’rinli bo’lishi uchun (a₁x_B+b₁y_B) 0. bajarilishi kerak. Xuddi shuningdek mulohaza yuritib (5) dan
A₂x_B+b₂y_B ,... a_mx_B+b_my_m
Larni ya’ni B K ni hosil qilamiz.
Lemmaning ikkinchi qismi ham yuqoridagi singari isbotlanadi. Bu holda qaralayotgan to’g’ri chiziqni (4) nuqtalar to’plamidan iborat deb qaraymiz. Faqat endi S ixtiyoriy haqiqiy son. (5) tengsizliklar S ning ixtiyoriy qiymatlarida o’rinli bo’lishi uchun S oldidagi barcha koeffitsentlar nolga teng bo’lishi kerak.
a₁x_B+by_B=0,...,a_mx_B+b_my_B=0
Demak b L.
Osonlik bilan ko’rish mumkinki, 1 va 2 lemmalar ixtiyoriy sondagi no’malumlar qatnashgan tengsizliklar sistemalari uchun ham o’rinli bo’ladi.
2⁰. (1) sistema normal bo’lgan nol (1) va (3) sistemalarni qaraymiz. (3) sistema hamma vaqt nol yechimga ega. Shuning uchun ham uning nolmas yechimga ega.bo’lgan hollari muhim.