Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Kurs ishi mavzusining vazifalari: 1.Oliy ta’lim muassasalarida “Matritsaning rangi haqidagi teorema va uning tatbiqlari” mavzusidagi darslarni tashkil etish.

2. 
   Matrisaning muhim sinflarining xossalarini o’rganib, ularni elementar masalalar yechishga tatbiq qilish.
   

Kurs ishi mavzusining mazmuni: Mazkur kurs ishi Kirish, 4ta asosiy qismdan, xulosa va adabiyotlardan tashkil qilinadi.


II.ASOSIY QISM
1.Chiziqli tengsizliklar sistemasi
1.Nuqtalar vektorlar ustida amallar.Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini qaraymiz. U holda tekislikdagi har bir M nuqtaga uning koordinatalari deb ataluvchi ikkita x va y haqiqiy son mos keladi va buni biz M(x,y) koʻrinishida belgilaymiz.
Nuqtalarni qo’shish va songa ko’paytirish amallarini vektorlardagi singari aniqlaymiz, ya’ni M₁(x₁,y₁) va M₂(x₂,y₂) nuqtalar berilgan bo’lsa, u holda M₁+M₂=(x₁+x₂,y₁+y₂) demak nuqtalarni qo’shish ularning bir xil rusumli koordinatalarini qo’shish bilan aniqlanadi.
M (x,y) nuqtani ixtiyoriy k soniga ko’paytirish KM=(kx₁,ky₁) qoida bilan aniqlanadi.
Bu amallar geometrik nuqtai nazardan juda sodda talqin qilinadi. Koordinatalar boshini O desak M₁+M₂ yig’indi OM₁ va OM₂ kesmalarga qurilgan parallellogramning to’rtinchi uchidan iborat.(1-shakl)

KM=M’ nuqta k>0 bo’lsa OM nurda yotadi, agarda k<0 bo’lsa nurning to’ldiruvchi qismida yotadi va OM’=|k| OM bo’ladi (2-shakl).

Nuqtalar ustida amallarni bunday aniqlash ba’zi geometrik tasdiqlarni algebra tiliga ko’rishga qulay. Ba’zi bir misollar keliramiz.
1) M₁M₂ kesma S₁M₁+S₂M₂ ko’rinishdagi barcha nuqtalardan tashkil topgan. Bunda S₁,S₂ ixtiyoriy S₁+S₂=1 shartni qanoatlantiruvchi manfiy bo’lmagan sonlar.
Bu tasdiqni isbotlash uchun M₁M₂ kesmadagi ixtiyoriy M nuqtani qaraymiz.M nuqtadan OM₁ va OM₂ larga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazib OM₁ kesmada N₁ va OM₂ kesmada N₂ nuqtalarni hosil qilamiz.(3-shakl)
Faraz qilaylik:
S₁= , S₂=
Sonlar manfiy bo’magan sonlar bo’lib S₁+S₂=1 bo’ladi.

Shakldagi uchburchaklarning o’xshashligidan

= , =S₁ , = , =S₂
bo’ladi. Bulardan N₁=S₁M₁, N₂=S₂ M₂ va M=N₁+N₂ bo’lgani uchun M=S₁M₁+S₂M₂.
Bu yerda agar M₁ M₂ kesmada M₁ da M₂ ga qarab o’zgarganda S₂ esa 0 dan 1gacha qiymatlarni qabul qiladi. Shunday qilib 1-tasdiq isbotlandi.
2)M₁M₂ to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi M ni tM₁+(1-t) M₂ ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda t – biror son.
Haqiqatdan ham, agart M nuqta M₁M₂ kesmada yotsa bu tasdiq yuqorida isbotlangan 1-tasdiqdan kelib chiqadi. Endi faraz qilaylik M nuqta M₁M₂ kesmadan tashqarida yotsin. U holda M₁ nuqta MM₂ kesmaga tegishli bo’ladi. Aniqlik uchun faraz qilaylik 1-hol bo’lsin. U holda isbotlanganiga asosan M₁=SM+(1-S) M₂, (0Bundan
M= M₁- M₂=tM₁+(1-t) M_2, t=
Ikkinchi hol ham xuddi shuningdek isbotlandi va uni tinglovchilarga mustaqil topshiriq sifatida berish mumkin.
3) parametr S 0 dan gacha o’sib o’zgarganda SB nuqta OB nurda (bunda B nuqta koordinatalar boshidan farqli deb qaraladi). A+SB nuqta esa A nuqtadan chiquvchi OB nuqtadagi nurda o’zgaradi. (5-shakl)
S parametr 0 dan - gacha o’zgarganda SB va A+SB nuqtalar yuqoridagi aytilgan nurlarni to’ldiruvchi nurlarda o’zgaradi. (6-shakl)

Isboti: 5 va 6-shakllardan bevosita kelib chiqadi.
3-tasdiqdan kelib chiqadiki S parametr - dan + gacha o’zgarganda A+SB nuqta A nuqtadan o’tuvchi va OB ga parallel to’g’ri chiziqdagi nuqtalarda o’zgaradi.
Qo’shish va songa ko’paytirish amallarni fazodagi nuqtalar ustida ham bajarish mumkin.
Bu holda:
M₁+M₂=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂),
KM=(kx, ky, kz)
K va L nuqtalar to’plamining yig’indisi K+L deganda K+L ko’rinishdagi barcha nuqtalar to’plamiga aytiladi, ya’ni K+L={k+l/ k K, L l}.
Bir nechta misollar qaraylik.
1. K to’plam faqat bitta nuqtadan L esa ixtiyoriy nuqtalar to’plamidan iborat bo’lsin. U holda K+L to’plam L to’plamni OK masofa (uzunligi OK kesmaning uzunligiga teng masofaga) ko’chirish natijasida hosil bo’lgan to’plamga teng (7-shakl).

Xususiy holda L to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plami bo’lsa, K+L to’plam L to’g’ri chiziqdan OK masofadan o’tuvchi L₁ ga parallel to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plami bo’ladi.(8-shakl).
2. K va L lar (fazodagi yoki tekislikdagi parallel bo’lmagan kesmalardagi nuqtalar to’plami bo’lsin. U holda K+ L to’plam tomonlari mos ravishda K va L to’plam tomonlari mos ravishda K va L larga teng va parallel parallellogramdan iborat bo’ladi. (9-shakl)

3.K-tekislik L unga parallel bo’lmagan kesma bo’lsin. U holda K+ L to’plam fazoning K ga parallel 2ta tekisligi orasidagi qismi bo’ladi. (10-shakl)
4.K va L lar markazlari P₁ va P₂ nuqtalarda radiuslarda mos ravishda r₁ va r₂ ga teng, bunda π tekislikda yotuvchi doiralar bo’lsin. U holda K+ L to’plam markazi P₁+P₂ nuqtalarda radiusi r₁+r₂ teng π tekislikka parallel tekislikda yotuvchi doiradan iborat bo’ladi. (11-shakl)