Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Yechilishi. (10) sistema normal, chunki (10) ga mos bir jinsli tenglamalar sistemasi
(11)
Faqat (0,0) yechimga ega. Haqiqatdan ham

Sistemalar faqat (0,0) yagona yechimga ega. (11) tenglamalardan birinchisini qanoatlantiruvchi O(0,0) nuqtadan boshqa biror nuqtani, masalan C(-1,-1) ni olamiz. Lekin bu nuqta (10) ning barcha tengsizliklarini qanoatlantirmaydi, shuning uchun ham u ham va OC nurda yotuvchi O(0,0) nuqtadan boshqa birorta ham nuqta ham K₀ ga tegishli emas. Endi -C=(1,-1) nuqtani qarasak -C K₀. Demak B₁=(1,-1).
Ikkinchi tenglamani (2,1) nuqta qanoatlantiradi va u (10) ni ham qanoatlantiradi, demak B₂=(2,1). Bu holda K₀ soha
t₁B₁+t₂B₂=t₁(1,-1)+t₂(2,1)=(t₁+2t₂;-t₁+t₂)
ko’rinishdagi nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi, t₁ va t₂ 0 – ixtiyoriy sonlar (31-shakl).

Endi K ni aniqlaymiz yuqorida isbotlangan teoremaga asosan
K=1,A₂> +K₀,
Bu yerda A₁(1,-2) va A₂(2,0) lar K sohaning uchlari (1-misolida aniqlangan). Bundan demak K soha (32-shakl)
S(1, -2) + (1-S) (2,0) + (t₁+2t₂; -t₁+t₂)=(2-S+t₁+2t₂-2S-t₁+t₂)
bu yerda S soni [0;1] oraliqdagi ixtiyoriy son, t₁ t₂ -lar manfiy bo’lmagan sonlar.
3-misol. Ushbu sistemaning yechimlari sohasini toping.

2-misoldagidek yo’l tutib bitta nur (33-shakl)
B = t(1,2) = (t, 2t) , (t 0)
ni hosil qilamiz

4-misol. Sistemaning yechimlari sohasini toping.

Bu holda 2x-y=0, x+y=0, -3x+y=0 tenglamalardan birortasi ham berilgan tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi (0,0) nuqtadan boshqa yechimga ega emas. K=K₀ soha faqat bitta (0,0) nuqtadan iborat.
4 (1) tengsizliklar sistemasi normal bo’lmagan nol. Bu holda (3) bir jinsli tengsizliklar sistemasining yechimlari sohasi L da koordinatalar boshi O(0,0) nuqtadan boshqa nuqtalar ham mavjud bo’ladi. Demak (3) ning barcha tenglamalari tekislikdagi bitta to’g’ri chiziqli aniqlaydi va bu L to’g’ri chiziqdan iborat.
1-lemmaga asosan K soha o’zining har bir P nuqtasi bilan birga P+L (P o’tuvchi va L ga parallel) to’g’ri chiziqni ham o’zida saqlaydi’ L gs parallel bo’lmagan biror T to’g’ri chiziqni qaraymiz. Agar biz T to’g’ri chiziqdagi qaysi nuqtalar K ga tegishli ekanligini bilsak (bunday nuqtalar to’plamini K_T – bilan belgilaymiz ) K ning o’zini ham topa olamiz, chunki bu holda K=K_T+L bo’ladi. (34-shakl)
L to’g’ri chiziq tenglamasi a₁x+b₁y+y=0 bo’lib, a₁ va b₁ koeffitsentlardan birortasi noldan farqli. b₁ bo’lsin. U holda T to’g’ri (L parallel bo’lmagan) sifatida x=0 tog’ri chiziqni, ya’ni y o’qni olish mumkin. Bu holda K_x to’plam y o’qining K ga kirgan qismidan iborat bo’ladi va biz uni K_y bilan belgilaymiz. Nu to’plamni toppish uchun (1)-sistemada x=0 deb olamiz. U holda bir noma’lumli
b₁y+c₁ , b₂y+c₂ , … , b_my+c_m (12)
tengsizliklar sistemasiga ega bo’lamiz. (12) sistemaning yechimini osongina toppish mumkin.
Ta’kidlash joizki , K_y yoki bo’sh to’plam, yoki nuqta, kesma, nur (lekin to’la Oy o’qidan iborat bo’lmagan, aks holda K to’plam butun tekislikdan iborat bo’lar edi). Bu to’plamni topib K ni ham aniqlaymiz.
K=K_y+L (13)
5-misol.

Tengsizliklar sistemasining yechimlari sohasi K ni toping.
Yechish. Bu sistemaga mos bir jinsli tengsizliklar sistemasi.
x+y 0, -x-y 0, 2x+2y 0 (14)
va bir jinsli tenglamalar sistemasi
x+y=0, -x-y=0, 2x+2y=0 (15)
(15) tenglamalarning uchalasi ham bitta L to’g’ri chiziqni x+y=0 aniqlaydi va bu y o’qiga parallel emas. Berilgan sistemada x=0 den olsak
y-1 0, -y+2≥0, 2y+3≥0
sistemaga ega bo’lamiz. Bundan y≥1, y≤2 y>- Demak K_y=[-1,2]={y| 1≤y≤2} kesmadan iborat.Bu kesma (35a-shakl) C₁(0,1) va C₂(0,2) nuqtalar demak K soha (35b-shakl).
(0,y) + (x, -x) = (x; y; -x) ko’rinishdagi nuqtalar to’plamida iborat, bu yerda x-ixtiyoriy son, y dagi ixtiyoriy son.