Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”


Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi


Download 1.76 Mb.
bet11/12
Sana03.02.2023
Hajmi1.76 Mb.
#1148184
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Bog'liq
Kurs ishi To`liq (2) KAMILA

Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi.
P- maydonga nisbatan L chiziqli fazo berilgan bo’lsin. Biz bu fazoni L(P) ko’rinishida belgilaymiz.
Fj(x) – aj = lj(x1, …, xn) – aj=aj1x1 + … + ajnxn – aj 0 (j = 1, ) (1)
Chiziqli tengsizliklar sistemasini qaraymiz.

A= va =
Matritsalarga mos ravishda (1) – sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalari deyiladi. A ning rangiga (1) – sistemaning rangi deyiladi. Ushbu paragrafda biz quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema. P­­n fazodagi rangi r>0 ga teng bo’lgan (1) – chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimiga ega bo’lishi uchun A matritsada

, (j = 1, ) (2)
Shartni qanoatlantiruvchi r-tartibli noldan farqli

=
minorning mavjud bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isboti: Agar noldan farqli rangga ega bo’lgan (1) sistema birgalikda bo’lib uning yechimi shu sistemadagi nol bo’lmagan (x) funksiya qatnashgan tengsizlikni tenglikka aylantirsa bunday yechimga (1) sistemaning chegaraviy yechimi deyiladi. Agarda rangi r>0 bo’lgan chegaraviy yechimi (1)ning r ta (r>0) tengsizligini tenglikka aylantirsa bunday yechimga (1)ning tugun yechimi deyiladi. Bunday r ta tengsizlikdan tuzilgan qismiy sistemaga ega (1) ning tugun qismiy sistemasi deyiladi.
Agar (1) sistemaning rangi r>0 bo’lsa [u] dagi u.1.1-teoremaga asosan hech bo’lmasa birorta tugun sistemaga va uning rangi ham r ga teng bo’ladi. U holda (1) sistemaga kiruvchi chiziqli formalar (x1,, … , xn) lar orasida r ta chiziqli bog’lanmagan formalar
mavjud bo’lib
- x1+… + xn - =0 (k=1, 2, ..., r) (3)
Tenglamaning har bir yechimi (1) sistemani qanoatlantiradi. Umumiylikni chegaralanmagan holda j1 j2 jr deb hisoblash mumkin.
Tanlangan formalar chiziqli bog’lanmagan bo’lganligi sababli (1) sistemaning koeffitsentlaridan tuzilgan matritsa noldan farqli r>0 tartibli.
=
minorga ega bo’ladi. Endi xj = lj (x1,, … , xn) deb belgilash kiritb aynan nolga teng bo’lgan
, (j = )
determinantni qaraymiz. Bu yerdan
xj = - , (j = )
Bundan foydalanib (1) sistemani quyidagicha yzoish mumkin:
- (j = ) (4)
Bu tengsizlikni j = j1, j2, … jr bo’lganda (4) dan (k = ) ni hosil qilamiz. (4) dagi xj (k = ) noma’lumlarni ularning (x1, … , xn) noma’lumlar orqali ifodasi = (x1, … , xn) bilan almashtirilganda (4) sistema (1) sistemaga aylanadi va (1) ni (3) ning barcha yechimlari qanoatlantirgani uchun (4) da lar o’rniga elementlarini qo’ysak (4) tengsizlik o’zgarmay qoladi. Buning natijasida hosil bo’lgan (2) tengsizlik (1) ning yechimiga ega bo’lishining zaruriy shartini beradi.
Endi agar (1) sistemaning matritsasi biror noldan farqli r-tartibli minori
=
uchun (2) munosabat bajarilsa, u holda (1) sistemaning birgalikda ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqattan ham (2) munosabatdan (4) sistemaning
) = ( ) (5)
yechimga ega ekanligi krlib chiqadi. (5) da noma’lumlarni ularning x1, … , xn
noma’lumlar orqali ifodasi bilan almashtirb (3) – sitemaga kelamiz. R-tartibli minori bo’lgani uchun sistemaning rangi undagi tenglamalar soni bilan bir xil bo’ladi va demak bu sistema birgalikda (4)-sistemaning yechimi (5) mavjud bo’lgani uchun ham (3) ning har bir yechimi
- , (j = ) (6)
sistemani qanoatlantiradi. Bu Sistema esa (1) dan faqat yozilish shakli bilangina farq qiladi. Shuning uchun ham (1) Sistema ham birgalikdagi Sistema bo’ladi. Shunday qilib (2) sistemaning bajarilishi (1) ning birgalikda bo’lishing yetarli sharti hamdir.
Teorema to’la isbot bo’ldi.
n – algebraik amalni α bilan belgilasak α (a1, … , an) = an+1. Ba’zi hollarda an+1 A bo’lishi mumkin. Bunday hollarda qaralayotgan algebraik amal qismiy algebraik amal deb yuritiladi. Algebraik amallar nol, bir, ikki, uch, … , o’rinli bo’lishi mumkin. Ular mos ravishda nular, unar, binar, ternar, … n - ar algebraik amal deyiladi.

  1. A to’plamning istalgan elementini alohida olish nular algebraik amaldir.

  2. P(M) M to’plamning barcha qism to’plamlari to’plami bo’lsin. Har bir

A to’plamning to’ldiruvchisi bo’sin. A = M/A ni mos qo’yuvchi akslantirish unar algebraic amalga misol bo’ladi.

  1. Natural sonlar to’plamidagi ayirish amali qismiy algebraik amalga misol bo’ladi.

  2. Butun sonlar to’plamidagi bo’lish amali ham butun sonlar to’plamidagi qismiy algebraik amaldir.

  3. n ta natural sonlar a1, a2, … , an ga ularning eng katta umumiy bo’luvchisini MO amal n – ar algebraik amaldir

Bitta A to’plamda aniqlangan barcha algebraik amallar f1, f2, …, fs bo’lsin.
3-ta’rif. Bo’sh bo’lmagan A to’plam va unda aniqlangan algebraik amallar to’plami Ω dan tuzilgan juftlikka algebra deyiladi. Agar Ω dagi amallar soni chekli bo’lsa, ular sanab ko’rsatiladi, ya’ni < A; f1, f2, …, fs > ko’rinishida yoziladi. A = < A Ω > - bo’sa A to’plamga A algebraning asosiy to’plami deyiladi. α – algebraik amalning rangi r(f) ko’rinishda belgilanadi. r(f1), r(f2), …, r(fs) ga
< A; f1, f2,… fs > algebraning tipi deyiladi.
, tipli
, tipli
, tipli algebradir.


Download 1.76 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling