Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Ta’rif. Agar berilgan chiziqli tenglamalar sistemasiga mos bir jinsli sistema faqat nol yechimga ega bo’lsa berilgan chiziqli tenglamalar sistemasiga normal sistema deyiladi. (1) sistema normal bo’lsa L={0} bo’lar ekan. Bu yerda quyidagi tasdiq o’rinli.
Birgalikda bo’lgan tengsizliklar sistemasi normal boʻlishi uchun K yechimlar sohasi birorta ham to’g’ri chiziqning tegishli boʻlmasligi zarur va yetarlidir Haqiqatdan ham agar sistema normal bo’lsa L={0}, u holda K birorta ham to’g’ri chiziqni o’zida saqlamaydi (2-lemma) tasdig’idan kelib chiqadi.
Biz ushbu paragraflarda (1) sistemani birgalikda va normal deb qarab uning yechimlar sohasini tekshiramiz. Avvalo yuqoridagi K sohaga birorta ham to’g’ri chiziq tegishli emas degan tasdiqdan uning uchga ega ekanligi kelib chiqadi. Uch tushunchasini biz quyidagicha tushuntiramiz.
K sohada to’la yotuvchi birorta ham kesmaning ichki nuqtasi deb qaralmaydigan A K nuqta K sohaning uchi deyiladi. Boshqacha so’zlar bilan aytganda K ning uchi deb shunday A nuqtaga aytiladiki bu nuqtadan o’tuvchi K sohaga tegishli har bir kesma uchun A nuqta boshlanish nuqtasi yoki oxirgi nuqtasi bo’lishi kerak. (29-shaklga qarang).

K sohaning uchlarini topish uncha qiyin emas.(1) dagi
i=tengsizlikka koordinata tekisligidagi
a₁x+b₁y+c₁=0, (i=1,2,...,m)
tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziq bilan chegaralangan yarim tekislik mos keladi.Tushunarliki A K nuqta ikkita turli chegaraviy to’g’ri chiziqlarga bo’lgandagina uch bo’ladi.
Agar
(6)
Sistemaning ixtiyoriy 2 ta tenglamasidan tuzilgan qismiy sistemasi yagona (x,y) yechimga ega bo’lsa bundan qismiy sistemalarni to’g’ri qismiy sistema deb ataymiz.
Yuqorida aytilganlardan K ning uchlarini topish uchun quyidagi qoida kelib chiqadi.
K sohaning barcha uchlarini topish uchun (6) ning barcha to’g’ri qismiy sistemalarining yechimlarini topib ular orasida dastlabki (1) sistemani qanoatlantiruvchilarini ajratib olish kerak. (b) dagi to’g’ri qismiy sistemalar soni va demak uchlar soni ham C_m²= = 0,5m(m-1) dan ko’p emas. Demak K sohaning uchlari soni chekli.