Bob I. Nostandartlarni o'rganish bo'yicha uslubiy tavsiyalar tenglamalarni yechish usullari. Ikkinchi boyitish fabrikasida o`qitish xususiyatlari

2-BOB. TENGLAMALARNI YECHISHNING NOSTANDART USULLARI.
Bu erda to'plangan tenglamalar unchalik qiyin emas, lekin mashq qilganingizda ular yanada murakkablashadi. Tenglamalarni echishning ba'zi usullarini shartli ravishda nostandart deb atash mumkin. ODZni o'rganish yordamida tenglamalarni yechish. Tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni (ODZ sifatida qisqartirilgan) - bu uning chap va o'ng tomonlari mantiqiy bo'lgan noma'lum qiymatlar to'plami. Ushbu bo'limda biz irratsionallikdan xalos bo'lgan standart usulda echilishi mumkin bo'lgan irratsional tenglamalarning echimini ko'rib chiqamiz va keyin tekshiramiz. Ammo bu usul mashaqqatli hisob-kitoblarga, to'rtinchi, oltinchi darajali ratsional tenglamalarni echishga olib keladi, ularni echish juda qiyin. Ba'zi tenglamalarni yechishda ODZ tenglamasini bilish va ba'zi baholarni qo'llash uning barcha ildizlarini topish yoki ularning mavjud emasligini isbotlash imkonini beradi. Talabalarni darsdan oldin uyda 2 ta shunday tenglamani yechishga taklif qilaman. Ko'pincha, ular mantiqsizlikdan xalos bo'lib, bu tenglamalarni echishga harakat qilishadi, lekin sinfda ratsional echimni tanlaydigan 1-2 kishi bor, bu ma'qul. Keyin biz tenglamalarni echishning ikkala usulini birgalikda ko'rib chiqamiz. Misollar. 1) tenglamani yeching - = - Yechish: ko'rinib turibdiki, bu tenglamani echish uchun tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirishingiz mumkin, bu sizga irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. 11x + 3-2 + 2x = 9x + 7-2 + x-2 Keling, shunga o'xshash 10x + 5-2 ni beraylik = 10x + 5-2 = . Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirgandan so'ng, biz o'xshashlarini beramiz va standart kvadrat tenglamani olamiz. 20x 2 -30x-20 = 0, 2x 2 -3x-2 = 0, x 1 = , x 1 = 2 x 2 = , x 2 = -0,5 Olingan ildizlarni tekshirish kerak, chunki kvadratlashtirishda begona ildizlarni olish mumkin. Imtihon: x = 2, - =5, - =5, 5=5 bu tenglamaning x = 2 ildizi x = -0,5, - = - x = -0,5 - begona ildiz. Javob: x = 2 Biroq, y = funktsiyalarini aniqlash sohalarini solishtirish , (x-2 0, x 2) va y = , (2 , biz dastlabki tenglamaning aniqlanish sohasi x = 2 degan xulosaga kelamiz. Bu tenglamada x = 2 ni almashtirsak, x = 2 bu tenglamaning yagona ildizi degan xulosaga kelamiz. Javob: x = 2. Shubhasiz, bu tenglamani ikkinchi usulda yechish birinchisiga qaraganda qulayroq va tezroq. Yana bir nechta shunday tenglamalarni ko'rib chiqing. 2) tenglamani yeching + = -1. Yechish: bu tenglamaning ODV ni toping. Buning uchun tengsizliklar tizimini yechish kerak: x 2 -x , 2-x-x 2 >0, , x = 0, x = 1 -1 Demak, bu tenglamaning ODV ikki elementli to'plamdir ... Keling, ushbu qiymatlar tenglamaning ildizlari ekanligini tekshiramiz: x = 0, + = -1 =-1, , x = 0 - tenglamaning ildizi emas. x = 1 + =0 -1=0, 0=0 x = 1 - tenglamaning ildizi. Javob: x = 1. 3) Tenglama nechta ildizga ega. Yechim: Bu tenglama hech qanday haqiqiy x uchun aniqlanmagan. Javob: tenglamaning ildizlari yo'q. 4) tenglamani yeching: Yechish: tenglama sohasi: Bu tenglama quyidagi tizimga teng: (x-4) (x-2) = (12-3x) 2, 12-3x 0. 12-3x 0, x 4. Tenglama sohasini hisobga olgan holda, yagona mumkin bo'lgan ildiz faqat x = 4 bo'lishi mumkin, tekshiring: x = 4 - tenglamaning ildizi. Javob: x = 4. 5) tenglamani yeching: Yechish: Bu yerda radikal qo‘rg‘oshinni ketma-ket kvadratlashtirish va unifikatsiya qilish orqali tenglamani yechishga urinishlar to‘rtinchi darajali tenglamaga olib keladi va boshi berk ko‘chaga olib keladi. Keling, bu tenglamaning chap tomonidagi ifodalar qanday ma'noga ega bo'lgan sharoitlarni yozamiz. 5 0, x 5, 7 0, x 7, hech qanday yechim yo'q. 2x-15. NS 7,5. Ko'ramizki, berilgan tenglama aniqlanadigan haqiqiy x yo'q. Javob: ildiz yo'q. Bir nechta qiymatlar yordamida tenglamalarni yechish. Ba'zi tenglamalarni echishda qiymatlar to'plamini topish tenglamalarni echish muammosini sezilarli darajada osonlashtiradi. Bu usul fikrlash madaniyati rivojlangan bolalar orasida keng tarqalgan. O'rganish oson, ular ko'pincha boshqa tenglamalarni yechishda uni qo'llashga harakat qilishadi. 1) Tenglamani yeching: Yechish: bu tenglamaning aniqlanish sohasini toping: Keling, tenglamalarning o'ng va chap tomonlarini baholaylik: ya'ni, va . Tenglamaning chap tomoni o'ngdan kattaroq, ya'ni bu tenglamaning ildizlari yo'q. Javob: ildiz yo'q. 2) tenglamani yeching: . Yechish: bizda standart irratsional tenglama bor. Biroq, kvadratga shoshilmaylik. Boshlash uchun biz tenglamaning ODZ ni topamiz: anglatadi beri u holda tenglamaning chap tomoni 2 dan katta, o'ng tomoni esa 1. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q. Javob: ildiz yo'q. 3) Tenglamani yeching: 2 cosx = cosx + . Yechish: tenglamaning o'ng va chap tomonlarini qayta baholang. Chunki , keyin tenglamaning chap tomoni . Tenglamaning o'ng tomoni ijobiy bo'lishi kerak, chunki 2 t> 0, shuning uchun cosx> 0. Koshi tengsizligidan foydalanish . Keyin, agar bu tenglamaning ildizi mavjud bo'lsa, faqat tenglamalarning o'ng va chap tomonlari 2 ga teng bo'lsa. x = 2Pk, k Javob: x = 2Pk, k Z. 4) tenglamani yeching: Yechim: a Ushbu tenglamaning yechimi tizimga ekvivalentdir: Tizimning birinchi tenglamasidan x = 0 ni olamiz, x = 0 sistemaning ikkinchi tenglamasining yechimi ekanligini tekshiramiz: x = 0 - tenglamaning ildizi. Javob: x = 0. 5) tenglamani yeching: Ushbu tenglamaning yechimi avvalgisiga o'xshaydi: aniq x 2 va jurnal beri logarifm asosi 3> 1, va 1- (3 x -1) 2 1, tenglama tizimga ekvivalent: x = 0 - tenglamaning ildizi. Javob: x = o. 6) Tenglamaning butun ildizlarini toping: (6-x) (x-2) (x + 3) (x + 9) = 24x 2 Yechish: bu tenglama bitta imtihonda taklif qilingan, biz bu tenglamaning yechimini ikki usulda ko'rib chiqamiz: tenglamaning chap va o'ng tomonlarini baholash orqali, ikkinchisi esa transformatsiyalar yordamida. Birinchi usul, menimcha, uni hal qilish uchun ketadigan vaqt nuqtai nazaridan sodda va tejamkorroq. a) bu tenglamaning o'ng tomoni manfiy emas, ya'ni (6-x) (x-2) (x + 3) (x + 9) 0 bo'lsa, biz ushbu tengsizlikni intervallar usuli bilan echamiz: - + - + - 9 -3 2 6 x Bu tenglamaning butun yechimlarini erkin hadning bo'luvchilari orasidan izlash kerak, 6 (-2) 3 9 = -324 ga teng. Biz tengsizlikning yechimi bo'lgan barcha butun qiymatlarni sanab o'tamiz: 9, -8, -7, -6, -5, -4, -3,2,3,4,5,6. Shubhasiz, 6,2, -3, -9 tenglamaning ildizlari emas (chunki bu qiymatlar uchun tenglamaning chap tomoni nolga teng, o'ng tomoni esa nolga teng) -7,5, -8 raqamlari -324 sonining bo'luvchilari emas. Keling, yechimlar -6, -4,3,4 raqamlari ekanligini tekshirib ko'ramiz. x = -6, 12 ⋅ (-8)⋅ (-3) ⋅ 3 =864, 24 ⋅ 36=864, 864=864. x = -4, 10 ⋅ (-6) ⋅ (-1) ⋅ 5=300, 24⋅ 16=384, 300384. x = 3, 3 ⋅ 1 6 ⋅ 12 =216, 24⋅ 9=216, 216=216. x = 4, 2 ⋅ 2⋅ 7 ⋅ 13=364, 24⋅ 16=384, 364384. Demak, x = -6, x = 3 tenglamaning butun ildizlari. Javob: x = -6; x = 3. b) bir xil tenglamani boshqa usulda yechamiz: (6-x) (x-2) (x + 3) (x + 9) = 24x 2, keling, ba'zi o'zgarishlarni amalga oshiramiz: (6x + 18-x 2 -3x) (x 2 + 7x-18) = 24x 2 (-x 2 + 3x + 18) (x 2 + 7x-18) = 24x 2 x = o tenglamaning ildizi emasligi aniq, tenglamaning ikkala tomonini x 2 ga bo'lamiz. X 2 (x- -3) (x- +7) = 24x 2, (NS- -3) (x- +7)=-24, Bo'lsin keyin (t -3) (t +7) = - 24, t 2 + 4t -21 = -24, t 2 + 4t + 3 = 0, t 1 = -1, t 2 = -3. / NS x 2 + x-18 = 0, x 1,2 = - tenglamaning integral yechimlari emas. /NS x 2 + 3x-18 = 0, x 3 = -6, x 4 = 3. Javob: x = -6; x = 3. 7) tenglamani yeching: Yechish: Bu tenglamani yechishning kvadratik usuli sakkizinchi darajali ratsional tenglamaga olib keladi, uning ildizlarini topish oson emas. E'tibor bering, tenglamaning chap tomoni x o'zgaruvchisining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun mavjud va o'ng tomoni shart ostida salbiy emas. E'tibor bering, esa Shuning uchun, tenglamaning ikkala tomoni 3 ga teng bo'lsa, dastlabki tenglamaning chap tomoni o'ng tomoniga teng bo'lishi mumkin. Demak, x = 0 tenglamaning yagona ildizidir. Javob: x = 0. 8) Tenglamani yeching Yechish: Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solish orqali ildizlarni topishga urinish muvaffaqiyatsizlikka mahkum. Tenglamaning chap tomoniga funksiyaning mavjudligi shartini yozamiz.Bu tengsizlikning yechimi ham muammoli. O'ng tomon manfiy emasligini tekshirib ko'raylik –1-2x 2>0, bu tengsizlikning yechimi yo'q, lekin asl tenglamaning ildizi yo'q, chunki chap tomoni uning manfiy bo'lmagan funktsiyasidir. Javob: ildiz yo'q. 9) Tenglamani yeching Yechim: agar oldingi ko'plab tenglamalar uchun an'anaviy usulni topish mumkin bo'lsa - odatiy maktab mulohazalaridan foydalangan holda yechim, ammo ko'proq vaqt sarflash. Va bu tenglama bizni bu tanlovdan mahrum qiladi. Odatda bunday vazifalar shartli ravishda nostandart deb ataladi. Bunday tenglamaning "ko'rinishi" allaqachon uni hal qilish uchun noan'anaviy narsani o'ylab topish kerakligini ko'rsatadi. Keling, tenglamaning o'ng tomonini baholaymiz: , biz tenglamaning chap tomonini taxmin qilamiz: , , . Asl tenglama faqat qulay = 1 bo'lsa, ildizlarga ega bo'ladi, keyin qulay = 1 demak, x = 0, y = 0. Javob: (0; 0). Tenglamalarni yechishda funksiyalarning monotonligidan foydalanish. Ularni tuzuvchi analitik ifodalar har bir tenglama bilan bog‘langan. Ikkinchisi, o'z navbatida, bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalarini belgilashi mumkin. Demak, funksiyalarning mavjudligi, to‘g‘rirog‘i, ularning xossalari bu turdagi masalalarni yechishga ta’sir etmay qolmaydi. Shunchaki, ba'zi hollarda biz funktsiyalarning xususiyatlaridan yashirincha foydalanamiz, boshqalarida esa ularga aniq murojaat qilamiz. Ba'zan funktsiyalarning xususiyatlariga urg'uning "ochiq" siljishi echimlar uchun oqilona g'oyalarni izlashda muhim foyda keltirishi mumkin. Ko'pincha biz bunday tenglamalarga duch kelamiz, ularda ildizni moslash usuli bilan aniqlash oson, ko'pincha bitta. Hamma narsa oddiydek tuyuladi, lekin tenglamani yechish nafaqat uning ildizini topishni, balki uning yagona ekanligini isbotlashni ham anglatadi. Bunga duch kelgan ko'pchilik bu tenglamani standart usulda echishni boshlaydi, bu chalkash va murakkab bo'lishi mumkin. Ammo funksiyalarning monotonlik xossalarini qo‘llasak, ko‘plab shunga o‘xshash tenglamalarni yanada oqilona yechish mumkin. Asosiy g‘oya quyidagicha: agar f (x) monoton ortib, g (x) monoton kamaysa, f (x) = g (x) tenglama ko‘pi bilan bitta yechimga ega, agar x = x 0 ning yechimi bo‘lsa. bu tenglama, u holda x> x 0 uchun (x ikkala f (x) va g (x) funktsiyalarni aniqlash sohasiga kiritilgan) f (x)> g (x) bo'ladi va x uchun Keling, aytilganlarni misollar bilan tasdiqlaylik: 1) Tenglamani yeching: 3 x +4 x = 7 x. Yechish: tenglamaning ikkala tomonini 7x ga bo'ling, ko'rinib turibdiki, x = 1 tenglamaning ildizi va u faqat bitta tenglamaning chap tomoni monoton kamayuvchi funktsiyadir. Shuning uchun u har bir qiymatni bir marta oladi. Javob: x = 1. 2) tenglamani yeching: Yechish: Bunday tenglamani echishning an'anaviy usuli hammaga ma'lum. X = 1 ildiz ekanligini ko'rish oson. Tenglamaning chap tomoni ortib boruvchi funktsiyani, doimiyning o'ng tomonini o'rnatadi. Shuning uchun bu tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega bo'lishi mumkin. Javob: x = 1. 3) tenglamani yeching: Yechish: x = 1, funktsiya y = to'plamda ortadi bir xil to'plamda y = kamayadi. Shuning uchun x = 1 yagona ildizdir. Javob: x = 1. 4) tenglamani yeching: Yechish: tenglamaning chap tomonida joylashgan funksiya taqsimlanish hududida monoton ravishda ortadi., o'ng tomonidagi funksiya esa kamayadi. Shuning uchun bu tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Ildiz qiymati osongina x = 1 ga mos keladi. Javob: x = 1. 5) Tenglamani yeching: 3 x-1 = 5-x. Yechish: x = 2 shundan beri yagona ildiz y = 3 x-1 monoton ortib boruvchi funksiya, y = 5-x esa monoton kamayuvchi funktsiyadir. Javob: x = 2. 6) tenglamani yeching: Yechish: Bu tenglamani to‘rtinchi darajali ratsionalga “aylantirish” oson. Ikkinchisining ildizlarini topish qiyin va bu vazifani engish uchun talaba yuqori darajadagi zukkolikka ega bo'lishi kerak. Keling, kamroq an'anaviy usulni tanlaylik: x = 3 tenglamaning ildizi ekanligini topish oson. Tenglama sohasi Ammo endi, ilgari ko'rib chiqilganlardan farqli o'laroq, tenglamaning chap tomoni monoton funktsiyani aniqlamaydi. Biroq, intervalda belgilangan funksiya ortadi va x = 3 bu intervalga tegishli. Demak, intervalda bu tenglama bitta ildizga ega. y = funktsiyasining harakatini tekshirish qoladi segmentida da a segmentida asl tenglamaning ildizlari yo'q. Javob: x = 3. 7) Tenglamani yeching: 4 3 3x + 1 + 4 = 5 2 9x. Yechish: bu tenglamani xuddi shunday yechish mumkin emasdek tuyuladi, oldingilar kabi. Ammo agar siz 3x = t ni almashtirishni amalga oshirsangiz, u holda funktsiyalarning monotonligidan kelib chiqib, t uchun tenglamani yechishingiz mumkin va keyin asl tenglamaning ildizini topishingiz mumkin. , t = 1 - ildiz. Tekshiring: 12 3 1 + 4 = 36 + 4 = 40, 5 2 3 = 40, 40 = 40 t = 1 ildiz, uning yagona ekanligini isbotlang, buning uchun tenglama shaklini o'zgartiramiz. 12 3 t + 4 = 5 2 3 t / 3 t Funktsiya y = 5 monoton ortib boruvchi va y = har qanday t uchun monoton kamayuvchi, shuning uchun t ga nisbatan tenglama faqat bitta ildizga ega bo'lishi mumkin t = 1, ya'ni dastlabki tenglama faqat bitta ildizga ega x = Javob: x = Fikrni o'zgartirishni ko'rib chiqing: agar f (x) monoton ravishda ortib, g (x) monoton ravishda kamaysa, f (x) = g (x) tenglama ko'pi bilan bitta yechimga ega bo'lsa, u quyidagilardan iborat bo'ladi: agar f (x) ) monoton funktsiya bo'lsa, f (x) = f (y) tengligidan x = y bo'ladi. Tenglamalarni yechishda bu fikrdan foydalanamiz. 8) log 6- x log 2 x = log 7- x log 2 (2x) tenglamasini yeching. Yechish: tenglamani aylantiring: f (t) = log t (t +1) funktsiyasini ko'rib chiqing. Bu funktsiya t>1 uchun monoton kamayishini isbotlaylik. f (t) -1 = log t (t +1) -1 = log t -hosil bo`lgan funksiya aniq kamayib bormoqda (logarifm belgisi ostida asos kattalashadi, funksiya kamayadi). Bizning tenglamamiz: f (6-x) = f (log 2 x), shuning uchun log 2 x = 6-x. Chap tomonda funktsiya ortib bormoqda, o'ngda - kamaymoqda, shuning uchun yechim yagona, uni tanlash orqali osongina topish mumkin: x = 4. Javob: x = 4. 9) Tenglamani yeching Yechish: x 2 -4x-2 = t, t> 0 bo'lsin. | : 2 Bo'lsin , , beri funktsiyasi monotondir (biz buni oldingi tenglamada isbotladik) keyin f (a) = f (t) a = t ga teng, ya'ni. tenglamani olamiz Javob: . Tenglamalarni yechishda ekvivalentlikdan foydalanish. f (f (x)) = x ko'rinishdagi tenglamalarni yechishda quyidagi teorema foydali bo'ladi: Agar y = f (x) monoton ortib borayotgan funktsiya bo'lsa, f (x) = x va f (f (x) tenglamalari. )) = x ekvivalent.
Bu teoremadan qanday foydalanish mumkinligiga bir necha misollar keltiramiz. 1) tenglamani yeching Yechish: tenglamani qayta yozing: f (x) = 1 + funksiyasini ko'rib chiqaylik , bu funksiya monoton ravishda ortadi. Bizda f (f (x)) = x tenglama mavjud. Teoremaga muvofiq, uni f (x) = x yoki ekvivalent tenglama bilan almashtiramiz ... Bo'lsin ... Bizda 2 -y-1 = 0, y 1,2 = ; y 1 = , y 2 = - shartni qoniqtirmaydi . , , x = . Javob: x = . 2) tenglamani yeching . Yechish: tenglamani aylantiring .
Bu tenglama quyidagi ko'rinishga ega: f (f (x)) = x, bu erda f (x) = , bu funksiya monoton ravishda ortadi. Teoremaga ko'ra, bizda ekvivalent tenglama mavjud: x 3 -2x + 1 = 0, (x-1) (x 2 + x-1) = 0. x 1 = 1 yoki x 2 + x-1 = 0, x 2,3 = Javob: x 1 = 1, x 2 = , x 3 = 3) tenglamani yeching Yechim: keling, ba'zi o'zgarishlar qilaylik , Bu tenglama x = f (f (x)) ko'rinishga ega, bu erda f (x) = , f (x) - monoton ravishda ortadi. Shuning uchun tenglama ga ekvivalentdir ... O'zgartiring , biz 2y 3 -y-1 = 0 ni olamiz. y 3 -y + y 3 -1 = 0, y (y 2 -1) + (y-1) (y 2 + y + 1) = 0, (y-1) (y 2 + 1 + y 2 + y + 1) = 0, (y-1) (2y 2 + y + 1) = 0 y = 1, 2y 2 + y + 1 = 0 tenglamaning ildizlari yo'q. , x = 1. Javob: x = 1. 4) ln (1 + ln x) = x -1 tenglamani yeching. Yechim: ln (1 + lnx) + 1 = x, Bu tenglama x = f (f (x) ko'rinishga ega, bu erda f (x) = ln x + 1. f (x) = 1 + lnx - x> uchun monoton ravishda ortadi. 0 , shuning uchun tenglama x = ln x + 1, x-1 = ln x tenglamaga ekvivalentdir. Bu tenglamani grafik tarzda yechamiz: y = x-1 - bu funksiyaning grafigi koordinatalari (0; -1), (1; 0) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir. Funktsiya y = lnx x> 0 uchun aniqlanadi. Shubhasiz, x = 1-tenglama ildizi, uning o'ziga xosligi grafik jihatdan tasdiqlangan. Javob: x = 1. Tenglamalarni yechishda funksiya paritetidan foydalanish. 1) 2x 8 -3ax 6 + 4x 4 -ax 2 = 5 tenglama a ning ba'zi bir qiymati uchun beshta ildizga ega bo'lishi mumkinmi? Yechish: f (x) = 2x 8 -3ax 6 + 4x 4 -ax-5 funksiyasini ko'rib chiqaylik. U barcha haqiqiy x uchun aniqlangan, juft, chunki f (x) = f (-x) va soha nolga yaqin simmetrikdir. f (x) funksiyaning grafigi ordinataga nisbatan simmetrik, ya’ni aniqlanish sohasidan istalgan x uchun, aniqlanish sohasidan -x va faqat x = 0 o‘ziga simmetrikdir. U holda, agar asl tenglamada toq sonli (beshta) ildiz bo'lsa, u holda x = 0 tenglamaning ildizidir. Tekshirish orqali biz x = 0 tenglamaning ildizi emasligiga ishonch hosil qilamiz - 0 = 5. Bu shuni anglatadiki, asl tenglama yo'q a uchun beshta ildizga ega bo'lolmaydi. Javob: har qanday haqiqiy uchun emas, lekin 2x 8 -3ax 6 + 4x 4 -ax 2 = 5 tenglama beshta ildizga ega bo'lishi mumkin emas. 2) 3 x +3 -x = ax 4 + 2x 2 +2 tenglama ekanligini isbotlang. toq sonli ildizlarga ega. Yechish: f (x) = 3 x +3 -x -ax 4 -2x 2 -2 funksiyani ko'rib chiqaylik. U barcha haqiqiy x uchun aniqlanadi va juftdir. Oldingi masalaga ko'ra, agar uning toq sonli ildizlari bo'lsa, u holda x = 0 asl tenglamaning ildizi hisoblanadi. Tekshiramiz: 3 0 +3 0 = 2, 0 + 0 + 2 = 2, 2 = 2. x = 0 - tenglamaning ildizi, ya'ni dastlabki tenglamaning toq sonli ildizlari bor. Javob: 3 x +3 -x = ax 4 + 2x 2 +2 tenglamaning toq sonli ildizlari bor. 3) a parametrining barcha haqiqiy qiymatlarini toping faqat bitta yechimga ega. Yechish: f (x) = funktsiyasini ko'rib chiqing , dan beri barcha haqiqiy x uchun aniqlanadi f (-x) = f (x) va domen nolga yaqin simmetrikdir. f (x) funksiyaning grafigi ordinata o'qiga nisbatan simmetrik, x = 0 o'ziga simmetrikdir. Shunday qilib, x = 0 yagona yechim yoki bir nechta echimlardan biri bo'lishi mumkin. f (0) ni toping. f (0) = 4 0 -2 0 a + 4 = 5-a. f (0) = 0, agar a = 5 bo'lsa. f (x) = 0 tenglamasi ikki yoki undan ortiq yechimga ega bo'lgan a ning qiymatlarini istisno qilish uchun biz tekshiramiz. Agar a = 5 bo'lsa, f (x) = 0. ... Bu tenglamani almashtirish orqali yechish , olamiz , x = 0 yoki x = 2; x = -2. Ya'ni, f (x) = 0 tenglama uchta yechimga ega, bu erda x = 0 ulardan biri. 1, ikkita ildiz da; ... = = Bunday holda, tenglik shartga muvofiq amalga oshiriladi , keyin Javob:

XULOSA.
Ushbu ishda tenglamalar echimlari noan'anaviy usullar bilan to'plangan bo'lib, ular yordamida ancha murakkab muammolarni hal qilish mumkin. Nostandart yechim funksiyalarning xossalariga, o‘rtacha arifmetik va geometrik o‘rtacha o‘rtasidagi tengsizlikka, vektorlarning nuqta ko‘paytmasiga asoslangan mantiqiy fikrlash yo‘li bilan mashaqqatli matematik o‘zgarishlardan qochish va ba’zan yechish mumkin bo‘lmagan tenglamani yechishdan iborat. standart usullar. Yuqorida faqat tenglamalar ko'rib chiqilganiga qaramay, ushbu usullar yordamida boshqa muammolarni hal qilish mumkin. Afsuski, tenglamalarni yechish usullari bo'yicha aniq tasniflash mumkin emas. Yechish usulini tanlash talaba tomonidan boshlang'ich tenglamalarni tahlil qilish asosida amalga oshirilishi kerak. O`quvchilarning aqliy madaniyati topshiriqlar tizimi orqali rivojlanadi. Tenglamalarni nostandart usullarda yechishda savollar tug'iladi, yechishning yangi usulini topishga qiziqish paydo bo'ladi. Ushbu mavzu oxirida seminar bo'lib o'tdi, unda bolalar tenglamalar yoki tenglamalar tizimini echish usullarini taklif qilishdi. Amaliy darsda ishlash talabada zamonaviy shaxs uchun muhim bo'lgan kompetensiyalarni shakllantirishga imkon beradi: zarur bilimlarni mustaqil ravishda egallash, ularni amaliyotda qo'llash, axborot bilan malakali ishlash, uni tahlil qilish va tanqidiy qayta ishlash qobiliyati. , munozaralarda pozitsiyani egallash qobiliyati va nihoyat, jamoada hamkorlik qilish va ishlash qobiliyati Tajriba shuni ko'rsatadiki, zamonaviy maktab sharoitida quyidagi so'zlar dolzarbdir: “Menga ayting va men unutaman. Menga ko'rsating va men eslayman. Menga o'zim harakat qilaylik, men o'rganaman."