Боб. Параболик ва гиперболик тенгламаларни тақрибий ечиш чекли айирмали схемаларнинг асосий тушунчалари Асосий тушунчалар

4 . Турғунликни текшириш. Cхемаларнинг хусусий ечимларини гармоника
, кўринишида излаймиз. Бу хусусий ечимни (12) ва (13) га қўйиб қуйидаги дисперсион муносабатларни (характеристик тенгламларни) топамиз ( деб оламиз):
,
.
Аввало, . Юқоридаги тенгликларнии бир хил кўпайтувчилар га қисқартириб
, (15)
, (16)
дисперцион муносабатларни топамиз. Бу муносабатлар гармоника айирмали схеманинг қачон ечими бўлишини билдиради.
эканидан, агар ||>1 бўлса ва турғунлик йўқ. Агар бўлса ва турғунлик бўлиши мумкин. (16) дан доимо ва ошкормас схема доимо турғун экан. Ошкор схемада бўлиши учун бўлиши керак.
Демак, ошкор схема (12) шартли турғун, яъни , бўлса турғун ва ошкормас схемалар (13), (14) абсолют турғун экан.

5. 
   3-тур чегара масалани O(h²) хатолик билан апппроксимация қилиш.
   

(3)
; (4)
масалани қараймиз. Бу масалани қуйидагича аппроксимация қиламиз:
, (5)
, (6)
. (7)
Из уравнений (5) для k=0, k=m ) с помощью (6) ёрдамида ноъмалум ларни йўқотиб қуйидаги чегаравий тенгламаларга келамиз:
, (8)
. (9)
(5) да оралиқ тенгламалар ўзгартирилмайди. Натижада биз яна қуйидаги кўринишдаги ЧАТСни оламиз: .

6. Алгоритмлар. a) Ошкор (12) схемани ечиш масаласини кўрайлик. ни топамиз
(17)
.
Бу ердан кўринадики, чекли айирмали схемада факат икки қатлам нуқталари иштирок этяпти , ундан ташкари юқори қатлам да фақат битта ноъмалум қиймат бор . Демак, ( 17) асосида қатламда берилган бошлангич ва чегара шарт қийматларидан фойдаланиб қатламдаги, сўнг кейинги қатламдаги қийматларни ҳам реккурент формулалар (17) ёрдамида топишимиз мумкин экан.
b) Энди соф ошкормас схемани ечиш масаласини кўрайлик. Ҳар қатламда учта ноъмалум бор: . Уларни топиш учун ушбу уч диоганалли системани оламиз:
, (18)

Бу ерда ҳам иккита қатлам иштирок этяпти. Юқори қатламда уч номаълум, қуйи қатламда битта қиймат иштирок этяпти. Шунинг учун ҳам бу схемани соф ошкормас схема дейилади. Ечишни қатламдан бошланади. Бу қатламда (18) га прогонка усули қўлланилади. Биринчи қатламда номаълумлар топилгач, иккинчи қатламдаги номаълумлар яна прогонка усули билан топилади ва ҳоказо.
Соф ошкормас схемани қуйидагича ёзиш мумкин:
, (19)
бу ерда - векторлар ва матрица элементлари қуйидагича ҳисобланади:
;
;
,
c) Кранк-Николсон схемаси ҳам ошкормас схема бўлади ва қуйидача ёзиш мумкин:
.
Кранка-Николсон схемасини қуйидаги вектор-матрица кўринишда ёзиш мумкин:
, (20)
бу ерда - векторлар ва матрицалар қуйидагича аниқланади:
0-сатр.
i-сатр.

m-сатр.
Демак, алгоритмик томондан ошкор схема қулай, лекин шартли турғун, соф ошкормас ва Кранк-Николсон схемалари абсолют турғун, ва ҳар бир катламда уч диогоналли алгебраик тенгламалар системасини прогонка усули билан ечиш керак. Шартли турғунлик тўр қадамларига жиддий шарт қўяди, бу эса кўп ҳисоблашларни бажаришга олиб келади.
(17)-(20) чекли айирмали схемалар компьютерда программа тузилиб ёки математик тизимлар, масалан, Mathcad дастури ёрдамида ечилиши мумкин.