Боб. Параболик ва гиперболик тенгламаларни тақрибий ечиш чекли айирмали схемаларнинг асосий тушунчалари Асосий тушунчалар

1. ПДТ учун бошланғич чегара масала.
соҳада диффузия тенгламасининг бошланғич -чегара шартларга
, (1)
, , (2)
бўйсунадиган аниқ ечимини топиш талаб этилади. Фараз қиламизки, (1)-(2) масала ечими ягона ва мавжуд, бу ечим D соҳада узлуксиз ҳосилаларга эга.
2. ЧАС яратиш. Ечимни ЧАС усули билан тақрибий топамиз. Бунинг учун D соҳада тўғри чизиқлар

ёрдамида тўр ҳосил қиламиз .
Асосий белгилаш қуйидагидан иборат: .
Тўрнинг нуқталарида (1), (2) тенгламаларни ёзамиз:
( 3)
. (4)
Қисқалик учун ҳосиланинг чекли айирмали аппроксимациясини киритамиз:
. (5)
оператор ихтиёрий тўр функцияга ҳам шу каби таъсир эътади:
(6)
(3) тенгликларга кирувчи ҳосилаларни қуйидагича алмаштириш мумкин:
, (7)
, (8)
. (9)
Ҳосилани чекли айирмалар билан аппроксимация килишда ишлатиладиган тўрнинг нуқталар тўпламига шаблон дейилади. Энди (3) ларга ҳосилаларнинг (7)-(9) қийматларини қўямиз. Бошлангич-чегара шартларда ҳосила йук, улар аниқ аппроксимация қилинади. (3) га аввал ( 8), кейин (9) ни қўйиб икки хил тенгликлар ҳосил қиламиз:
. (10)
. (11)
Чексиз кичик микдоларни ташлаб юбориб ва деб икки хил чекли айирмали схема ҳосил қиламиз:
. (12)
. (13)
(12) схеманинг шаблони тескари (Т): . (13) схеманики эса (Т): . (12) ошкор схема дейилади, (13) соф ошкормас схема дейилади. Уларни қўшиб ва иккига бўлиб Кранк-Николсон схемасини оламиз (ётиқ H):
(14)
Энди схемаларни бошлангич-чегара шартлар билан бирга ёзамиз:

Ошкор ЧАС
Соф ошкормас ЧАС
Кранк- Николсон схемаси
БЧ шартлар

3. Аппроксимацияни текшириш. Бошлангич-чегара шартлар аниқ аппроксимация қилингани туфайли фақат дифференциал тенгламанинг аппроксимациясини текшириш колади. Ўнг томон ҳам аниқ аппроксимация қилинаяпти, шунинг учун ва аниқ ечим жадвали ни киритиб
( 10), (11) дан қуйидагини топамиз:

.
Иккала схема ҳам дифференциал тенгламани билан аппроксимация қилаяпти.
Кранк-Никольсон схемаси аниқлиги га тенг.
Демак, .