Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, 247-261.
© 1994 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

---

PIAGET AND SEMANTIC NETWORK THEORY
wholistic systems of operations. "Abstraction" then refers to the organiza-
tional aspect of the generated system of operations. It is not easy to define
the difference between systems of operations and combinations (i.e., sys-
tems) of schemata. It seems to me that the difference refers to a certain early
anticipation by Piaget of what are, in modern terms, the conceptual and pro-
cedural aspects of the same knowledge structure. As far as the combinations
(or systems) of schemata are concerned, they correspond to what Piaget
called "structure d'ensemble." In modern terms, we would call them parts of
semantic or other (e.g., arithmetic) networks. Thus, Piaget's "structures
d'ensemble" are no longer formal and generalized structures, but have ob-
tained, all of a sudden, the colorful face of semantic networks; but, never-
theless, the action as well as the internalization aspects should not be lost
from sight.
Internalization has to do with one of the most prolific concepts of
Piaget's, the "mise en relation," that is, the counterpart of "lecture des don-
nées" ("reading" from the information given). Having children look at, for
example, arithmetic material leads them to process surface features such as
colors, numbers, shapes, and so forth. This is "lecture des données,"
whereas connecting certain judgments about lengths, numbers, or positions
of the material without just "reading off" what they look like is what Piaget
calls "mise en relation" (Steiner 1974b, 1983) and what Bruner (1957,1973)
refers to as going "beyond the information given." This process corresponds
to internally connecting the elements of reasoning and internally operating
on the items of a task. Therefore, "mise en relation" leads per se to an inter-
nalization of connections according to an organizational plan that has been
abstracted from the former actions executed with and on the material at
hand. "Mise en relation" includes a connecting process that equals the con-
necting process through a "named relation" as stated by recent semantic
network theory (cf. Lindsay & Norman, 1972). Thus, Piaget's concepts of
"structure d'ensemble" as well as "mise en relation," seen as theoretical enti-
ties, have become parts of current semantic network or schema theories, al-
though under new terms.
Some of Piaget's concepts have proved not to be of great importance for
educational activities during elementary school grades and later.
Astonishingly enough, this is true for, for example, the famous "stage" con-
cept including the "décalage" problem (i.e., the time shift in the acquisition
of structurally identical systems of operations on materials that differ in
certain aspects of content or situational presentation). Juan Pascual-Leone
(1970, 1976) has dealt with both these concepts and the corresponding be-
havioral phenomena and provided the scientific community with an interest-
ing "neo-Piagetian" mathematical model for the transition from one devel-
opmental stage to the next one indicating the crucial variables that influence
the equilibration processes taking place during these transitions. Pascual-
248

---

GERHARD STEINER
Leone's contribution is a theoretical one to developmental theory, not so
much to teaching and education. For this reason I shall not go into it here.
Quite different considerations stem from a somewhat older disciple of
Piaget's: Hans Aebli, one of the very first PhD students and later critics. As
early as 1963, he focused on the stage concept and the "décalage" problem
showing that many factors other than just the structural organization are re-
sponsible for the developmental level (stage) of a child: the complexity of
the material to be learned, its concreteness, the time spent with the material,
the number of repetitions in dealing with the items, as well as the motivation
to cope with one problem or another. All these factors are of utmost impor-
tance for preparing learning situations not just in developmental experi-
ments but above all in classrooms. Following this line of reasoning, Steiner,
a student of Aebli's and, thus, of Piaget's in the second generation, at-
tempted to integrate Piaget's structural with Bruner's representational ap-
proach to development in order to avoid further problems with décalage-like
shifts in development or problems in teaching and learning due to different
aspects of materials or situations the child has to deal with (Steiner, 1974a).
A further and highly remarkable elaboration of Piaget's theory, another
version of neo-Piagetian thinking, was presented by Robbie Case (1978,
1985), who started from similar questions to those that Aebli was asking
years before. In Case's view, development is the result of a continuing reor-
ganization of executive strategies that a child uses in tackling problem situ-
ations that transcend former ones in complexity. Similar to Aebli's consid-
erations of factors affecting the child's operational level, Case stresses the
complexity and perceptual organization of a task and the individual's affec-
tive disposition (Aebli was focusing on motivation). But Case relies particu-
larly on two factors: (a) the M power (already focused by Pascual-Leone),
defining a child's short-term memory capacity, and (b) his or her cognitive
style (mainly the independence from distracting stimuli in the surrounding
environment). He used these two factors to emphasize the individual's con-
tribution to processing the information given in the problem situations. With
these factors in mind, it becomes possible to plan teaching as well as learn-
ing processes that correspond to the operational level of the child. However,
two points in task analysis have to be observed strictly by the planning ex-
perimenter or teacher: enhancing the salience of particular parts of the task
or the problem presented to the learning child and reducing task complexity.
(For an elaborated treatment of task complexity or "cognitive load," see,
also, Chandler & Sweller, 1991; Sweller, 1988.)
Back now to Piaget! His way of describing structural change in develop-
ment by means of formal and rather highly specialized mathematical struc-
tures such as groupings, groups, or even higher ones such as lattices
(Inhelder & Piaget, 1955; Piaget, 1947) has disappeared from any educa-
tional discussion. These structures have been criticized for their restricted
usefulness or rigidity in describing real behavioral development and change
249

---

PIAGET AND SEMANTIC NETWORK THEORY
and have been replaced by content-specific descriptions of development or
learning processes, respectively (Aebli, 1978, 1987).
As can be seen, there is a strong conceptual shift from Piaget's terms to-
ward current cognitive terms (and the corresponding view of the behavioral
phenomena) that fit in with the requirements of both educational learning
and instructional theories, particularly in regard to math education.
Therefore, we shall discuss the following problems mainly in terms of mod-
ern schema theory or network theory, respectively; but, from time to time,
the reader will be aware of the heritage of Piaget's theoretical approach.
2. SEMANTIC NETWORK THEORY AND SCHEMA THEORY
FOR MATH EDUCATION
It is a well-known statement that the use of schema theory in teaching is of
utmost importance (see, e.g., Glaser, 1984). Let me first clarify what I have
in mind when using the concept of "schema," what its relations to "semantic
networks" are, and, in particular, what "schema" means in mathematics edu-
cation.
Following the classical interpretation by Norman and Rumelhart (cf.
Rumelhart, 1978; Rumelhart & Norman, 1973, 1976), a schema is an acti-
vated part of a semantic network. "Semantic network," in turn, is the cogni-
tive psychologist's metaphor about how human knowledge is stored in and
can be accessed from memory. Thus, a schema is always a representational,
permanently modifiable unit, a meaning structure of a particular (although
restricted) scope that represents actions, operations (these latter ones as sys-
tems of internalized actions in Piaget's sense), or concepts.
Within an individual's semantic network, which contains his or her world
knowledge, there are certain domain-specific parts of knowledge such as
arithmetic or algebraic-mathematical knowledge. The nodes of the corre-
sponding algebraic-mathematical networks are the domain-specific concepts
such as the several kinds of numbers but also concepts like fraction, equa-
tion, function, and many others, while the relations that connect the concep-
tual nodes are defined by mathematical operations from simple additions up
to, for example, logarithmic operations. An algebraic-mathematical schema
is, accordingly, an activated part of the corresponding algebraic-mathemati-
cal network (AMN).
As far as the relations between schemata and rules or schemata and al-
gorithms are concerned, one could say that the schema contains (a) activated
conceptual knowledge from a certain part of an AMN, and this in two pos-
sible formats: symbolic or iconic (in Bruner's, 1966, sense); and (b) rules or
algorithms that constitute the corresponding procedural part of that same
schema knowledge. To obtain a complete knowledge of such rules, it is nec-
essary, according to Sweller and Cooper (1985), to acquire a large number
of schemata incorporating those rules, a statement, by the way, that I do not
agree with. I shall come back to this.
250

---

GERHARD STEINER
3. MICROANALYSIS OF ALGEBRAIC-MATHEMATICAL THINKING
3.1 Three Preliminary Remarks
1. The choice of factorizing trinomials and, very briefly, functions for mi-
cronanalysis is due to the fact that these areas offer themselves for demon-
strating several characteristics of math learning as well as the nature of
AMN.
2. The following microanalyses do not try to simulate school situations,
but allow a close look through the glasses of a cognitive psychologist work-
ing in educational psychology – after having taught himself for many years
on all levels.
3. Several authors have dealt with the analysis of algebra learning and
mathematical reasoning processes. Sweller and Cooper (1985), for example,
had their students construct schemata to transform equations by thinking
move by move through already solved problems, so-called "worked exam-
ples," instead of having them waste a lot of time by hunting for problem-
solving techniques. Zhu and Simon (1987), on the other hand, trained their
Chinese students in detecting the production systems (or rules) for factoriz-
ing elementary trinomials. The focus of these studies was on finding rules or
constructing a sequence of schemata. What is still missing according to my
view is an attempt to perform a careful application of semantic network
theory – here in the form of AMN theory – to algebra problems.
If ever the close connectedness of knowledge is crucial in regard to re-
trieving information, use of knowledge, problem-solving, and so forth (and
many studies, e.g., the ones using the expert/novice paradigm, support this
view), then we have to apply AMN theory very systematically and strin-
gently within the specific domain of mathematics learning.
251
3.2 Factorizing Trinomials
While tutoring our subjects, we always started from a mathematical situa-
tion including some operations that the student was already able to master,
for example, from the following trinomial (that, by the way, comes close to
the ones used by Zhu & Simon, 1987):
The knowledge for grasping the meaning of this trinomial (mentally
represented in what we call a schema) includes a complex compound of
subschemata that can be represented by the following graph (see Figure 1).
The first remarkable fact is that the trinomial as such is viable only in
connection with the to-be-squared binomial or, more generally, the to-be-
multiplied binomials.

---

PIAGET AND SEMANTIC NETWORK THEORY
Focusing from a theoretical point of view on the schema "factorizing tri-
nomials," one can recognize that it implies two complementary parts: the di-
rect part of "multiplying binomials" (marked by the arrows in the graph),
and the reverse part of "factorizing trinomials," both parts with a corre-
sponding set of subschemata: multiplications, additions, multiplicative as
well as additive decompositions, and some knowledge that is often over-
looked concerning commutativity laws (stemming from the partial multipli-
cations of x4 and 4x, respectively).
The conceptual knowledge of the "multiplying binomials/factorizing tri-
nomials" schema involves the above-mentioned subschemata as well as
their functional reversals in their full interplay. Such knowledge obviously
contains much more than just the procedural or algorithmic knowledge part
of the schema, which, in turn, often gives rise to plain manipulation of the
mathematical symbols at hand.
It was said that the schema is an activated part of the AMN. But of which
one? The answer is: Of the one on which the schema is instantiated. This
reveals the prototype character of a schema that enables individuals to inter-
pret one instance that they are faced with out of a set of other possible
instances. Applying algebraic network theory in this context means
instantiating schemata in a way of systematically enlarging the
corresponding AMN. This will be performed by progressive transformation
(see Figure 2).
Let us now progressively transform the trinomial and ask the student
what will happen to the left-hand side of the equation as a result of the re-
spective transformation. It should be noted that our example corresponds to
a slightly advanced level of handling trinomials, but not to the exact teach-
ing in a lesson since it is heavily abbreviated.
In classical math education in secondary schools, the problems to be
solved would typically look different: After a first problem, a second, a
third, a fourth one, and so forth would be exposed (written in the math work
book), each problem having its own alphanumerical appearance and its
operational structure, and would be solved by the execution of the
appropriate algorithms. Each of the problems would map in the student's
mind a certain microstructure basically isolated from the other ones within
the
AMN.
The situation is totally different with progressive transformations: Each
transformation leads to a freshly created equation, the corresponding acti-
252

---

GERHARD STEINER
253
vated micronetwork of which is, metaphorically, a "neighbor" of the forego-
ing one and, thus, leads to a systematic elaboration of the AMN.
Equation 1 to start with:
3.3 Cognitive Learning Requirements
The most important requirement to be fulfilled by the student is to carefully
anticipate the changes on the left-hand side of the equation before just
initiating some operational algorithm. Anticipations are, thus, the core pro-
cesses in handling transformations. This procedure implements the notion
that a schema is a source of prediction, an internal model to be instantiated:
Its function is to provide the student with the ability to interpret the situation
he or she faces. Good teaching helps the student to generate predictions,
hypotheses, or anticipations, which are tested finally by backward
multiplications that provide the student with feedback or debugging
information when errors occur or when insecurities dominate the reasoning
process – which is often the case in math learning. Such a procedure would
impede a poorly understood plain manipulation of algebraic symbols.
Anticipations usually include several sub- or microprocesses such as
comparisons as well as inferences as, for example, in Transformation 1:
Comparisons of the constant terms of the two right-hand sides of Equations

---

PIAGET AND SEMANTIC NETWORK THEORY
1 and 2:16 as 4 x 4,12 possibly as 3 x 4, and inferences regarding the con-
sequences of the multiplications for the coefficient of the linear term. By
means of a backward multiplication, the student may check whether or not
the anticipations were correct. As far as Transformation 2 is concerned
(with Equation 3 as transient result), the comparison microprocesses reveal
that doubling the numerical term of one of the binomials (6 instead of 3) has
the characteristic effect of changing not just the constant term but also the
linear term of the trinomial. To recognize this means to assimilate the in-
terplay of the subschemata involved.
The student proceeding in this way is far from passively receiving dis-
connected ideas or retrieving rote-learned facts, but is, instead, actively in-
volved in moving mentally within the algebraic-mathematical micronetwork
(AMMN) that is activated by each transformation. The comparisons back
and forth from one side of the equation to the other or from the former
equation to the latter involved in the anticipatory activities may remind us of
the "oscillating comparisons" between partial and final goals suggested by
Scardamalia and Bereiter (1985), although in a different learning context.
Whereas Transformations 1 and 2 are gradual in kind, just changing the
numerical size of some terms, Transformation 3 is quite different, rather es-
sential in kind, and the respective anticipations are much more complex than
in the foregoing examples: What remains unchanged? And where do
changes occur – at the surface rather than in the depth? Superficially, "10x"
remains the same, but the deep structure, in other words, the "operational
anatomy" changes remarkably. It is from the anticipation of two different
signs with the binomials (in the brackets) that the composition of the "10x"
may be anticipated.
It is with such anticipatory steps that the rules of the particular construc-
tions of both the linear and the constant terms are derived. I am returning
now to the aforementioned problem (tackled, as I said, by Sweller &
Cooper, 1985) of how many problems have to be solved or how many
schemata have to be instantiated to derive a rule: In my view, it is not a
question of the number of solved problems or schemata used, but rather a
question of the quality of the connections in the interplay of the respective
subschemata that are established by means of the anticipatory
microprocesses that go on in handling the transformation.
Let us have a look at Transformation 4 and ask a question concerning
long-term math learning goals with the progressive transformation's ap-
proach:
Equation 5 might be transformed spontaneously at a certain moment by the
students themselves to:
254

---

Progressive transformation does not only lead to new instantiations of
schemata or to tightening the AMMN but also sharpens the student's focus
for spontaneously finding possible transformations by which complex
problems can be turned – at least temporarily – into more simple and trans-
parent ones.
Thus, a long-term goal is to foster a learner's autonomy in tackling alge-
bra problems: The use of schemata made flexible by progressive transfor-
mations and elaborated AMMN provides the student with the cognitive
foundations as well as with the feeling of becoming mathematically more
and more self-efficient (Bandura, 1982). Progressive transformation always
leads to a motivational "optimal match" (Heckhausen, 1969).
3.4 AMMNs as Parts of AMNs
In well-constructed mathematics curricula, schemata from AMMN will be
integrated into more encompassing networks. For instance, the factorization
schema as an activated part of a micronetwork in its advanced form will be-
come an integrated part in schemata for understanding and handling func-
tions. To give an example:
The schema-bound knowledge or, more precisely, the conceptual symbolic
knowledge that is expressed in Transformation n may be matched with the
GERHARD STEINER
255
and be factorized by means of the now familiar schemata. With a systematic
progressive transformational treatment, the student becomes accustomed to
a new approach in handling complex cases of factorizations. He or she will
dare to tackle it, starting again (in the following example) by isolating a
common factor, and handling the trinomial according to an appropriate
schema use:
In the present functional Equation 6, the "factorizing schema" is an inte-
grated part of the "function schema," which, in turn, is the condition for un-
derstanding the equation as well as for representing it in a graph; the former
allowing, after Transformation 6, the factorization of the right-hand side of
the equation (following Thaeler, 1985, p. 238).

---

256
PIAGET AND SEMANTIC NETWOR K THEORY
corresponding iconic representation, the graph of the function, which can be
generated easily if the student has been led through several progressive
transformations of which the following line gives one possible example:
(The present "cumulative" representation of the graphs tries to illustrate the
progressive-transformative character of our instructional procedure.)
Combining factorizing schemata and function schemata including iconic
function representation knowledge shows a substitution of the one schema
under the other or, in other words, an integration of one AMMN into a more
encompassing AMN.
4. SOME PRELIMINARY EVIDENCE OF EFFECTS OF "PRO-
GRESSIVE TRANSFORMATION" – REPORT ON A PILOT STUDY
4.1 Method