Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

has the limit a as n tends to in-
finity if, corresponding to any positive number no matter how small, there may
be found an integer N (depending on 
such that:
EFRAIM FISCHBEIN
237
This is the abstract formulation of the notion of the limit of a sequence. Small
wonder that when confronted with it for the first time, one may not fathom it in a
few minutes. There is an unfortunate, almost snobbish attitude on the part of
some writers of textbooks, who present the reader with the definition without a

---

has the limit 0, for increasing n: as
But we cannot go directly from the intuitive representation to the formal,
rigorous definition. The formal definition reverses the order of ideas, con-
tradicts the natural, dynamic representation of the process. And this makes
the definition of limit, as a matter of fact, counterintuitive, difficult to grasp.
We do not start by describing the process of approaching a by a sequence of
numbers We 
start by mentioning, strangely enough, a positive number
"no matter how small," and afterwards we introduce N and 
That is, it
is not that depends on N (as happens in reality) – the interval be-
comes smaller as we go on increasing N (respective n) – but, in the formal
definition, we make N "dependent on " We reverse the natural order of
the thinking process.
As a matter of fact, the formal definition above is not entirely "purified"
from every intuitive element. The term "tends" ("the sequence
has the limit a as n tends to infinity . . .") is not a purely abstract term. We
continue to keep in mind, tacitly, an intuitive model. The term "tends" has a
psychological, not a mathematical or a physical meaning. People "tend to,"
are "inclined" to. "Tend to" has a connotation of desire, of aspiration.
Numbers do not tend. They exist or do not exist. The term "tends to" is what
remains from the initial intuitive, dynamic interpretation of the concepts of
convergence and limit. It expresses the potential infinity that is intuitively
238
FORMAL, ALGORITHMIC, AND INTUITIVE COMPONENTS
thorough preparation as though an explanation were beneath the dignity of a
mathematician . . . .
There is a definite psychological difficulty in grasping this precise definition
of limit. Our intuition suggests a "dynamic" idea of a limit as the result of the pro-
cess of "motion": We move on through the row of integers 1, 2, 3, . . . n,
. . . and then observe the behavior of the sequence
We feel that the approach
should be observable. But this "natural" attitude is not capable of clear
mathematical formulation. To arrive at a precise definition we must reverse the
order of steps; instead of first looking at the independent variable n and then at
the dependent variable
we must base our definition on what we have to do if
we wish actually to check the statement In 
such 
a procedure, we must
first choose an arbitrarily small margin around a and then determine whether we
can meet this condition by taking the independent variable n sufficiently large.
Then, by giving symbolic names, and N, to the phrases "arbitrarily small mar-
gin" and "sufficiently large n" we are led to the precise definition of limit.
(Courant & Robbins, 1941/1978, pp. 291-292)
Intuitively, it is relatively easy to understand, as Courant and Robbins say,
the concepts of limit and convergence. Intuitively, one may consider a se-
quence of numbers that 
come closer and closer to a certain number a as n
tends to 
The number a is then the limit of the sequence and 
the 
se-
quence is said to converge to a. If one adds also an example, things become
totally clear intuitively. For instance, one may consider the sequence whose
nth term is 
The series

---

acceptable. I suppose that mathematicians have felt intuitively that, by try-
ing to eliminate completely any intuitive residual (in this case, in which the
processuality is essential), they would have made the formal product mean-
ingless. The term "tends to" is a compromise between the dynamic of the
primitive, intuitive representation of convergence and the need to freeze an
infinite given set of elements in a formal definition. When one "tends," one
does not move, but one does not stay totally rigid either.
As an effect of this conflictual relationship between the formal definition
and the intuitive representation of the concept of limit, various misconcep-
tions may appear. Shlomo Vinner (1991) asked 15 gifted students in a pres-
tigious high school to define the concept of limit (after the concept had been
taught). Only one student gave a formulation that could be accepted, though
incomplete. The other 14 students exhibited some typical misconception.
Shlomo Vinner mentions the following main misconceptions:
1. A sequence "must not reach its limit" (thus the sequence 1, 1, 1, . . . would be
said not to converge to a limit).
2. The sequence should be either monotonically increasing or monotonically de-
creasing. Thus, for instance, the sequence whose nth element is given by
does not tend to a limit.
3. The limit is the "last" term of the sequence. You arrive at the limit after "going
through" infinitely many elements. (Vinner, 1991, p. 79)
As Cornu (1991) has shown, the term "tends to" possesses various primi-
tive meanings in the student's mind, and these interact with the formal con-
cept. "Tends to" may mean:
to approach (eventually staying away from it)
to approach . . . . without reaching it
to approach . . . . just reaching it"
to resemble (. . . such as "this blue tends towards violet") (Cornu, 1991, p. 154)
The interpretation the student will confer on the term "tends to" in relation
to the concept of limit will then depend on his or her intuitive model. The
student who does not accept that the sequence 1, 1, 1, ... does converge to a
limit (which is, in fact, 1) holds, intuitively, that "tends to" implies: (a) that
the intervals between the successive terms of the sequence and the limit
have to become smaller and smaller, and (b) that the limit is never reached.
Both conditions are never fulfilled in the above example (for a discussion of
the epistemological obstacles related to the concept of limit, see Cornu,
1991).
As a matter of fact, the concept of limit is a contradictory one (in the di-
alectical, Hegelian, sense) because our mind is naturally not adapted to the
conceptualization of actual infinity.
EFRAIM FISCHBEIN
239

---

Another example: The idea that the area of a circle is the limit of se-
quences of polygons cannot, in fact, be grasped intuitively: It is a contradic-
tory one. When we have the circle, we have no more polygons. Intuitively, a
polygon has a number of sides, maybe a very great number of sides. A
"something" that is simultaneously circle and polygon has no meaning at an
intuitive level. The contradiction may be eliminated only at a pure, formal
level. But the pure, formal level, is, itself, psychologically impossible. We
tend to it in mathematics, but, as a matter of fact, we never reach it psycho-
logically.
As an effect, we get the epistemological obstacles of the students con-
cerning the notions of limit and continuity, that is, the various partial inter-
pretations we may find in students (the limit is never reached or the limit is
always reached).
The same types of obstacle may be identified in the history of mathemat-
ics. Some mathematicians (like Robins, 1679-1751, see Cornu, 1991, p.
161) claimed that the limit can never be attained. Others, like Jurin (1685-
1750) said that the "ultimate ratio between two quantities is the ratio
reached at the instant when the quantities cancel out" (cited in Cornu, 1991).
These contradictory attitudes gave birth to the concept of "infinitesimals"
or "arbitrary small numbers" that express the effort to conceptualize a pro-
cess intuitively seen as endless.
Let me add another example. In a study devoted to measuring the degree
of intuitiveness of a solution (Fischbein, Tirosh, & Melamend, 1981), the
following question has been addressed:
Given a segment AB = 1m. Let us suppose that another segment is
added. Let us continue in the same way, adding segments of 
etc.
What will be the sum of the segments AB + BC + CD ... (and so on)? (Fischbein,
Tirosh, & Melamed, 1981, p. 494, 495)
The following categories of answers have been recorded:
240 FORMAL, ALGORITHMIC, AND INTUITIVE COMPONENTS
As one can see, only a very small percentage of students gave the correct
answer (S = 2). The explanation is that, as we mentioned above, actual in-
finity is counterintuitive. In order to accept that the sequence
. . . = 2, one has to grasp intuitively the entire actual infinity of the se-
quence. Because this does not happen, the students easily forget the correct
answer (S = 2) and consider the infinity of the sequence as a potential infin-
ity (the sum tends to 2, or the sum is smaller than 2).
Asking high school or college students to find the decimal equivalent of
they willingly write 
On the other hand, they would
hardly accept that 0.333 ... equals 
As in the above example, they claim
1. Sum = 2 (5.6%) (correct)
2. Sum 
= 
infinite 
(51.4%)
3. "The sum is smaller than 2" or "The sum tends to 2" (16.8%). (Fischbein,
Tirosh, & Melamed, 1981, p. 499)

---

that 0.333 ... tends to 
We encounter here the same type of intuitive ob-
stacle as above. In addition, one has to emphasize the following aspect:
If a student accepts that he 
or 
she 
should accept also that
The relation of equality is symmetrical. In reality, as it has
been shown (see Kieran, 1981), the intuitive, tacit model associated with the
equality sign is usually that of an input 
output process that is not sym-
metrical!
6. THE IMPACT OF A RIGID ALGORITHM ON
AN INTUITIVE REPRESENTATION
In a series of interviews with preservice mathematical teachers, the follow-
ing type of problem has been presented:
Five kilos of apples cost 15 shekels. How much will 7 kilos of apples cost?
It is a classical elementary problem of proportionality. Some solved the
problem by determining the price of one kilo (15 : 5 = 3) and, after multi-
plying by 7, they got: 3 x 7 = 21. Some students wrote directly the propor-
tion
A second problem has been posed:
Seven workers finish a certain piece of work in 28 days. In how many days will
five workers finish the work?
The students affirmed that there was also a problem of proportion and
wrote: 
They found that x = 20, and this was their result.
They were then asked to analyze the answer: If seven workers finish the
piece of work in 28 days, less workers (that is, five), will finish the work in
less days. The students understood that they made a mistake. They have
applied a schema automatically, blindly; and thus the intuitive, direct inter-
pretation, which would have been useful, did not function.
Sometimes, the intuitive background manipulates and hinders the formal
interpretation or the use of algorithmic procedures. But, sometimes, it is the
blind application of schemas that leads to wrong solutions, although the ap-
peal to a direct, intuitive interpretation would have prevented the solver
from giving an erroneous answer.
7. THE INTERACTION BETWEEN THE FORMAL CONSTRAINTS
AND SOLVING ALGORITHMS
Solving procedures, acting as overgeneralized models, may sometimes lead
to wrong solutions in disregard of the corresponding formal constraints. Let
me consider some examples.
It has been found that students often would write sin (a+b) = sin a + sin b,
or log (a+b) = log a + log b. Obviously, the property of distributivity of
multiplication over addition [m(a+b) = ma + mb] does not apply in the
above situations. Students forget that one deals with a formal property of
EFRAIM FISCHBEIN
241

---

Such categories of mistakes are well-known to teachers. Maybe, what is less
understood is that, in order to overcome such errors, the student needs to
gain a fuller understanding of the relationships between the formal and the
algorithmic components in mathematics. The student has to understand, in
my opinion, the formal basis (definitions and theorems) that justifies an al-
gorithm. It is the blind learning of algorithms that leads to these types of
misuse. In the absence of a clear understanding of the formal frame and jus-
tification, the superficial similarity of problems leads to wrong generaliza-
tions.
8. THE FIGURAL CONCEPTS
A most interesting situation with regard to the interaction between the figu-
ral (intuitive) and conceptual aspects occurs in the domain of geometry.
Psychology textbooks usually distinguish between concepts and images
as the two basic components of a thinking activity. But geometrical figures
occupy a special position. What is a line, a triangle, a sphere, or a cube?
Certainly they are images. They possess a certain shape. But, in the flux of a
geometrical reasoning they are not mere images in the usual sense. (I am not
referring to drawings. I am referring to geometrical, mathematical entities.)
They are ideal, abstract entities. They possess a kind of universality that
characterizes only concepts. Every property of a geometrical figure is de-
rived from the definition of the respective figure, from the axiomatic struc-
ture to which it belongs. Consequently, one may claim that geometrical fig-
ures, though spatial images, possess qualities that characterize only con-
cepts: ideality, abstractness, universality, definition dependence, a kind of
purity and perfection that does not exist in nature. In geometrical reasoning,
we deal with figures that are not mere images, but idealized mental entities
completely subordinated to axiomatic constraints. We may then claim that a
geometrical figure is a mental object that is not reducible to usual concepts
or images. It is not a mere concept, because it is a spatial representation. A
concept is an idea that, strictly speaking, does not possess figural qualities.
On the other hand, a geometrical figure is not a mere image, because all its
properties are strictly, rigorously imposed by a definition. A geometrical
figure is, at the same time, figure and concept. The drawing of a circle or a
triangle is a graphic model of a geometrical figure, not the geometrical fig-
ure itself.
FORMAL, ALGORITHMIC, AND INTUITIVE COMPONENTS
242
multiplication and addition. They transform it in a solving model and, by
external similarity, it becomes a solving procedure.
The same type of common mistake, in which a solving technique does not
obey the formal rules and is thus wrongly applied, appears in the following
example:

---

But that total symbiosis between figural (intuitive) and conceptual prop-
erties in a geometrical figure is usually only an ideal situation. Very often,
the formal constraints and the figural ones interact and conflict among
themselves, and such conflicts may influence the flow of geometrical rea-
soning.
It is difficult for children to accept that a square is a rectangle, a rhombus,
or even a parallelogram, even if they know the respective definitions. The
figural, the Gestalt particularities are so strong that they annihilate the effect
of the formal constraints.
Alessandra Mariotti (1992) reports the following example: A 16-year-old
student, Alessia (Grade 11) has been given the following problem.
How many angles do you see in Figures 1a and 1b? (see Figure 1)
Alessia: Whenever I see two lines that intersect, I know that the space between
the lines is an angle. I think that in both figures there is only one angle, even if, at
first, I thought that in the second figure there were two angles. I can explain my
supposition. First I thought that in this representation, Line 1 and Line 2 form one
angle and Line 2 and Line 3 form a second angle. However, now I think that there
is only one angle formed by crossing lines (1,2) and that Line 3 is the bisector of
this angle. (Marrioti, 1992, p. 11)
Alessia's difficulty is generated by the fact that the concept is unable to con-
trol the figure. And this, not because she does not possess the concept cor-
rectly but because the figure still carries with it Gestalt features inspired by
practice. As a matter of fact, the complete symbiosis discussed above does
not yet exist; if you cut a piece of cake into two halves, you get two pieces
of cake; not three (Alessia's first interpretation). If Line 3 is the bisector of
the angle it cannot belong, at the same time, to two other angles (the second
interpretation). In the above example, the concept of angle does not yet
control totally the intuitive, figural properties and their interpretation. In the
interaction between the formal and the intuitive constraints, it is the intuitive
constraints that are, in this example, decisive.
EFRAIM FISCHBEIN
243

---

8. SUMMARY
The main claim of the present paper is that, in analyzing the students' math-
ematical behavior, one has to take into account three basic aspects: the for-
mal, the algorithmic, and the intuitive.
The formal aspect refers to axioms, definitions, theorems, and proofs. The
algorithmic aspect refers to solving techniques and standard strategies. The
intuitive aspect refers to the degree of subjective, direct acceptance by an
individual of a notion, a theorem, or a solution. Sometimes these three com-
ponents converge. But, usually, in the processes of learning, understanding,
and problem-solving, conflictual interactions may appear. Sometimes a
solving schema is applied inadequately because of superficial similarities in
disregard of formal constraints. Sometimes, a solving schema, deeply rooted
in the student's mind, is mistakenly applied despite a potentially correct, in-
tuitive understanding.
But, usually, it is the intuitive interpretation based on a primitive, limited,
but strongly rooted individual experience that annihilates the formal control
or the requirements of the algorithmic solution, and thus distorts or even
blocks a correct mathematical reaction.
The interactions and conflicts between the formal, the algorithmic, and
the intuitive components of a mathematical activity are very complex and
usually not easily identified and understood. Theoretical analyses, attentive
observations, and experimental research have to collaborate in revealing the
multiple sources of mistaken attitudes in a mathematical activity. This im-
plies that the intimate collaboration between psychology and didactic expe-
rience represents a basic condition for the progress of mathematics eduction.
244 FORMAL, ALGORITHMIC, AND INTUITIVE COMPONENTS
Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (1989). A history of mathematics. New York: Wiley.
Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 153-165),
Dordrecht, Netherlands: Kluwer.
Courant, R., & Robbins, H. (1978). What is mathematics? An elementary approach to ideas