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manipulation, which may reduce the discussion about local syntax problems
of programming. But new problems may arise from the meaning students
give to this direct manipulation (cf. Hölzl, 1992).
4. LIMITATIONS OF THE FUNCTIONING
OF COOPERATIVE WORK
It has been mentioned that various immediate outcomes of a group work are
possible even if the students agree on a common solution: (a) a better solu-
tion is found than a single student would have produced; (b) the agreement
on a solution is based on authority arguments; and (c) the agreement is
based on cognitive grounds, but not mathematically satisfying ones even in
the case of a right solution.
We suggest that three categories of conditions play a role in the positive
immediate outcome: choice of the partners, choice of the task, and length of
interaction.
4.1 Choice of the Partners
In their experiments, the Genevian social psychologists stress that the prob-
lem posed to the children is essentially of social nature, that the sociocogni-
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WORKING IN SMALL GROUPS

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tive tools are developed only for re-establishing an equilibrium of social
nature (Carugaty & Mugny, cited in Mugny, 1985, p. 66). For them, the so-
cial problems precede the cognitive problem. The problem situations we or-
ganize involve a mathematical problem and complex contents; the solution
processes require the use of mathematical knowledge, and we do not follow
these researchers concerning the priority of the social problem. We consider
that the overtaking of the situation by the social problem is a misdevelop-
ment that must be avoided, and the equilibrium is, in our opinion, a concep-
tual equilibrium related to mathematical conceptions of students. That is
why the "cognitive distance" between the partners must have an optimal
size: not too big (they cannot understand each other) and not too small (they
have identical points of view).
4.2 Choice of the Task
Researchers in mathematics education have stressed the influence of the
task on the behavior of students in group work and on the content of their
exchanges (Hoyles, Healy, & Pozzi, 1993; Robert & Tenaud, 1989). The
task must provide a new situation for the students that they cannot solve
immediately (a discussion in this case would be useless), but in which they
can start with their previous knowledge, although it is not enough to achieve
the task. The task must favor verbalizing and communicating between stu-
dents: That is the reason why it can occur, when students have to do some-
thing without justification, that they do not really exchange arguments on
performing the task (e.g., procedural tasks on a computer). Cooperative
work is enhanced when students have to describe or justify their solutions.
Immediate objective feedback may also prevent a discussion between part-
ners.
4.3 Length of the Interaction Process
A too small period of time does not allow interaction to take place; the in-
teraction process is not a sequential one. Time is needed to internalize what
the partner is proposing, to relate the proposals to previous approaches, and
to understand the consequences of the proposal. In many experiments (e.g.,
Cobb, Yackel, & Wood, 1992; Laborde, 1982), we could observe that a
proposal made by a student is not adopted immediately by the partner, but
may be taken into consideration when the latter has experienced some diffi-
culties with his or her own approach. The complexity of the progress of the
solving processes in group work is higher than in an individual situation
(see below).
5. SOCIAL INTERACTION AS A COMPONENT OF THE "MILIEU"
A constructivist perspective pays attention to situations in which the student
must evolve on his or her own and not with the help of the teacher. For
these situations, Brousseau (1986, p. 49) has stressed the role played by the
COLETTE LABORDE
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interactions of the student with a given "milieu," that is, all elements of the
environment of the task on which students can act and which gives them
feedback of various kinds on what they are doing. Offered by the situation
itself, the feedback to the actions of the students must enable them to have
access to information about what they have done, to infer some conclusions
about the validity of their work, and to make other trials resulting in an
adapted solution. Such feedback may give evidence to the students to what
extent their solution is not pertinent, it may make contradictions apparent.
These contradictions provoke an imbalance that can give rise to new at-
tempts of equilibration: Knowledge can originate from this dynamical pro-
cess of imbalance and re-equilibration. This feedback is not only of a mate-
rial nature but can also be of an intellectual nature when it provokes some
contradiction between what the student expects thanks to his or her previous
knowledge and what he or she can observe in the situation. According to
Margolinas (1993), the previous knowledge of the student takes the role of
validity criteria. One can recognize the underlying Piagetian notions of
equilibration and cognitive conflict.
In this theoretical framework, social interactions between students are