Cheksiz ko'paytmalar Reja: Cheksiz ko'paytma tushunchasi. Qatorlar haqida asosiy tushuncha

11. Qatorning absolyut va shartli yaqinlashuvchiligi

qator berilgan bo'lsin. Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan quyidagi

qatorni tuzamiz .
Teorema Agar qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi .
Ta'rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo'lsa qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta'rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo'lib, uzoqlashguvchi bo'lsa, qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi .
Eslatma qatorning uzoqlashuvchi bo'lishidan bo'lishidan qatorning uzoqlashuvchi bo'lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Masalan Ushbu

Qatorning hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qator uzoqlashuvchi .
Demak berilgan qator shartli yaqinlashuvchi .
Dalamber alomati. Agar qator uchun

limit o'rinli bo'lsa, u holda qator bo'lganda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi .
12. Hadlarning ishoralari navbat bilan o'zgarib keladigan qatorlar.
Ushbu

qatorni qaraylik , bunda
Odatda bunday qator hadlarining ishoralari navbat bilan o'zgarib keladigan qator deyiladi.
Leybnis teoremasi Agar (8) qatorda

bo'lsa,(8) qator yaqinlashuvchi bo'ladi.
13. Cheksiz ko'paytmalar haqidagi eng sodda teoremalar
Cheksiz ko'paytma (2) da birinchi ta hadni tashlab cheksiz qatorning qoldig "iga juda o'xshash qoldiq ko'paytma

ni hosil qilamiz.
1.Agar (2) ko'paytma yaqinlashuvchi bo'lsa istalgan da (4) ko'paytma ham yaqinlashuvchi bo'ladi, aksincha ,(4) ko'paytmaning yaqinlashuvchi bo'lishidan berilgan (2) ko 'paytmaning yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib , cheksiz ko'paytma bo'lgan holda ham , uning chekli sondagi boshlang'ich ko'paytmalarini tashlash yoki boshlang'ich qismiga bir necha (noldan farqli ) ko'paytuvchilar qo'shish uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo'lishiga ta`sir etmaydi.

2. 
   Agar (2) cheksiz ko'paytma yaqinlashuvchi bo'lsa u holda
   

bo'ladi.



tenglikdan va ning ga intilishidan kelib chiqadi. 3.Agar (2) cheksiz ko'paytma yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda

bo'ladi.
Haqiqatan bilan birga ham ga intiladi .Demak

cheksiz ko'paytmalarning cheksiz qatorlarning xossalariga o'xshash xossa larni yuqorida qatorlarda ko'rib chiqdik.
Cheksiz ko'paytmalar bilan cheksiz qatorlarning yaqinlashishi orasidagi munosabatni tayinlashga o'tamiz, bu esa bizga qatorlar uchun mukammal rivojlantirilgan nazariyadan cheksiz ko'paytmalar uchun bevosita`foydalanish imkonini beradi.
Cheksiz ko'paytma yaqinlashuvchi bo'lgan holda ko'paytuvchilar biror joydan boshlab musbat bo'ladi.
Darvoqe 1 - ga ko'ra kelgusida hamma lar uchun deb faraz qilsak umumiylikka zarar keltirmagan bo'lamiz.

4. 
   (2) cheksiz ko' paytma yaqinlashuvchi bo'lishi uchun
   

qatorning yaqinlashuvchi bo'lishi zarur va yetarlidir .
Bu shart va qatorning yig'indisi bo'lsa , u holda
bo'ladi.

(5) qatorning xususiy yig'indisini bilan belgilab

ni hosil qilamiz .
Logarifmik va ko'rsatkichli funksiyalarning uzluksizligidan, chekli musbat limit ga intilganda ning ga intilishi va aksincha, agar chekli limit ga ega bo'lsa uchun limit bo'lishi kelib chiqadi.
Cheksiz ko'paytma (2) ning yaqinlashuvchi bo'lish bo'lmasligini teklshirganda deb olib uni


ko'rinishda , (5) qatorni esa