Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi
(2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda bo’ladi, chunki x₁qx₂q...qx_nq0 sonlar (2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemaning echimi bo’ladi.
(2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining faqat nollardan iborat echimiga trivial (nol) echim deyiladi, aks holda notrivial echim deyiladi. Ya’ni x_i lardan kamida bittasi noldan farqli (x_i ≠0).
(2) bir jinsli sistemani notrivial echimga ega bo’lish shartini izlaylik. (2) chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
(7)
(7) tenglik birortasi noldan farqli x₁, x₂,..., x_n sonlarda o’rinli bo’lishligi uchun A matritsaning ustunlari chiziqli bog’liqli bo’lishi kerak. Ustunlar chiziqli bog’liqli bo’lishi uchun bazis minorining ustunlar soni ustunlar soni n dan kichik bo’lishi kerak. Ya’ni rangAqr < n bo’lishi kerak. Demak, yo’qorida biz quyidagi teoremani isbotladik
Teorema 5.1. (2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi notrivial echimga ega bo’ladi, faqat va faqat asosiy matritsaning rangi ustunlar sonidan kichik bo’lsa.
Natija. Bir jinsli kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasi notrivial echimga ega bo’ladi, faqat va faqat asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo’lsa.
Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish sharti.
Kronekr–Kapelli teoremasi
Ixtiyoriy (1) chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib, (4) uning asosi matritsasi va
(8)
martitsa kengaytirilgan matritsasi bo’lsin.
Teorema. (1) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo’lishi zarur va etarli.
Isbot. Zarurligi. c₁, c₂,…, c_n sonlar (1) chiziqli tenglamalar sistemasing echimi bo’lsin, ya’ni
. (9)
Asosi matritsa A va rangAqk, (kmin(m, n)) bo’lsin. U holda A matritsada k tartibli bazis minor mavjud. Shu minor da ham bazis minor ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun A matritsaning k ta bazis ustuni da bazis ustun bo’lishini ko’satamiz. matritsaning oxirgi ustunidan boshqa barcha ustunlari A matritsaniki kabi bo’lgani uchun shu bazis ustunlar yordamida boshqa ustunlarni ifodalash mumkin. Oxirgi ustunni shu bazis ustunlar yordamida ifodalanishi esa, matritsaning oxirgi ustundan boshqa barcha ustunlari bazis ustunlar yordamida ifodalashi va (9) sistemadan kelib chiqadi. A matritsaning bazis minori matritsaning ham bazis minori bo’lar ekan, ya’ni rang qk. Demak, rangAq rang .
Etarliligi. rangAq rang qk bo’lsin. U holda A matritsaning bazis ustunlari matritsaning ham bazis ustunlari bo’ladi. Bazis minor haqidagi teoremaga asosan matritsaning oxirgi ustunini shu bazis ustunlar yordamida ifodalash mumkin. Bundan esa, matritsaning oxirgi ustunini qolgan ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkin, ya’ni shunday birortasi noldan farqli c₁, c₂,…, c_n sonlar topiladiki
(10)
tenglik o’rinli bo’ladi. Bundan esa (9) ni hosil qilamiz. (9) dan esa, c₁, c₂,…, c_n sonlar (1) chiziqli tenglamalar sistemasing echimi ekaniligi kelib chiqadi. Demak, (1) sistema birgalikda ekan. Teorema isbotlandi.