Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Chiziqli tenglamalar sistemasining echimini topish

1. 
   Asosiy matritsaning determinanti noldan farqli bo’lgan kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasini echimini topish.
   

(3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib, asosiy matritsasi
(11)
va detAq bo’lsin.
(3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasini echishning ba’zi usullarini qarab chiqaylik.
Avval (3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun rangAq rang ekanligini ko’rsatamiz. detAq bo’lgani uchun rangAqn. matritsaning tartibi nx(nQ1) kabi bo’lgani uchun matritsada nQ1 tartibli minor mavjud emas. Noldan farqli n – tartibli minor esa mavjud. Shuning uchun rang qn. (3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda ekan.
1. Asosiy matritsaning determinanti noldan farqli bo’lgan (3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasini echishning Kramer usuli.
(3) tenglamalar sistemasini A_1j, A_2j, …, A_nj larga ko’paytirib qo’shamiz.

(a₁₁A_1jQa₂₁A_2jQ…Qa_n1A_nj)x₁Q(a₁₂A_1jQa₂₂A_2jQ…Qa_n2A_nj)x₂Q(a_1jA_1jQa_2jA_2jQ…Qa_njA_nj)x_jQ …Q(a_1nA_1jQa_2nA_2jQ…Qa_nnA_nj)x_nqb₁A_1jQb₂A_2jQ…Qb_nA_nj.

Bundan esa ∆∙x_jqb₁A_1jQb₂A_2jQ…Qb_nA_nj, (jq1, 2 , …, n) tengliklarga ega bo’lamiz. ∆_jqb₁A_1jQb₂A_2jQ…Qb_nA_nj deb belgilasak, ∆∙x_j ∆_jq∆_j va bo’lgani uchun

, (jq1, 2, …, n) (12)
formulaga ega bo’lamiz. – A matritsada j - ustun elementlarining b₁, b₂,…, b_n ozod hadlar bilan almashtirilib hosil qiliingan matritsaning determinanti. (12) formulaga Kramer formulasi deyiladi. Nom’lum x_j, (jq1, 2, …, n) larni (12) formula yordamida topishga Kramer usuli deyiladi.
Misol: chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan echaylik.


2. Asosiy matritsaning determinanti noldan farqli bo’lgan (3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsalar usuli. Bizga ma’lumki, agar (3) kvadrat chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasini (11) va , deb olsak, (3) chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagicha matritsa ko’rinishda yozish mumkin:
AXqB (13)
detAq bo’lani uchun A matritsaga teskarisi A^–1 matritsa mavjud. (13) tenglikning ikki tomoniga A^–1 matritsani ko’paytiramiz: A^–1(AX)q A^–1B. Matritsalarni ko’paytirishning guruhlash qonuniga asosan
A^–1(AX)q(A^–1A)Xq EX qX. Bundan esa, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
Xq A^–1B. (14)
Misol: chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan Echaylik.

.
Bundan esa, x₁q4 va x₂q – 0,5 ekanligi kelib chiqadi.