Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Isbot. (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining har bir (c₁, c₂, …,c_r, c_rQ1, …,c_n) echimiga R^n–r chiziqli fazoning (c_rQ1, c_rQ2,…,c_n) elementini mos quyamiz. (c_rQ1, c_rQ2,…,c_n) har qanday tanlamaylik, (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining (c₁, c₂, …,c_r, c_rQ1, …,c_n) echimi (20)formula bilan bir qiymatli aniqlanadi, bundan esa o’rnatilgan moslik bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi. Endi esa, o’rnatilgan moslik chiziqli fazolar izomorflining ikkita shartini qanoatlantirishini tekshiramiz: R^n–r chiziqli fazoning C₁q , C₂q elementlariga (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining L barcha echimlari to’plamining q , q elementlari mos kelsin. U holda C₁QC₂q bo’lib, unga element mos keladi. q Q dan L to’plamning C₁QC₂ elementiga R^n–r chiziqli fazoning Q elementi va R^n–r chiziqli fazoning λC₁q elementga L to’plamning q qλ qλ element mos keladi. Demak, (2) bir jinsli tenglamalar sistemasining barcha echimlari to’plami L va R^n–r chiziqli fazoga izomorf ekan.
Natija. (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasining rangi r ga teng bo’lsa, u holda uning L barcha echimlari to’plamining o’lchovi n–r ga tengdir.
Asosiy matritsasining rangi r ga teng bo’lgan (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy n–r ta chiziqli erkli echimlari majmuasi barcha echimlari to’plami L da bazis tashkil etadi va shu echimlar majmuasiga fundamental echimlar to’plami deyiladi.
(19) bir jinsli tenglamalar sistemasida (c_rQ1, c_rQ2,…,c_n) lar o’rniga ketma-ket ravishda e₁q(1,0,0,…,0), e₂q(0,1,0,…,0), …, e_n–rq(0,0,0,…,1) larni tanlashdan hosil qilingan fundamental echimlar to’plamiga normal fundamental echimlar to’plami deyiladi, ya’ni quyidagi echimlar:
. (21)

Bazisning ta’rifiga ko’ra (19) bir jinsli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy Xq(c₁, c₂, …,c_r, c_rQ1, …,c_n) echimi X₁, X₂, …, X_n–r orqali quyidagicha ifodalanadi:

Xqc_rQ1 X₁Q c_rQ2 X₂Q…Qc_n X_n–r. (22)

(22) formula bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy echimi formulasidir.

Ravshanki, sistema nol bo’lmagan echimlarga ega bo’lgan holda, ya’ni uning koeffitsentlaridan tuzilgan matritsaning rangi noma’lumlar sonidan kichik bo’lgan holdagini fundamental echimlar sistemasiga ega bo’ladi. Bunga (19)sistema ko’pgina turli fundamental echimlar sistemalariga ega bo’lishi mumkin. Biroq bu sistemalar o’zaro ekvivalent, chunki har qaysi sistemaning har bir echimi boshqa istalgan sistema orqali chiziqli ifodalanadi va shuning uchun bu sistemalar bir xil sondagi echimlardan iborat bo’ladi.
Asosiy matritsasi bir xil bir jinsli bo’lmagan va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining echimlari orasida mavjud bo’lgan bog’lanishlarni qarab chiqish bilan ushbu bobni tugallaymiz. Bizga bir jinsli bo’lmagan va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalari berilgan bo’lsin.