Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Asosiy qism
CHIZIQLI BO`LMAGAN TENGLAMALAR TIZIMINING MOXIYATI VA AXAMIYATI
Shu paytgacha biz faqat chiziqi tenglamalar tizimini yechish usullari bilan tanishdik. endi tenglamalar tizimi chiziqli bulmagan hol ustida tuxtalamiz. Soddalik uchun ikki noma`lumli ikkita chizimi bulmagan tizimni oddiy iteratsiya usuli bilan echishga tuxtalamiz. Bunday tizim quyidagicha yoziladi:
(34)
Faraz kilaylik boshlangich x , u yaqinlashishlar berilgan bo`lsin. Berilgan tizimni quyidagicha yozamiz:
(35)
hamda bu tizimning ung tomonidagi x va u lar o`rniga boshlangich yaqinlashish x , u larni kuyib, birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:
(36)
Xuddi shuningdek ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:
x₂ = F (x₁, y₁)
y₂ = F (x₁, y₂) (37)
va umuman
(38)
Agarda (x, u) va F(x, u) funktsiyalar uzluksiz, hamda x₁, x₂, …, x_n, … va y₁, y₂, …, y_n, … ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u xolda ularning limitlari berilgan tenglamaning echimi bo`ladi.

1. 
   KETMA – KET (BOSHLANG’ICH) YAQINLASHISH USULI
   

Yuqorida keltirilgan iteratsion jarayonning yaqinlashuvchi bo`lish shartlariga tuxtalamiz.
Teorema, x va u (34) tizimning aniq echimlari, a <x < b, c <y < d bo`lib, x=a,x=b, y=c va y=d to`g’ri chiziqlar bilan chegaralangan to`g’ri turtburchak ichida boshqa echimlar yo`q bo`lsa, u xolda ko`rsatilgan turri turtburchakda quyidagi

(R₁ + R₂  M < 1 va q₁ + q₂  M < 1) tengsizliklar bajarilsa, iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo`ladi va boshlangich yaqinlashish x,u sifatida turri turtburchakning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.
Teoremaning isbotini keltirib utirmaymiz.
Misol

tizimning musbat echimini iteratsion usul bilan uch xona aniqlikda toping.
Berilgan tizimni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:

0x1, 0y1 kvadratni karaymiz. Agarda x₀, y₀ nuqta shu kvadratga tegishli bo`lsa, u xolda 00, y<sub>0</sub>) < 1 va 0 0, y<sub>0</sub>) < 1 bo`ladi. (x₀, y₀) boshlangich yaqinlashish qanday tanlanishidan kat`i nazar (x<sub>k</sub>, y<sub>k</sub>) yaqinlashishlar kvadratga tegishli bo`ladi, chunki

Bundan tashqari (x_k, y_k) nuqtalar kvadratga tegishli. Bu kvadrat nuqtalari uchun:

bajariladi.
Demak, ko`rsatilgan kvadratda tizim yagona echimga ega va uni iteratsion usulda aniqlash mumkin.
va deb olamiz, u xolda


Bu erda q₁ = q₂ = 34/72 <0,5 bo`lgani sababli birinchi uchta unlik rakamlarning mos tushganligi kerakli aniqlikdagi echimni topish imkoniyatini beradi. Shunday kilib kuyndagi echimga ega buldik.
x = 0,532; y = 0,351

Matematik dasturlash masalalaridagi simpleks va simpleks jadvallar usullarida ko’p foydalaniladigan chiziqli tenglamalar sistemasini echishda qo’llaniladigan noma’lumlarni to’la yo’qotish usulini ko’raylik.

Quyidagi n ta noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
(1) sistemaning echimi deb, shunday (x₁, x₂, …, x_p) sonlarga aytiladiki, bu sonlar (1) sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi.
Agar (1) sistema echimga ega bo’lsa, unga birgalikda bo’lgan sistema, agar echimga ega bo’lmasa, birgalikda bo’lmagan sitema deyiladi.
Bizga chiziqli algebra fanidan ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasida quyidagi elementar almashtirish deb ataluvchi almashtirishlarni bajarish mumkin:
1. Sistemadagi istalgan ikkita tenglamaning o’rinlarini almashtirish.
2. Sistemadagi ixtiyoriy tenglamaning ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko’paytirish.
3. Ixtiyoriy bitta tenglamasining har ikkala tomonini biror haqiqiy songa ko’paytirib, boshqa biror tenglamaga qo’shish mumkin.
Bu elementar alamashtirishlarni bajarganimizda hosil bo’lgan sistema dastlabki berilgan sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Noma’lumlarni to’la yo’qotish usulining g’oyasi shundan iboratki, elementlari tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarning koeffitsientlaridan va ozod hadlardan tashkil topgan
kengaytirilgan matritsa tuziladi.

So’ngra elementar almashtirishlar yordamida quyidagi
ko’rinishdagi birlik matritsaga keltiriladi.
(2)
Bu holda sistemaning yagona echimi
x₁qs₁, x₂qs₂, x₃qs₃-…, x_nqs_n ko’rinishda bo’ladi.
Eslatma:
1. Agar elementar almashtirishlar natijasida matritsa biror yo’lining barcha elementlari nol bo’lsa, u holda bu yo’lni tashlab yuborish mumkin. Bu holda berilgan sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.
2. Agar elementar almashtirishlar natijasida matritsaning biror yo’l elementlari (0 0……… 0 s) ko’rinishda bo’lsa, sistemaning echimi mavjud bo’lmaydi. Ya’ni sistema birgalikda bo’lmagan sistema bo’ladi.
3. Biz noma’lumlarni to’la yo’qotish usulini tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lgan holda ko’rdik. Umumiy holda n ta noma’lum m ta (m≠n) chiziqli tenglamalar sistemasi uchun ham ko’rish mumkin.
Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini noma’lumlarni to’la yo’qotish usuli bilan eching.
1-misol.

Echish. a₁₁q5 bo’lgani uchun uni 1 qilish maqsadida