Chiziqli funksionallar va operatorlar

Takrorlash uchun savol va mashqlar.

1. 
   Vektor fazoning o’lamini ko’rsatuvchi asosiy belgi nimadan iborat?
   
2. 
   Cheksiz o’lchamli vektor fazoning bazisi qanday ta’riflanadi?
   
3. 
   m fazoning biror Hamel bazisini ko’rsating?
   
4. 
   Agar V vektor fazoning chiziqli erkli bo’lgan S vektorlar sistemasi uchun [S]=V tenglik bajarilsa, u holda S sistema Hamel bazisi bo’lishini ko’rsating.
   
5. 
   V vektor fazoning V¹qism fazo orqali munosabat bilan kiritilgan V ning x,u elementlari o’rtasidagi munosbat ekvivalentlik munosabat bo’lishini isbotlang
   
6. 
   V vektor fazoning V₁=V va V₂={0}qism fazolari orqali qurilgan V/V1 va V/V₂ faktor fazolarni qanday elementlardan iborat bo’lishini asoslang.
   
7. 
   S [a,v] fazodagi V₁={f(x)C [a,v] / f(a)=f(b)=0} shart bilan aniqlangan V₁ qism fazo bo’yicha S[a,b]/V₁faktor fazoni qo’ring.
   
8. 
   V₁ va V₂ to’plamlar V vektor fazoning qism fazolari bo’lib V fazoning har qanday x elementining yagona ravishda x=x₁+x₂; x₁V₁, x_2V₂ ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u holda V fazo V₁ va V₂ qism fazolarining to’g’ri yig’indisi deyiladi. m fazoni uning ikkita V₁ va V₂ qism fazolari to’g’ri yig’indisi shaklida ifodalang, bu erda V₁, V₂ bo’lsin.
   
9. 
   R_n n-o’lchamli arifmetik fazoni qaysi vektor fazolarning to’g’ri ko’paytmasi sifatida qarash mumkin.
   
10. 
    Faktor fazo tushunchasini aniqlashda sinflar o’rtasida kiritilgan qo’shish va songa ko’paytirish amallari bu sinflardan olingan vakillarning tanlanishiga bog’liq bo’lmasligini ko’rsating.
    

2. Chiziqli normallangan fazo.
Ta’rif: V chiziqli vektor fazo bo’lib,  funkstional V fazoni haqiqiy sonlar maydoniga akslantirib quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda  funkstionalni norma deyiladi:
1. (x)0 faqatgina x=0 uchun (x)=0
2. (x+u) (x)+(x)
3. (x)= (x), R
Agar V vektor fazoda normal kiritish mumkin bo’lsa, u holda bu fazoni normallangan fazo deyiladi. Odatda, xV elementning normasi ko’rinishida belgilanadi. Agar (x+u) bilan chiziqli normallangan fazoda norma orqali aniqlangan sonni belgilasak, u holda (x+u) funksiya metrika shartlarini qanoatlantiradi. Chiziqli normallangan fazoda metrika kiritilishi bilan bu fazodagi elementlar ketma – ketligining yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin. Masalan, ketma – ketlikning x elementga yaqinlashish sonli ketma – ketlikning da 0 ga intilishi orqali ifodalanadi.
Agar chiziqli normallangan fazo bu yaqinlashishga nisbatan to’la bo’lsa, uni Banax fazosi deyiladi.
Misollar.

1. 
   Haqiqiy sonlar to’plamida  haqiqiy sonning normasini = tenglik bilan aniqlasak, bu to’plam chiziqli normallangan fazo bo’ladi. Bundan tashqari bu fazo kiritilgan normaga nisbatan to’la hamdir. Demak, R Banax fazosidir.
   
2. 
   R_n to’plamda element normasini quyidagicha kiritamiz: Bu to’plam kiritilgan normaga nisbatan normallangan fazo, shu bilan birga Banax fazosi ekanligini tekshirish mumkin. Xuddi shu to’plamda element normasini yana boshqa usullar bilan ham aniqlash mumkin. Masalan, ko’rinishidagi funkstionallar ham norma shartini qanoatlantiradi.
   
3. 
   S[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: bu norma uchun 1) va faqatgina f(x)=0 bo’lganda bajariladi. 2) 3) shartlar bajariladi. Demak bu fazo kiritilgan normaga nisbatan normallangan fazodir. Oldin isbotlaganimizdek, bu fazo kiritilgan normaga nisbatan to’la bo’ladi. Shuning uchun S[a,b] Banax fazosi bo’ladi.
   
4. 
   m – vektor fazoda element normasini ushbu son orqali aniqlasak, bu fazo ham Banax fazosi bo’lishini tekshirish mumkin.
   
5. 
   x=(x₁, x₂, ... x_n, ...) ko’rinishidagi koordinatalari haqiqiy sonlardan iborat va shartni qanoatlantiruvchi ketma – ketliklar to’plami S₀ oddiy amallarga nisbatan vektor fazo tashkil etadi. Agar bu fazo normani tenglik bilan aniqlasak bu fazo Banax fazosiga aylanadi.
   
6. 
   S[a, b] fazoda element normasini tenglik bilan aniqlasak, bu fazo normallangan bo’ladi, lekin bu normaga nisbatan to’la emas.
   
7. 
   fazoda normani tenglik bilan aniqlasak, Banax fazosi bo’ladi.
   

Fazo normallangan bo’lib, Banax fazosi V fazoni o’z ichiga olsin. Agar V fazo fazoning hamma erida zich bo’lsa, u holda fazo V ning to’ldiruvchisi deyiladi.
1 – teorema. Har qanday normallangan fazo V to’ldiruvchi fazoga ega va V fazoning ixtiyoriy 2 ta to’ldiruvchisi V fazoning elementlarini qo’zg’atmaydigan darajada izometrik bo’ladi.
Bu teoremaning isboti huddi metrik fazoni to’ldirish haqidagi teoremaning isbotidagidek bajariladi. Faqatgina V ning to’ldiruvchisi bo’lgan fazoda ham huddi V dagidek amallar bajarilishini qo’shimcha ravishda ko’rsatish kerak.
2 – teorema. Bir hil o’lchamli bo’lgan barcha chiziqli normallangan fazolar o’zaro izomorf bo’ladi.
Isboti. V chiziqli normallangan fazoning o’lchami n ga teng bo’lsin. Bu fazoni R_n fazoga izomorfligini ko’rsatamiz. O’lchami n ga teng bo’lib x₁, x₂, ... x_n vektorlar uning bazisi bo’lsin. U holda V fazoning ixtiyoriy x elementini faqat bir hil usulda , ko’rinishida yozish mumkin. V ning bu x vektoriga R_n fazoning elementini mos qo’yamiz. Bu moslik o’zaro bir qiymatli bo’lib, uni bilan belgilasak, har qanday elementlar uchun , shartlar bajariladi, ya’ni  – izomorf akslantirish bo’ladi. R_n fazodagi normani tenglik bilan aniqlanishidan foydalanib,  akslantirishni va uning teskarisini ham uzluksizligini isbotlash mumkin. Demak, ixtiyoriy n o’lchamli fazo R_n ga izomorf bo’ladi. Bundan bir hil o’lchamli chiziqli normallangan fazolarning ham izomorfligi kelib chiqadi. Dastlab akslantirishning uzluksizligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun bu erda
Ixtiyoriy vektorlar uchun tengsizlikni hosil qilamiz. Agar va ekanini e’tiborga olsak, yuqoridagi tengsizlikdan kelib chiqadi. Bundan akslantirishning uzluksizligini hosil qilamiz. Endi R _n fazodagi birlik sferada ushbu funksiyani ko’ramiz. S sferada sonlarning hammasi bir vaqtda 0 ga teng bo’lmagan va vektorlar chiziqli erkli bo’lgani sababli har qanday uchun bajariladi. f funksiya uchun tengsizlik o’rinli. Oxirgi tengsizlikdan f funksiyaning uzluksizligini hosil qilamiz. Yopiq S to’plamda aniqlangan f funksiya o’zining eng kichik qiymati a ga erishadi va tengsizlik bajariladi. Demak, xS uchun o’rinli bo’ladi. U holda ixtiyoriy xR_n uchun Demak, o’rinli. Bundan tengsizlikni hosil qilamiz, ya’ni  uzluksizdir.


Mavzuni takrorlash uchun savol va mashqlar.

1. 
   Chiziqli normallangan fazoda quyidagi xossalarni o’rinli bo’lishini ko’rsating.
   
   1. 
      agar bo’lsa, chegaralangan ketma – ketlik;
      
   2. 
      agar bo’lsa, ;
      
   3. 
      agar bo’lsa, ;
      
   4. 
      har qanday x, u elementlar uchun o’rinli.
      
2. 
   l₁ fazo shartni qanoatlantiruvchi x=(x₁, x₂, …) ketma – ketlik fazosida elementning normasini quyidagi tenglik bilan aniqlash mumkinligini ko’rsating.
   
3. 
   S[0,1] fazoda tenglik bilan aniqlangan ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’ladimi?
   
4. 
   Bir o’zgaruvchili haqiqiy koeffistientli barcha ko’pxadlar to’plamida quyidagi tengliklar bilan aniqlangan har bir funkstionalni norma bo’lishini tekshiring:
   

1) 2) bu erda ko’pxadlarni aniq bir [a,b] oraliqdagi funksiya deb qarash lozim.
5. L to’plam V chiziqli normallangan fazoning qism to’plami bo’lib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) ixtiyoriy x, yL elementlar uchun x+yL
2) ixtiyoriy xL va aR elementlar uchun axL
3) L to’plam V normallangan fazoning yopiq to’plam ostisi
U holda L ni V ning qism fazosi deyiladi.
Agar V Banax fazosi bo’lsa, V/L faktor fazo quyidagi normaga nisbatan Banax fazosi bo’lishini ko’rsating.
6. Agar V=C[0, 1] va bo’lsa, V/L faktor fazoni qo’ring.