Chiziqli funksionallar va operatorlar

4. Chiziqli funkstionallar
Agar E- chiziqli topologik fazo, K maydon bo’lsa va akslantirish uchun

shartlar bajarilsa, u holda ni funkstional deyiladi. Demak, chiziqli funkstional chiziqli operatorning xususiy holidir, chunki chiziqli operatorning qiymatlar sohasi maydon bo’lsa u operator funkstionalni ifodalaydi. Ko’p hollarda haqiqiy sonlar maydoni bo’lgan holda o’rganamiz.
TA’RIF. funkstional berilgan bo’lib, ixtiyoriy va har qanday element uchun nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki,
shartni qanoatlantiruvchi barcha elementlar uchun
tengsizlik o’rinli bo’lsa, funkstionalni uzluksiz deyiladi.
Chekli o’lchovli chiziqli topologik fazodagi har qanday chiziqli funkstional uzluksiz ham bo’ladi.
Haqiqatdan ham, agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi bo’lsa, har qanday elementini ko’rinishda yozish mumkin. Agar chiziqli funkstional bo’lib tengliklar bajarilsa, tenglik o’rinli bo’ladi. Agar sonlar berilgan bo’lsa, (1) tenglik bilan aniqlangan akslantirish chiziqli bo’ladi. Demak, (1) tenglik orqali fazodagi chiziqli funkstionalning umumiy ko’rinishi aniqlanidi.
Shunday qilib, chekli o’lchovli fazodagi har qanday chiziqli uzluksiz ham bo’ladi. Lekin, cheksiz o’lchovli fazodagi chiziqli funkstional
har doim uzluksiz bo’ladi deb aytish noto’g’ri.
TEOREMA. chiziqli funkstional E fazodagi uzluksiz bo’lishi uchun uning E fazodagi birorta nuqtada uzluksiz bo’lishi etarli.
ISBOTI. Aytaylik, funkstional nuqtada uzluksiz bo’lin va ixtiyoriy nuqta bo’lsin. U holda ixtiyoriy uchun shunday
nuqtaning atrofidagi mavjudki, munosabat bajariladi. Demak, to’plam u nuqtaning atrofi bo’ladi. Agar bo’lsa, bajariladi. Demak, to’plam u nuqtaning izlanayotgan atrofi bo’ladi, ya’ni funkstional u nuqtada uzluksizdir. U nuqtaning ixtiyoriy ekanligidan funkstionalning E fazoda uzluksizligini hosil qilamiz.
chiziqli funkstional bo’lib, biror element uchun bo’lsin. U holda to’plam E ning qism fazosi bo’ladi. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa, ekanligi kelib chiqadi.
chiziqli funkstional orqali qurilgan to’plamni funkstionalning yadrosi deyiladi va U ga tegishli har qanday vektorni yagona tarzda ko’rinishda ifodalash mumkin. Haqiqatdan ham, bo’lsin. U holda vektor N ga tegishli bo’ladi, chunki . Demak, ixtiyoriy vektorni
ko’rinishda yozish mumkin. (2) yoyilmaning yagonaligini ham ko’rsatish mumkin, chunki x elementini yana boshqa usulda ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, bundan tenglikni hosil qilamiz. ekanligini e’tiborga olib, tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, U har qanday vektorni faqat bir usulda shaklda yozish mumkin, ya’ni E fazo va N qism fazolarning to’g’ri yig’indisidan iborat. Demak, bundan E\N faktor fazoning o’lchovi 1 ga teng ekani kelib chiqadi. Bu fikrning aksi ham o’rinlidir, ya’ni biror
qism fazo uchun bajarilsa, yadrosi N₁ qism fazodan iborat bo’lgan funkstional mavjud bo’ladi. Darhaqiqat, E dagi har qanday vektor x ni element orqali yagona tarzda ko’rinishda yozish mumkin . Bundan foydalanib, funkstionalni tenglik bilan aniqlasak, tenglik kelib chiqadi. Agar boshqa bir funkstional uchun ham tenglik bajarilsa, u holda funkstionallar qandaydir o’zgarmasning ko’paytmasiga farq qilishi mumkin, chunki munosabat o’rinlidir. Shknday qilib E fazodagi har bir chiziqli funkstionalga E fazoning dimE/H=1 shartni qanoatlantiruvchi bitta qism fazo N va aksincha, E fazoning dimE/H=1 shartni qanoatlantiruvchi har bir N qism fazoga bitta funkstional mos kelishini ko’rsatdik.
Agar E chiziqli normalangan fazo bo’lsa, funkstionalning normasi tenglik bilan aniqlanadi. Isbotlash mumkinki funkstionalning normasi uchun qo’yidagi tenglik o’rinli to’plam bilan  orasidagi masofa, ya’ni
. Haqiqatdan ham to’plamning har qanday elementi x uchun munosabat o’rinli, ya’ni bajariladi.
Agar deb belgilash kiritsak, tengsizlik kelib chiqadi.
Funkstional normasining ta’rifiga asosan ixtiyoriy son uchun shunday
x₀ element mavjudki bajariladi. Bundan
kelib chiqadi. Agar deb belgilasak, bo’lib, o’rinlidir.
Shuning uchun bajariladi. Bu erda E ning ixtiyoriy ekanligin e’tiborga olib,
tengsizlikni hosil qilasi z. Demak, bo’ladi.
Misollar.
1. S fazoda berilgan tenglik bilan aniqlangan funkstional chiziqli bo’ladi. Haqiqatdan ham,

tengliklar bajarilaji.
2. Normalangan S[0,1] fazoda berilgan ushbu funkstional ham cheklidir.
3. S fazoda berilgan va ushbu tenglik bilan aniqlangan funkstional ham chiziqli bo’ladi.


Mavzuni takrorlash uchul savol va mashqlar

1. 
   R_n fazoda berilgan va (bu erda tenglik bilan aniqlangan funkstionalning chiziqli ekanligini va uning uzluksiz bo’lishini isbotlang.
   
2. 
   Agar E ixtiyoriy Gilbert fazosi bo’lsa, f(x)=(a,x)aE tenglik bilan funkstionalning chiziqli va uzluksiz bo’lishini ko’rsating.
   
3. 
   C[0,1] fazosidagi ushbu funkstionalning chiziqli va uzluksiz ekanligini isbotlang.
   
4. 
   t₂ – fazodagi f(x)=x₁+x₂, x=(x₁,x₂,…) tenglik bilan aniqlangan funkstionalning chiziqli va uzluksiz ekanligini isbotlang va uning normasini toping.
   
5. 
   [-1,1] oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo’lgan funksiyalar to’plami C¹[-1,1] chiziqli normallangan fazo bo’lib, u C[-1,1] fazoning hamma erida zich joylashgan. C¹[-1,1] fazoda berilgan va ushbu f(x)=x`(0) tenglik bilan aniqlangan funkstionalning chiziqli ekanligini, lekin uzluksiz emasligini isbotlang.